Meson Nonet

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Was ist ein Meson Nonet??

Ich habe eine Darstellung "quark content of the meson nonet" im Buch "Quarks and Leptons" von F.Halzen gefunden und frage mich, wie man darauf kommt, die

Zustände gerade so und nicht anders einzuteilen... grübelnd

Es geht um die Anordnung der Kombinationen unter der Dekomposition

http://upload.wikimedia.org/math/1/c/a/1cab5767eb1d0396b77bfcbc742786c7.png

Hier entsteht ein Oktett und ein Singulett:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/9/9f/8foldway.png/180px-8foldway.png

Nun die Frage:

Bei Kombination von zwei Spin 1/2 hat man drei Zustände mit Gesamtdrehimpuls j=1 (Triplett) und ein Singlet mit j=0. Das Triplett ist also durch j=1 gekennzeichnet, und hier liegen drei Zustände mit j3=-1, 0, +1.

Hier geht es aber offensichtlich nicht um Spin. Wodurch ist denn das "Oktett" gekennzeichnet? Die Zustände des Oktetts sind ja in der Y/I3 Ebene eingezeichnet und haben daher unterschiedliche Werte dieser Quantenzahlen. Worin aber betsteht deren Gemeinsamkeit?? Wie kommt man eigentlich auf diese Dekomposition 3*3 = 8+1 ? Ist das eine Eigenschaft der SU(3) Gruppe? Und warum sind die Zustände im Zentrum

und

Wie kann ich das selbst aus (den mir noch unbekannten) Grundprinzipien herleiten? Geht das auch, ohne vorher 10 Semester Gruppentheorie zu studieren?

Ausserdem frage ich mich, wieso dem s Quark eine Quantenzahl S=-1 zugeordnet wird und das physikalisch Sinn ergibt. Ich kann hier keinerlei Systematik erkennen; wäre nett wenn mir jemand auf die Sprünge helfen kann.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18022

Die Zerlegung 3*3 = 8+1 folgt tatsächlich aus der SU(3). Die beiden "3" stehen für die beiden Fundamentaldarstellungen der SU(3). Das kennst du von der SU(2) nicht, denn da sind beide (bis auf komplexe Konjugation) identisch (die Fundamentaldarstellung der SU(2) wäre die mit Spin 1/2). Die "8" steht für die adjungierter Darstellung (wäre bei der SU(2) die mit Spin 1).

Ein wesentlicher Unterschied zwischen SU(2) und SU(3) ist, dass letztere zwei diagonale Generatoren hat (die dritte und die achte Matrix; die dritte entspricht der dritten Paulimatrix; die achte ist neu). Die beiden Generatoren führen dazu, dass Multipletts des selben Isospins t² bzgl. zweier Quantenzahlen (entsprechend der Eigenwerte zu den beiden diagonalen Generatoren) unterschieden werden (in der SU(2) gibt es zu festen j² nur ein m). Diese beiden Quantenzahlen werden in den zweidimensionalen Diagrammen gezeichnet. Die Quantenzahl bzgl. des dritten Generators ist der Isospin (u-und d-Quarks), die Quantenzahl bzgl. des achten Generators ist die Strangeness (bezieht man die schwereren Quarks mit ein muss man insgs. sogar die SU(6) betrachten; diese ist jedoch keien gute Symmetrie, da die Massendifferenzen der Quarks dann zu groß werden).

Die Vorfaktoren vor der Quark-Antiquark-Kombination entsprechen übrigens den Diagonalelementen der beiden Generatoren.

Siehe dazu insbs. http://de.wikipedia.org/wiki/Gell-Mann-Matrizen

Wenn diu das wirklich verstehen willst, musst du schon einige Wochen in Liegruppen, -algebren und deren Darstellungen investieren. Wenn du damit selbst rechnen willst, dann wird es noch etwas länger dauern)

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Heisst das nun, dass die Elemente eines Multipletts Zustände mit jeweils gleicher Quantenzahl zu Hyperladung Y² und Isospin I² sind (in dem von mir zitierten Bild im Buch ist nämlich I3 und Y aufgetragen)?

Mein Problem ist, dass ich für den herkömmlichen Fall der Addition zweier Drehimpulse L (bzw. Spin S) weiss, dass

und deshalb aus den bekannten Eigenschaften der Leiteroperatoren und Sz leicht zeigen kann , dass z.B. der Singlett Zustand

ein Eigenzustand zu S² mit Eigenwert 0 ist. Genauso für die 3 anderen Zustände...

Thumbs up!

Ich wüsste aber nicht, was ich im Fall

zeigen kann oder überhaupt zu tun habe...

grübelnd

Das u-Quark hat laut meinem Buch die Quantenzahlen

I3=1/2 und Y=1/3

das d Quark I3=-1/2 und Y=1/3

und das s

I3=0 und Y=-2/3.

Erster Versuch:

Ich kann diese Quantenzahlen nun offenbar nicht als Eigenwert der dritten Komponente eines Drehimpulses interpretieren, da 1/3 , 1/3, -2/3 nicht äquidistant sind. Das m ginge ja in Schritten von 1 von -S bis +S (was aus den Vertauschungsrelationen des Drehimpulses folgt). Also kann ich auch nicht den Operator für Y² hinschreiben, da ich ihn nicht kenne.

Beim Drehimpuls hat der Operator S drei Komponenten (Sx, Sy, Sz), wieviele Komponenten hat der Operator Y und der Operator I? Gehe ich Recht in der Annahme, dass es 8 sind? Daher mein

Zweiter Versuch:

Ich nehme versuchsweise an, dass der Zustand u Eigenzustand der Matrizen

und

sind:

also

u = (1, 0, 0)

und erhalte

Ebenso habe ich

d = (0, 1, 0)

und

s = (0, 0, 1)

Bis auf den Faktor 1/2 würde das mit den Quantenzahlen im Buch zusammenstimmen. Das gilt (bis auf einen Faktor) auch für die Matrix

und die Y Eigenwerte.

Nun zu den zusammengesetzten Zuständen:

Für die Summe der Operatoren

ergibt sich für

während man für

Beide Zustände befinden sich aber im gleichen Oktett und sollten daher (so wie ich es verstanden habe) den gleichen Eigenwert haben. deshalb kann es auch so nicht gehen...

**??? WIE GEHT ES DANN ??? **

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Zwischenfrage:

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

mein vorletzter Fragenkomplex kann auf eine Kernfrage zusammengerafft werden:

Welche Eigenschaft hält das Oktett zusammen? Ist es eine Quantenzahl und falls ja, wie bestimmt sie sich für die gegebenen Zustände, welche in diesem Oktett drin sind?

Wodurch unterscheidet sich das Oktett vom Singulett? I.a.W: Die Dekomposition ist eine Zerlegung wonach ? Ich habe das noch nicht gecheckt...

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18022

Hast du irgendeine Literatur zur SU(3) oder zum Quarkmodell?

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

leider nichts g'scheits.

Hab nur den Halzen. Der ist zwar angeblich ein gutes Buch (sagt man) aber diese Modelle werden einfach ohne Kommentare und (fast) ohne Auseinandersetzung mit SU(3) hineingeworfen, als ob alles kinderleicht und sonnenklar wäre... Viele Statements soll man dann im Rahmen einer Übungsaufgabe herleiten, jedoch muss ich zugeben, dass das Niveau ziemlich hoch ist und ich meist passen muss. Weiter hinten im Buch wird es dann besser...

Kannst du etwas empfehlen? Oder einen Weblink?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18022

Mir fällt sponatn jetzt auch kein Buch ein. Schau mal in deine Bibliothek.

Wahrscheinlich reichen auch ältere Bücher; QFT und QCD sind nicht notwendig, um die SU(3) Flavorsymmetrie zu verstehen.

Grundsätzlich fiuntioniert die wie die SU(2) Isospinsymmetrie, nur dass eben eine weitere Quantenzahl (die Strangeness) hinzukommt. Man sortiert die Multiplets dann eben nach Isospin + Strangeness oder auch Baryonzahl + Hyperladung (im wesentlichen geeignete Linearkombinationen).

GuterGast · Gast

Hier kann der Band "Quantum Mechanics: Symmetries" von Greiner sehr hilfreich sein. In den Kapiteln 7 ("The SU(3) Symmetry") und 8 ("Quarks and SU(3)") findet man ziemlich ausführlich die Grundlagen dargestellt.

Gruß

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

danke.
diesen Band habe ich noch nicht in der Sammlung. Ich finde manche Bände vom Greiner eigentlich ziemlich gut (zB QED), bin aber auch schon eingefahren - z.B. mit QCD.

Ist dieser Band "Symmetrien" wirklich empfehlenswert?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18022

ich mag den Greiner grundsätzlich gar nicht!

GuterGast2 · Gast

Im Allgemeinen ist die Reihe vom Greiner nicht die erste Wahl, klar. Aber man findet halt mitunter hilfreiche Abschnitte in diesem recht umfangreichen Werk. Und einige davon befinden sich in dem genannten Band. Größtes Ärgernis (wie immer): schludrige Verlagsarbeit; in einer Reihe von Exemplaren der zweiten engl. Auflage fehlen weiter hinten Seiten, so ungefähr das 11. Kapitel. Davon abgesehen ist dieser Band dann aber durchaus nützlich. Vieles hat "Rechenmethoden"-Charakter und man kommt schon zügig voran, ohne sich nun die ganze Hintergrundmathematik erarbeiten zu müssen (dafür gibt es ja eigene Bücher). Wie immer werden viele Beispiele ausführlich durchgerechnet; wenn ich mich nicht irre ist das in deinem 1.Post genannte Problem sogar eines davon.
Also in Verbindung mit einem Buch wie dem Halzen finde ich diesen Band durchaus hilfreich.