Aufgabe zur Impuls- / Energieerhaltung

Spiderman2000 · Anmeldungsdatum: 04.06.2007 Beiträge: 3

Hallo,

ich komme bei folgender Aufgabe nicht auf das Kontrollergebnis:

Eine Person (m=75 kg) springt von einem steg (h= 0,5 meter) in ein 1,5 meter entferntes Boot (m = 300kg).
Mit welcher Geschwindigkeit (v_boot) bewegt sich das Boot vorwärts?

Mein Lösungsansatz:

1. Energieerhaltung:

E_pot = E_kin
=> v = sqrt(2*g*delta_h)

v_person= sqrt(2*9,81*0,5)
v_person= 3,132 m*s^-1

****************
Hier könnte schon ein Fehler sein, da sich die Geschwindigkeitskomponente ja eigentlich nicht nur nach unten, also in y-Richtung (0,5m) sondern auch nach vorne, also in x-Richtung (1,5m) aufteilt.

Muss ich dann also irgendwie mit dem cosinus arbeiten? Ich habe da viel rumprobiert, aber das Ergebnis simmt trotzdem nicht:(

*****************

2. Impulserhaltung:

p_person = p_system
m_person * v_person = (m_boot + m_person) * v_boot
(m_person * v_person) / (m_boot + m_person) = v_boot

also:

75 kg * 3,132 m*s^-1) / ( 300 kg + 75 kg) = v_boot
0,6264 m*s^-1 = v_boot

Das Kontrolergebnis ist aber: 0,938 m*s^-1

Was mache ich denn da falsch?

Wäre nett, wenn das jemand nachvollziehen könnte. ich bin mir fast sicher, dass es an der Aufteilung der Geschwindigkeitskomponente liegt. Oder ist der Ansatz totaler Quatsch?

Freundliche Grüße

Spiderman2000 · Anmeldungsdatum: 04.06.2007 Beiträge: 3

Hier sind nochmal meine Einzelüberlegungen.

Bitte sagt mir, wenn das ein schmarrn ist, was ich mir so gedacht habe!!!

Also klar ist doch, dass die Person folgende Anfangsenergie hat:

E_pot = m * g * h

E_pot = 75 kg * 9,81 m/s^2 * 0,5 m

E_pot = 367,875 kg*m^2/s^2

Diese Energie wird in Bewegungsenergie umgesetzt, die man bei dem Sprung in das Boot in eine vertikale und eine horizontale Komponente aufteilen kann, richtig?

Ein Impuls an das Boot, der für eine Vorwärtsbewegung sorgt kann nur von der horizontalkomponente ausgeübt werden, richtig?

Also wird folgender Energieteil in Impuls umgewandelt:

E_pot_x = E_pot * cos(alpha)
E_pot_x = 348,99687 kg*m^2/s^2

E_pot_x <-> E_kin
sqrt (E_pot_x * 2 / m_person) = v_person

3,0505593 = v_person

Dann noch die Impulserhaltung:
m_person * v_person = (m_person + m_boot) * v_boot

m_person * v_person / (m_person + m_boot) = v_boot

75 kg * 3,05 m/s / (75 kg + 300 kg) = 0,61 m/s

(Ich habe mal E_pot_x = p_system gesetzt und 0,9306 herausbekommen, aber das scheint mir schon schwachsinn zu sein. Energie und Impuls darf man so ja eigentlich nicht gleichsetzen, oder etwa doch?)

Hoffentlich gibts bald ein paar erleuchtende Hinweise für mich. Die Aufgabe macht mich langsam wahnsinnig!

Freundliche grüße

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ich habe Deine Beiträge nicht so ganz genau durchgelesen, also bitte nicht böse sein, wenn ich da was übersehen habe.
So weit ich sehe kann, sind Deine Überlegungen sehr gut und auch so weit richtig. Es liegt wirklich daran, dass Du nach dem Sprung nicht die gesamte Geschwindigkeit für die Impulserhaltung nehmen darfst, sondern nur den Anteil, der in horizontaler Richtung vorhanden ist.
Das liegt letztendlich daran, dass in der Impulserhaltung ja wirklich der Geschwindigkeitsvektor drin vorkommt. Letztendlich sind es eigentlich drei Gleichungen, nicht nur eine, nämlich eine für jede Raumrichtung. Der Impuls muss in allen drei Raumrichtungen erhalten sein.
Allerdings nimmt hier das Wasser bzw. der Auftrieb des Bootes den Impuls nach unten auf, so dass nur noch der in horizontaler Richtung übrig bleibt. Die Impulserhaltung sagt aber, dass der Impuls in horizontaler Richtung erhalten bleibt, also Impuls in horizontaler Richtung vor gleich Impuls selbe Richtung nachher.

Jetzt aber die Frage: Wie bekommst Du die Geschwindigkeit in horizontaler Richtung raus? Da hilft Dir wahrscheinlich der Energieerhaltungssatz nicht wirklich weiter. Ich würde hier eher wieder so rechnen, wie beim waagerechten Wurf. Und hier kommt schon eine Annahme, die in der Aufgabe nicht wirklich eindeutig gegeben ist. Normalerweise würde die Person ja nicht genau waagerecht abspringen, wenn das Boot so weit entfernt ist und er es erreichen will. Er würde dann eher etwas nach oben springen, denke ich. Das ist aber in der Aufgabe nicht angegeben und deshalb scheint man wirklich von einem waagerechten Wurf ausgehen zu müssen...

Du hast also eine h(t) und eine x(t) Funktion. Die h(t) ist der freie Fall mit der Anfangshöhe von 0,5m (also eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit a=-g). x(t) ist eine gleichförmige Bewegung mit der Geschwindigkeit

. Du kannst aus der h(t) die Zeit ausrechnen, die der Sprung gedauert hat und damit dann ausrechnen, wie schnell er sich in horizontaler Richtung bewegt haben muss, um innerhalb dieser Zeit das Boot erreichen zu können.
Danach kannst Du die Impulserhaltung machen, so wie Du das schon mit der anderen Geschwindigkeit versucht hast.

Gruß
Marco

Spiderman2000 · Anmeldungsdatum: 04.06.2007 Beiträge: 3

Hi as_string!

Mir fehlen die Worte.... aber ich probiers mal: Vielen vielen Dank für Deinen Denkanstoß! Die Aufgabe hat mich fertig gemacht, dabei ist sie doch denkbar einfach zu lösen:

Also ich mache es so, wie Du sagst:
E_kin = E_pot
v = sqrt( 2*g*h )
v = 3,132 m*s^-1

Freier Fall:
v - v0 = a*t , v0=0
v/a = t
3,132/9,81 = t
0,319 s = t

Dann die horizontale Geschwindigkeit:
v = s/t
v = 1,5 / 0,319
v = 4,702 m*s^-1

Jetzt noch die Impulserhaltung:
m_person * v_person = m_system * v_boot
(75 * 4,702) / 375 = v_boot
0,94 m*s^-1 = v_boot

So, rechnet man jetzt noch mit ein paar Nachkommastellen mehr, dann erscheint auch das Kontrollerrgebnis auf dem Schirm.
Aber wen interessiert das Ergebnis? Zahlen, nichts als Zahlen....

Vielen Dank und gute Nacht.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Das ist zwar alles gut und richtig, aber ich würde sagen, dass es noch einfacher geht, wenn Du für den "waagerechten Wurf" gar nicht die Energieerhaltung verwendest. Du bekommst die Zeit auch leichter raus, wenn Du direkt von:
h = ½·g·t²
ausgehst und dann nach t auflöst. Das ist dann gerade die Fallzeit. Du hast damit die Zeit und die Entfernung, woraus Du direkt mit v=s/t ausrechnen kannst, wie schnell der Springer in horizontaler Richtung gewesen sein muss, um in dieser Zeit das Boot erreichen zu können.

Gruß
Marco