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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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 MBastieK Verfasst am: 30. Jan 2024 17:15 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | transversalen Eigenschaften |
Der 4*4*4*4 Krümmungstensor hat 20 unabhängige Komponenten. [...]
Die 4*4*4 Christoffel-Symbole Gamma haben 40 unabhängige Komponenten. Speziell in der Schwarzschild-Metrik sind 13 der insgs. 64 Komponenten ungleich Null, davon sind noch 9 unabhängig |
So viele unabhängige Komponenten machen Gravitations-Wellen sicherlich interessant.
Nette Grüsse
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Intelligenz ist die Fähigkeit der (temporären) Anpassung. |
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 30. Jan 2024 17:25 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: |
Die Kompliziertheit der Ableitungen ist erstmal nachrangig für mich. Ich gehe davon aus, dass "Allgemein" alle Elemente des Krümmungstensors meint!?! D.h. alle Elemente des Krümmungstensor sind zweite Ableitungen!?!
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Nein, damit meine ich den allgemeinen Fall des Krümmungstensors
Wie man der verlinkten Videostelle entnehmen kann, enthält der auch Produkte von Gammas...
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 30. Jan 2024 17:38 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | Eine IMO ähnliche Idee, wie die von der "gebogenen Tangente" im zweiten Bild von MBastieK:
Wenn man statt der eindimensionalen Linie ein zweidimensionales Objekt nimmt, das von von dem flachen Bereich an den Rändern kommt, wird es sich in der Kuhle verformen müssen, wenn es nicht (wie eine wirkliche Tangente) aus dem Raum rausragen kann. |
Interessant. Eine Fläche die seitlich herausragen würde, wenn sie sich nicht auch seitlich krümmt.
Da kommen dann erläuterungs-technisch Eigenschaften oder Krümmungen hinzu, die ich transversal nenne. D.h. Eigenschaften die senkrecht zu den radial-symmetrischen Linien, die vom Masse-Mittelpunkt ausgehen, existieren.
Ich habe oder hatte vorrangig oder alleinig die Krümmungs-Linien gesehen, die "parallel" (oder "longitudinal") zu den radial-symmetrischen Linien sind, die von einem Masse-Punkt ausgehen. Aber die "transversalen" Krümmungen scheinen vielleicht bei der Schubkraft einer schwebenden oder verharrenden Rakete auch relevant.
Nette Grüsse
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Intelligenz ist die Fähigkeit der (temporären) Anpassung. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 30. Jan 2024 17:44 Titel: |
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Diese Krümmung – genauer: der Krümmungstensor – ist bei dieser Frage ziemlich irrelevant, weil sie (er) ganz offensichtlich die Divergenz derselben am Horizont nicht reproduziert.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 30. Jan 2024 18:29 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Diese Krümmung – genauer: der Krümmungstensor – ist bei dieser Frage ziemlich irrelevant, weil sie (er) ganz offensichtlich die Divergenz derselben am Horizont nicht reproduziert. |
Und mit Abstand zum Ereignishorizont:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Ich schätze mal, man kann sagen:
Neben der lokalen Raumzeit-Krümmung zählt auch der Abstand zum Masse-Mittelpunkt. Man kann die nötige Schub-Kraft zum Verharren nicht allein auf den Raumzeit-Krümmungs-Wert vor Ort reduzieren bzw. nicht allein dadurch ermitteln. |
Es ist ganz einfach:
Die Krümmung und hier in der Rechnung Gamma folgen aus der durch die Masse M verursacht Geometrie der Raumzeit. Diese Geometrie weiß sozusagen, wo die Masse M sitzt.
Die am Punkt P notwendige Schubkraft folgt aus der Geometrie am Punkt P |
Naja, wie kann man denn in der Formel für die Schubkraft das rote  * ersetzen mit einer Eigenschaft der lokalen Geometrie?
^2 = m^2 M^2 \frac{1}{\color{red}r^4 \, \color{black}f(r)} )
*(und eventuell dazugehöriger weiterer Faktor, wie z.B. oder vorrangig groß M)
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 30. Jan 2024 19:05 Titel: |
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Gegenfrage: Was stellst du dir denn unter einer lokalen Geometrie vor?
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 30. Jan 2024 19:26 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Gegenfrage: Was stellst du dir denn unter einer lokalen Geometrie vor? |
Das was Sie mit dem Satz meinen:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die am Punkt P notwendige Schubkraft folgt aus der Geometrie am Punkt P |
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18130
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| TomS Verfasst am: 30. Jan 2024 19:30 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Gegenfrage: Was stellst du dir denn unter einer lokalen Geometrie vor? |
Das was Sie mit dem Satz meinen:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die am Punkt P notwendige Schubkraft folgt aus der Geometrie am Punkt P |
Nette Grüsse |
Ja, so ist das auch. Konkret, aus der Metrik g(P) in einer infinitesimalen Umgebung von P folgen die Christoffel-Symbole Gamma(P), daraus die Bahnkurve.
Das ist aber kein Widerspruch dazu, dass diese lokalen Geometrie (bei P, bzw. entlang der Bahnkurve)!auch Effekte von Massen in anderen Punkten Q beinhaltet. Die ART beschreibt ja gerade, wie diese Effekte – wiederum lokal – propagieren; im einfachsten Fall wären das Gravitationswellen.
Wir haben das hier nur nicht besprochen und schauen immer auf die Näherung einer statischen Geometrie.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 30. Jan 2024 21:20 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Gegenfrage: Was stellst du dir denn unter einer lokalen Geometrie vor? |
Das was Sie mit dem Satz meinen:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die am Punkt P notwendige Schubkraft folgt aus der Geometrie am Punkt P |
Nette Grüsse |
Ja, so ist das auch. |
Wie ist das nun bezüglich meiner Frage darüber?
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Ich schätze mal ...neben der lokalen Raumzeit-Krümmung zählt auch der Abstand zum Masse-Mittelpunkt |
...
Diese Geometrie weiß sozusagen, wo die Masse M sitzt.
Die am Punkt P notwendige Schubkraft folgt aus der Geometrie am Punkt P |
Kann oder wie kann man die Formel
umformulieren, sodass sie nurnoch die Geometrie an Punkt P enthält? D.h. ohne (und  ).
Nette Grüsse
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 31. Jan 2024 06:04 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Hat er eine Idee der Visualisierung? |
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Ich meinte die Christoffel-Symbole.
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ach so...
Inzwischen habe ich den Teil der Vorlesung angeschaut, wo er die Christoffel-Symbole [Gammas] einführt und versuche mich mal an einer Antwort:
Er führt die ein, bei der Frage, was eine sinnvolle Ableitung eines Tensors ist, die selbst wieder ein Tensor ist, mit eben der Tensor-Eigenschaft, dass wenn die in einem Koordinatensystem 0 ist, die in allen Koordinatensystem 0 ist, was bei einer schlichten Ableitung der Komponenten ja nicht der Fall ist.
Er veranschaulicht Letzteres dadurch, dass er ein kartesisches Koordinatensystem zeichnet und darin eines mit gebogenen Koordinatenachsen und dann zwei gleiche (Richtung und Länge) Pfeile an unterschiedlichen Orten, die Vektoren symbolisieren.
Obwohl die Vektoren gleich sind, sind die Komponenten in dem gebogenen Koordinatensystem offensichtlich nicht gleich, sondern vom Ort des Vektors abhängig.
Die Ableitung eines Vektors (Tensors), die ja die Ortsabhängigkeit angibt, hat offenbar zwei Anteile:
1.) Einen, der die tatsächliche Änderung des Vektors mit dem Ort angibt und
2.) einen der die Änderung des Vektors in einem spezifischen Koordinatensystem angibt.
1.) ist die normale Ableitung
2.) ist das Produkt der Christoffelsymbole mit dem Vektor
Die gesuchte Ableitung ist die kovariante Ableitung D, hier angewendet auf den Vektor V:
Das verallgemeinert er dann auf Tensoren auch anderer Stufen
mathematisch ist mir das anschaulich genug
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Von der Idee her ist das Gamma ja eine Maschine, in die man Objekte hineinsteckt und aus der andere herauspurzeln. Bei Gamma wären letzteres die Analoga zu Kräften, für Teilchen und deren Geodäten, aber auch für Felder.
Das sollte die Leitlinie sein.
Geodätische Abstände wären z.B. eine Idee. |
so weit bin ich noch nicht vorgedrungen, aber natürlich kann man dann obige Aussage auf alle Objekte, die von Tensoren dargestellt werden anwenden und für die Differentialgleichungen aufstellen, die vom Koordinatensystem unabhängig sind.
Die Anwendung von Gamma auf ein Objekt liefert nach meinem derzeitigen Verständnis dabei den vom Koordinatensystem abhängigen Teil, als gerade nicht eine Invariante, aber dadurch, dass Gamma diesen Teil berechenbar macht, kann man die Invarianten bestimmten, oder Gleichungen invariant formulieren.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18130
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| TomS Verfasst am: 31. Jan 2024 06:22 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | … wie kann man die Formel
umformulieren, sodass sie nur noch die Geometrie an Punkt P enthält? D.h. ohne (und ). |
Zunächst ein Schritt zurück, da in der Kraft F ja die Vierergeschwindigkeit u des Objektes steckt, das diese Kraft spürt; d.h. wir betrachten statt
nur noch Gamma, besser sogar nur noch die Metrik g, aus der Gamma berechnet werden kann.
Diese Metrik schreibt man allgemein als
(Summe über mu, nu)
speziell für die Schwarzschild-Geometrie als
wobei g eine Diagonalmatrix und f die bekannte Funktion ist.
Nun kann man an jedem Punkt der Raumzeit Vektoren u, v, betrachten, also Geschwindigkeiten, Beschleunigungen u.v.a.m. und das auf gekrümmten Raumzeiten verallgemeinerte Skalarprodukt bilden
 = g_{\mu\nu} u^\mu v^\nu)
In drei Dimensionen und einem flachen Raum entspräche das einfach
 = \sum_{i,k=1}^3 g_{ik} u^i v^k = \sum_{i}^3 u^i v^i )
mit
Die Metrik g(P) ist eine Funktion der Raumzeit-Punkte P, die Vektoren u(P), v(P), die an diesen Punkten definiert sind, dieses verallgemeinerte Skalarprodukt zuordnet.
Mit der linken Schreibweise sind wir die Koordinaten t, r usw. losgeworden.
Damit ist g(u,v) koordinatenfrei.
Wichtig: Vektoren u,v und Tensoren wie g haben eine Bedeutung unabhängig von ihren Komponenten, die immer nur bzgl. bestimmter Koordinaten gelten.
Allerdings haben wir uns jetzt wieder Vektoren u, v eingehandelt. u, v sind jedoch beliebig, d.h. g(u,v) charakterisiert die Geometrie nicht mittels bestimmter Vektoren, sondern mittels aller möglichen Vektoren, für alle Raumzeitpunkte P (gebauer also Vektorfelder).
D.h. r und t sind nur eine spezielle Koordinatenwahl für spezielle Berechnungen. Die Ergebnisse dieser Berechnungen sind jedoch unabhängig von der Wahl eines Koordinatensystens, d.h.
 = g_{\mu\nu} u^\mu v^\nu = \bar{g}_{\mu\nu} \bar{u}^\mu \bar{v}^\nu )
wobei
eine (von unendlich vielen möglichen) Koordinatentransformation bezeichnet.
Damit ist g(P) das gesuchte Objekt, das die Geometrie lokal für alle Raumzeitpunkte bezeichnet. Die Invarianz unter Koordinatentransfornationen bezeichnet man als Diffeomorphismeninvarianz. Sämtliche Messgrößen d.h. Observablen in der ART können koordinatenfrei definiert werden; sie sind außerdem immer invariant bzgl. dieser Diffeomorphismen.
Die physikalisch messbare Kraft F bzw. Beschleunigung a = F/m, die wir oben betrachtet haben, lautet für einen beliebigen Beobachter mit Vierergeschwindigkeit u einfach
Ihr Betrag ist messbar, er ist definiert als
})
Das ist jedoch sehr abstrakt, und für konkrete Berechnungen muss man immer Koordinaten einführen. Die o.g. sind dabei nur dadurch ausgezeichnet, dass sie praktisch sind.
Beantwortet das die Frage?
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 31. Jan 2024 07:07, insgesamt 10-mal bearbeitet |
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 31. Jan 2024 06:29 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Hallo!
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die Bilder zeigen leider nicht, was mathematisch "wirklich" passiert. |
Aber kann man nicht anhand dieser Bilder oder Erläuterung oder Denkweise eine Isomorphie in niederen visualisierbaren Dimensionen oder Projektion aufbauen? Bei denen die Wirkmechanismen der nicht-visualisierbaren Faktoren, die in diesen Projektionen übrig bleiben, kommunizierbar bleiben, weil sie ergänzend das Geschehen beschreiben.
|
Mir scheint, Du benutzt hier mathematische Begriffe in Kontexten, wo die nicht hinpassen...
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: |
Ich meine, so eine Gewebs- oder Tuch-Krümmungs-Beschreibung (Bild 2) deckt ja schon einiges ab an Erläuterung.
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Die Frage ist, wo die Abweichungen/Grenzen/Irreführungspotentiale sind:
Spontan fällt mir ein:
1.)Oft wird da ja tatsächlich ein Tuch verwendet, dass dann von einer großen schweren Kugel so verformt wird (oder zeigt eine große Kugel in einer solchen Form und impliziert, dass die große die Form verursacht hätte)
Dann lässt man irgendwelche Murmeln in die Krümmung rollen und guck, wenn man die schräg rollt, dann bewegen die sich auf Kurven um die große Kugel.
Da wird dann aber Schwerkraft mit Schwerkraft erklärt, denn die große Kugel krümmt das Tuch natürlich wegen des Schwerkraftfeldes der Erde und das sorgt auch dafür, dass die Murmeln bergab rollen.
2.) das gekrümmte Tuch ist eine 2D-Fläche die in einen 3D-Raum eingebettet ist und in diese gekrümmt.
Da ist es nicht so einfach eine extrinsische von einer intrinsischen Krümmung zu unterscheiden.
3.) Was die Krümmung der Zeit bedeutet, bleibt völlig unklar, da die Murmeln sich ja in normaler Zeit bewegen.
So was ist ein Hilfsmittel, irgendeine Vorstellung zu erreichen, aber es wäre zu wünschen, dass einem klar ist, dass dabei bestimmte Aspekte nicht abgebildet werden können.
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 31. Jan 2024 06:59 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: |
Interessant. Eine Fläche die seitlich herausragen würde, wenn sie sich nicht auch seitlich krümmt.
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in einer 4D-Raumzeit, die nicht in einen höherdimensionalen Raum eingebettet ist, kann eben nix seitlich herausragen....
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: |
Ich habe oder hatte vorrangig oder alleinig die Krümmungs-Linien gesehen, die "parallel" (oder "longitudinal") zu den radial-symmetrischen Linien sind, die von einem Masse-Punkt ausgehen.
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Eventuell weil Du von der Vorstellung ausgehst, dass da was bergab rollt, und da ist ja nur das Gefälle auf dem Weg ausschlaggebend.
Aber - wenn ich das richtig verstanden habe - der Krümmungstensor "tastet" das Gebiet lokal ab.
Er repräsentiert ja den Vierertransport, also die Abweichung davon, ob man erst in einen Vektor erst in eine Richtung bewegt und dann in eine andere, oder ob man die Reihenfolge umkehrt.
Das entspricht der Differenz zweier zweiter (kovarianter!) Ableitungen aber eben nicht zweifache kovariante Ableitung bezüglich der gleichen Koordinate, sondern eine bezüglich der einen und eine bezüglich der anderen.
[siehe youtu.be/cyW0LWEACfI?feature=shared&t=5854]
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: |
Aber die "transversalen" Krümmungen scheinen vielleicht bei der Schubkraft einer schwebenden oder verharrenden Rakete auch relevant.
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keine Ahnung,
zunächst mal sind die für die Gezeitenkräfte auf die Rakete relevant.
Und inzwischen scheint mir klar, dass Krümmung keine notwendige Bedingung für ein Gravitationsfeld ist, in einem beschleunigten Aufzug, in dessen Bezugssystem ein homogenes ("Fake"-)Gravitationsfeld herrscht müsste eine Rakete ja auch Schubkraft aufwenden, um in diesem Bezugssystem auf der Stelle zu bleiben.
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 31. Jan 2024 07:08 Titel: |
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Was ich noch nicht verstanden habe:
Laut Susskind ist eine Kegelfläche (mit abgerundeter Spitze) mit Ausnahme von der Spitze flach, da man den aus einer flachen Fläche bilden kann.
Die Krümmung an der Spitze soll aber dafür sorgen, dass auch in der flachen Fläche der (Krümmungs-)Effekt auftritt, dass ein Vektor auf dem gebildeten Kegel seine Richtung mit einem Umlauf ändert...
youtube.com/watch?v=cyW0LWEACfI&t=4918s
Ist das eine "Fernwirkung" der Krümmung an der Spitze, oder liegt das daran, dass die Kegelfläche nicht wirklich flach ist, da man die ja aufschneiden muss, um die flach hinzulegen.....
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18130
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| TomS Verfasst am: 31. Jan 2024 08:18 Titel: |
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| Aruna_Gast hat Folgendes geschrieben: | | Und inzwischen scheint mir klar, dass Krümmung keine notwendige Bedingung für ein Gravitationsfeld ist, in einem beschleunigten Aufzug, in dessen Bezugssystem ein homogenes ("Fake"-)Gravitationsfeld herrscht müsste eine Rakete ja auch Schubkraft aufwenden, um in diesem Bezugssystem auf der Stelle zu bleiben. |
Der Unterschied ist aber, dass das homogene Fake-Feld eben nur ultra-lokal existiert, als Artefakt der nicht-geodätischen Bewegung. Den Unterschied zum normalen Gravitationsfeld sieht man erst, wenn man eine gewisse räumliche Umgebung betrachtet.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18130
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| TomS Verfasst am: 31. Jan 2024 09:31 Titel: |
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| Aruna_Gast hat Folgendes geschrieben: | Was ich noch nicht verstanden habe:
Laut Susskind ist eine Kegelfläche (mit abgerundeter Spitze) mit Ausnahme von der Spitze flach, da man den aus einer flachen Fläche bilden kann.
Die Krümmung an der Spitze soll aber dafür sorgen, dass auch in der flachen Fläche der (Krümmungs-)Effekt auftritt, dass ein Vektor auf dem gebildeten Kegel seine Richtung mit einem Umlauf ändert...
Ist das eine "Fernwirkung" der Krümmung an der Spitze, oder liegt das daran, dass die Kegelfläche nicht wirklich flach ist, da man die ja aufschneiden muss, um die flach hinzulegen..... |
Das ist eine schwierige Argumentation, denn das selbe gilt offenbar auch, wenn man die Spitze abschneidet und durch einen Kreis als Rand ersetzt.
Betrachtet wir
sowie einen Streifen innerhalb des Zylindermantels
Die Geometrie innerhalb des Streifens weiß nichts von der Kappe, d.h. auch, sie kennt nicht den Unterschied
Der Streifen bzw. der Zylinder alleine sind topologisch äquivalent zu einer flachen Kreisscheibe, aus der ein ein kleiner Kreis herausgeschnitten wurde.
Ich denke, es gibt da zwei Effekte:
1. Susskind bettet den Zylinder in den 3-dim. Raum ein
2. der Effekt der Spitze ist ein topologischer Effekt
Ich muss mir das überlegen, ist jedenfalls interessant.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 31. Jan 2024 12:18 Titel: |
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Hallo!
| Aruna_Gast hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Aber kann man nicht anhand dieser Bilder oder Erläuterung oder Denkweise eine Isomorphie in niederen visualisierbaren Dimensionen oder Projektion aufbauen? Bei denen die Wirkmechanismen der nicht-visualisierbaren Faktoren, die in diesen Projektionen übrig bleiben, kommunizierbar bleiben, weil sie ergänzend das Geschehen beschreiben. |
Mir scheint, Du benutzt hier mathematische Begriffe in Kontexten, wo die nicht hinpassen... |
Ich weiss ja nicht.
Ich kann mir vorstellen, dass es andere höher kognitive Lebewesen innerhalb dieses Universum da draussen gibt, die die selbe Wahrnehmung haben wie wir (d.h. keine 4D-Wesen) und die auch die Erkenntnisse der Relativitäts-Theorie haben. Ich denke nicht, dass sie die selbe Mathematik haben wie wir. Zumindest haben sie andere Symboliken mit anderweitiger Anordnung. Ich denke oder kann mir vorstellen oder möchte nicht ausschliessen, dass da einige dabei sind, die eventuell eine strikt mathematische Darstellung diesbezüglich haben, die anschaulicher ist als unsere, aber die isomorph ist bzw. sein muss.
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 31. Jan 2024 13:59 Titel: |
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Insofern diese Wesen die selben messbaren Größen beschreiben, muss ihre Mathematik zumindest bezüglich dieser Größen isomorph sein.
Da wir jedoch messbare Größen vierdimensionaler Objekte (Krümmungstensor etc.) kennen, müssen wir diese Vierdimensionalität notwendigerweise abbilden. Dummerweise kennen wir jedoch Gegenheiten, die wir nicht aus vier in drei Dimensionen abbilden können; isomorph sicher nicht, jedoch nicht mal ansatzweise.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 31. Jan 2024 14:07 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | isomorph sicher nicht, jedoch nicht mal ansatzweise. |
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Da wir jedoch messbare Größen vierdimensionaler Objekte (Krümmungstensor etc.) kennen |
Davon gehe ich bei denen auch aus. D.h. dass sie diese vierdimensionalen Objekte kennen und einbeziehen. Ich meine ja auch eine vollständige oder 4-dimensionale Isomorphie, die aber besser kommunizierbar oder vermittelbar ist.
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 31. Jan 2024 14:16 Titel: |
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Die Anzahl der unabhängigen Komponenten der Metrik g in d Dimensionen ist
![](https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \char"0023_g(d) = \frac{d \, (d + 1)}{2})
Für d = 2, 3, 4, 5 … liefert dies # = 3, 6, 10, 15 …
Die Anzahl der Constraints aufgrund der Diffeomorphismen-Invarianz in d Dimensionen ist
![](https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \char"0023_C(d) = 2 d )
Damit verbleiben die dynamischen Freiheitsgrade
![](https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \char"0023_g^\text{dyn}(d) = \char"0023_g(d) - \char"0023_C(d) )
Für d = 2, 3, 4, 5 … liefert dies -1, 0, 2, 5 …
Konkret: Geometrie ist nicht dynamisch in weniger als vier Dimensionen. Für simple Fragen wie statische Schwarze Löcher – ok. Für komplexere Fragen – no way.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 31. Jan 2024 14:32, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 31. Jan 2024 14:20 Titel: |
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Wir müssen uns da ja nicht widersprechen. Ich rede ja von vollständig. D.h. ihr letzter Beitrag muss in isomorpher Weise mit beinhaltet sein.
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 31. Jan 2024 14:31 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Wir müssen uns da ja nicht widersprechen. Ich rede ja von vollständig. D.h. ihr letzter Beitrag muss in isomorpher Weise mit beinhaltet sein. |
Wie soll das funktionieren?
Es geht darum, Gegebenheiten aus vier Dimensionen anschaulich darzustellen. Das könnte auch in drei Dimensionen funktionieren. Es kann nicht isomorph funktionieren.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 31. Jan 2024 14:35 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Es geht darum, Gegebenheiten aus vier Dimensionen anschaulich darzustellen. Das könnte auch in drei Dimensionen funktionieren. Es kann nicht isomorph funktionieren. |
Ja, weil ich es auch so nicht meine.
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 31. Jan 2024 14:36 Titel: |
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Dann verstehe ich die Benutzung des Begriffs "isomorph" nicht. Was ist damit gemeint?
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 31. Jan 2024 14:44 Titel: |
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Zwei verschiedene Arten der Darstellung und Strukturisierung, die aber zueinander bijektiv sind, d.h. ohne Verlust zueinander überführbar. Haben Sie mal Gödel Escher Bach gelesen? Da werden in den ersten Kapiteln die Grundlagen der Arithmetik isomorph dargestellt. Aber nicht gerade anschaulich.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 31. Jan 2024 15:30 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Zwei verschiedene Arten der Darstellung und Strukturisierung, die aber zueinander bijektiv sind, d.h. ohne Verlust zueinander überführbar. Haben Sie mal Gödel Escher Bach gelesen? Da werden in den ersten Kapiteln die Grundlagen der Arithmetik isomorph dargestellt. Aber nicht gerade anschaulich. |
Ich weiß, was Isomorphie und Bijektivität bedeuten. Aber Bijektivität und Algebra sind als Beispiel m.E. ziemlich untauglich, das erklärt es m.E. nicht.
Evtl. gibt es ja ein einfaches Beispiel, das wir besser verstehen. Nehmen wir an, wir haben ein zweidimensionales System (plus Zeit als dritte Dimension) mit elektromagnetischen Feldern. Wie bilde ich das auf eine Dimension ab – zur einfacheren Veranschaulichung, die Zeit jetzt als zweite Dimension?
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 31. Jan 2024 16:38 Titel: |
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Können wir uns erstmal darauf einigen, dass ich in meinen Gedanken oder vorherigen Beschreibungen eine vollständige Isomorphie meine? D.h. 4-dimensional ohne Dimensions- oder Informations-Verlust.
Nette Grüsse
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TomS
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| TomS Verfasst am: 31. Jan 2024 17:36 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Ich möchte nicht ausschliessen, dass weitere Faktoren des Krümmungs-Tensors nicht auch ihren Platz finden können in dieser anschaulichen Erläuterung. |
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Können wir uns erstmal darauf einigen, dass ich in meinen Gedanken oder vorherigen Beschreibungen eine vollständige Isomorphie meine? D.h. 4-dimensional ohne Dimensions- oder Informations-Verlust. |
Ich habe beides verstanden, aber es schließt sich m.E. gegenseitig aus.
1. anschaulich heißt nicht-4-dim.
2. ohne Informationsverlust und daher 4-dim. heißt unanschaulich.
Deswegen nochmal mein Vorschlag: lass' uns doch mal so tun, als ob Elektrodynamik in 2+1 Dimensionen extrem unanschaulich wäre, und lass uns eine 1+1 dimensionale Veranschaulichung suchen.
Dann lernen wir am ehesten, was nicht funktioniert: also was können wir in einer Raum-Dimension nicht oder nicht richtig abbilden, darstellen o.ä.
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 31. Jan 2024 17:49 Titel: |
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Ja, jetzt nageln Sie mich an dem einen Wort drauf fest.
Oder Sie nehmen eine temporäre Alternativ-Interpretation des Wortes 'anschaulich', die in den Kontext der vollständigen Isomorphie passt.
Nette Grüsse
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TomS
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| TomS Verfasst am: 31. Jan 2024 18:14 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Ja, jetzt nageln Sie mich an dem einen Wort drauf fest. |
Na ja, irgendwas muss doch mal klar sein.
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Oder Sie nehmen eine temporäre Alternativ-Interpretation des Wortes 'anschaulich', die in den Kontext der vollständigen Isomorphie passt. |
Ich versuche halt, den Pudding an zu Wand zu nageln.
Schau, ich will auf ein ganz einfaches Beispiel hinaus. Wir veranschaulichst du in einer Dimension die Lorentz-Kraft?
a) es existiert kein B-Feld
b) wenn eines existieren würde, wäre es immer parallel zur Geschwindigkeit, die Lorentz-Kraft daher immer Null
Die 1+1 dim. Elektrodynamik liefert dir also nicht den geeigneten Rahmen, weil diese Isomorphie an der entscheidende Stelle fehlt. Selbst wenn wir das ignorieren, scheitert eine Veranschaulichung, weil wir in einer Dimension keine zwei Richtungen denken können.
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 31. Jan 2024 20:22 Titel: |
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Vielleicht über Farben, d.h. ein definiertes Farb-Schemata, dass die Auslenkung oder Orts-Veränderung in einer höheren Dimension anzeigt.
So könnte z.B. eine Kugel, die in unseren 3 Dimensionen steht, über vordefinierte Farb-Veränderung anzeigen, wohin oder wie sie sich in der 4.ten Dimension bewegt.
Genauso die vordefinierte farbliche Auslenkung in eine weitere Dimension eines Elektrons, was sich plan auf einer 2D-Fläche senkrecht zu den dort ebenfalls plan aufgezeichneten B-Feld-Linien bewegt.
Edit:
In 1 Dimension kann man über Farbwert und Opacity 2 Informationen auf der Linie unterbringen.
Nette Grüsse
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TomS
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| TomS Verfasst am: 31. Jan 2024 23:59 Titel: |
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Damit löst du das Problem nicht wirklich. In zwei Dimensionen haben wir zwei Komponenten für das E- und eine für das B-Feld; dann haben wir zwei Komponenten für die resultierende Kraft, und ebenfalls zwei für die Geschwindigkeit. Zusammen also 7.
Wir müssen also in einer Dimension sieben Informationen unterbringen. Anschaulich soll es zudem auch noch sein. Die Anzahl der benötigten Informationen wächst typischerweise mit einer Potenz zwei bis vier mit der Anzahl der Dimensionen …
Ich schlage also vor, dass wir die Idee der anschaulichen und zugleich isomorphen Darstellung höherdimensionaler Theorien in weniger Dimensionen zu den Akten legen und uns wieder erfolgversprechenderen Themen widmen.
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 01. Feb 2024 00:24 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich schlage also vor, dass wir die Idee der anschaulichen und zugleich isomorphen Darstellung höherdimensionaler Theorien in weniger Dimensionen zu den Akten legen und uns wieder erfolgversprechenderen Themen widmen. |
Ja, kein Problem.
Nette Grüsse
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 01. Feb 2024 00:50 Titel: |
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| Aruna_Gast hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: |
Interessant. Eine Fläche die seitlich herausragen würde, wenn sie sich nicht auch seitlich krümmt.
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in einer 4D-Raumzeit, die nicht in einen höherdimensionalen Raum eingebettet ist, kann eben nix seitlich herausragen.... |
Ja, ich meinte aber auch, dass es selbst da (in der nieder-dimensionalen Darstellung) nicht sein darf (also das Herausragen), um das Prinzip zu bedienen.
Interessant finde ich aber auch, dass, wenn es herausragen würde, es auch aus der Zeit-Achse herausragen würde.
| Aruna_Gast hat Folgendes geschrieben: | Dann lässt man irgendwelche Murmeln in die Krümmung rollen und guck, wenn man die schräg rollt, dann bewegen die sich auf Kurven um die große Kugel.
Da wird dann aber Schwerkraft mit Schwerkraft erklärt, denn die große Kugel krümmt das Tuch natürlich wegen des Schwerkraftfeldes der Erde und das sorgt auch dafür, dass die Murmeln bergab rollen. |
Ja, das habe ich mir auch mal gedacht, so wie viele andere (siehe Bild). Es ist ja auch nicht so oder soll ja nicht so sein, da es ja über die Raumzeit-Geodäten und Kräfte-Freiheit erklärt wird. Wäre aber interessant, wenn eine Kraft aus der 5.ten Dimension doch mitwirken würde.
Auf einer Raumstation würde bei dem Erklärungs-Modell die Kugel über den Tuch schweben und sich nicht drum scheren quasi in seiner Dimension zu bleiben. Eine 5D-Kraft würde ein Objekt dann dazu zwingen in seiner Dimension zu bleiben, aber es kommt ja, wie gesagt, ohne Kräfte aus.
Edit:
Oder, stark verrückt gedacht, die Raumzeit bewegt sich (oder wächst) und die Objekte werden durch ihre Trägheit quasi auf die Raumzeit runtergedrückt. Das würde in der nieder-dimensionalen Darstellung bedeuten, dass das Tuch(Raumzeit) sich ständig nach oben bewegt (und unter sich wächst).
Nette Grüsse
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 01. Feb 2024 05:32 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Aruna_Gast hat Folgendes geschrieben: | Was ich noch nicht verstanden habe:
Laut Susskind ist eine Kegelfläche (mit abgerundeter Spitze) mit Ausnahme von der Spitze flach, da man den aus einer flachen Fläche bilden kann.
Die Krümmung an der Spitze soll aber dafür sorgen, dass auch in der flachen Fläche der (Krümmungs-)Effekt auftritt, dass ein Vektor auf dem gebildeten Kegel seine Richtung mit einem Umlauf ändert...
Ist das eine "Fernwirkung" der Krümmung an der Spitze, oder liegt das daran, dass die Kegelfläche nicht wirklich flach ist, da man die ja aufschneiden muss, um die flach hinzulegen..... |
Das ist eine schwierige Argumentation, denn das selbe gilt offenbar auch, wenn man die Spitze abschneidet und durch einen Kreis als Rand ersetzt.
[...]
Der Streifen bzw. der Zylinder alleine sind topologisch äquivalent zu einer flachen Kreisscheibe, aus der ein ein kleiner Kreis herausgeschnitten wurde.
|
Was bedeutet "topologisch äquivalent"?
Bzw. eine ganze Kreisscheibe oder ein Sektor davon?
Aus Letzterem kann ich ja einen Kegel formen, indem ich die geraden Seiten aneinander lege. Bei einem ganzen Kreis gibt es keine geraden Seiten.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ich denke, es gibt da zwei Effekte:
1. Susskind bettet den Zylinder in den 3-dim. Raum ein
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Ja, in der dritten Dimension kann ich die geraden Seiten eines Kreissektors aneinanderlegen, obwohl die in der Ebene nicht parallel sind.
Dadurch kommt dann auch der Sprung der Pfeilrichtung an der Schnittstelle zusammen.
Wenn ich z.B. einen Viertel-Kreis rausschneide und dann Pfeile einzeichne, die zu einer Schnittseite parallel sind, dann haben die natürlich auf der Fläche alle einen 90°-Winkle zu der anderen Schnittseite.
In 3D kann ich die Schnitte parallel aneinanderlegen und dann gibt es dort einen Sprung um 90°
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 01. Feb 2024 11:06 Titel: |
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Ich stelle das Ergebnis nicht in Frage, aber ich habe Probleme mit der Erklärung mittels der Spitze bzw. der Krümmung an der Kappe.
1. Stell dir vor, du nimmst das Papier und faltest einen Kegel inkl. Spitze so wie Susskind.
2. Stell dir vor, du schneidest vor (oder nach) dem Zusammenkleben den Teil des Papieres weg, der die Spitze bilden wird. Damit erhältst du einfach einen deformierten Zylinder mit einem Rand, da wo vorher die Spitze oder Kappe war.
Das Ergebnis für den Transport des Vektors ist jedoch unverändert. D.h. es kann nicht an der Spitze oder der Krümmung der Haube liegen.
Das neue Gebilde nach (2) ist aber topologisch äquivalent zu einem Zylindermantel oder zu einer flachen gelochten Kreisscheibe. In beiden Fällen gibt es keinen Defizit-Winkel an der Spitze – es gibt schlicht keine Spitze.
D.h. dass der Effekt auch im Verkleben zum Zylinder bzw. zur gelochten Kreisscheibe steckt, und dass die Spitze lediglich ein Artefakt der Einbettung in den 3-dim. Raum ist. Das sieht man auch bei 1:26:40 im Video, da das rote Vektorfeld nicht im 2-dim. Kegelmantel sondern im 3-dim. Raum lebt. Eine Minute später wird dann das 2-dim. Vektorfeld gezeigt, aber dazu braucht's keine Spitze.
Ist aber eine spannende Frage.
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 01. Feb 2024 15:32 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | Was ich noch nicht verstanden habe:
Laut Susskind ist eine Kegelfläche (mit abgerundeter Spitze) mit Ausnahme von der Spitze flach, da man den aus einer flachen Fläche bilden kann.
Die Krümmung an der Spitze soll aber dafür sorgen, dass auch in der flachen Fläche der (Krümmungs-)Effekt auftritt, dass ein Vektor auf dem gebildeten Kegel seine Richtung mit einem Umlauf ändert...
www.youtube.com/watch?v=cyW0LWEACfI&t=4918s |
Interessant.
Da es ja keine ausgezeichnete Berührungs- oder Verbindungs-Kante gibt, müsste dies ja für alle Punkte auf dem Kegel* gelten. D.h. es gelten überall 2 Vektoren oder genauer gesagt eine Range oder Menge von Vektoren, die den Übergang von einem Vektor zum rotierten enthält. Oder?
Das erste Mal, dass Koordinaten-Transformation interessant auf mich wirkt.
*wenn ich zur Erleichterung einen spitzen Kegel mir da denke
Edit:
Wobei ich mir vorstellen kann, dass die Menge im oberen Bereich des Kegels anders oder quasi "schneller" ist, da die Rotations-Änderung im oberen Bereich schneller vollzogen wird, pro seitlicher Bewegung, d.h. Weg-Unterschied.
Nette Grüsse
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Zuletzt bearbeitet von MBastieK am 01. Feb 2024 18:45, insgesamt 8-mal bearbeitet |
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 01. Feb 2024 15:33 Titel: |
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Folge-Beitrag.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Ja, so ist das auch. Konkret, aus der Metrik g(P) in einer infinitesimalen Umgebung von P folgen die Christoffel-Symbole Gamma(P), daraus die Bahnkurve.
Das ist aber kein Widerspruch dazu, dass diese lokalen Geometrie (bei P, bzw. entlang der Bahnkurve)!auch Effekte von Massen in anderen Punkten Q beinhaltet. |
Ja, ich sehe da auch kein Widerspruch.
Diese Geometrie an Punkt P entsteht ja gerade durch die Massen an anderen Punkten Q.
Nette Grüsse
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TomS
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| TomS Verfasst am: 01. Feb 2024 16:10 Titel: |
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@Aruna_Gast –
m.E. funktioniert das wie folgt:
Polarkoordinaten für die Kreisscheibe
Jetzt den Keil mit Winkel delta rausschneiden und neu Verkleben:
Das reduziert den Umfang um den Faktor q, d.h.
Jetzt für diese immer noch flache Metrik (zeigen!) den Levi-Cevita-Zusammenhang (Christoffel-Symbole) berechnen. Das funktioniert ähnlich wie in Polarkoordinaten, nur werden diese jetzt mit q garniert sein.
Dann eine geschlossene Kurve festlegen, die den Ursprung umläuft:
 = (r_0 = \text{const}, 0 \le \psi < 2\pi))
Dann ein 2-dim. Vektorfeld V definieren und den Paralleltransport entlang Gamma berechnen
Und zuletzt
Das Ergebnis ist natürlich abhängig von V (für V konstant und parallel gamma trivialerweise Null, da das gerade die Geodätengleichung ist). Außerdem ist es eine Funktion von delta bzw. q.
Damit benötigt man keine Krümmung und keine Kappe, Spitze oder Singularität (habe aber inzwischen gesehen, dass Physiker das so machen).
Ersetzt man die Spitze durch eine Kugelkappe, so ändert sich an der Berechnung nichts, da gamma weit weg von der Kappe verläuft. Ob dort also eine Spitze, Kugelkappe oder ein Rand bzw. Loch vorliegt, ist egal.
Auch dass man den Kegel von drei Dimensionen her denken kann, ist egal. Letzteres kann man aber zur Definition des Kegels und der Metrik nutzen. Es gilt für die Lagrangefunktion des freien Teilchens in drei Dimensionen:
}(r, \theta, \phi) = \frac{1}{2} \dot{x}^2 = \frac{1}{2} g_{ab}\dot{x}^a \dot{x}^b)
Das berechnet man in Kugelkoordinaten und fixiert anschließend theta, d.h.
} = L^{(3)}_{\theta = \theta_0, \partial_\theta = 0})
Damit erhält man sofort die Metrik auf dem Kegel. theta hängt natürlich mit delta bzw. q zusammen.
Ich muss das alles noch durchrechnen, bin mir aber sicher, dass das genau so funktioniert.
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TomS
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| TomS Verfasst am: 01. Feb 2024 16:47 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Das erste Mal, dass Koordinaten-Transformation interessant auf mich wirkt. |
Es ist keine Koordinatentransformation.
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