FAQ - Gezeiten: Missverständnisse, ab initio Herleitung

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18082

Ich starte mal den Versuch einer knappen und präzisen Darstellung unseres heutigen Verständnisses der Gezeiten als rein gravitativ bedingte Effekte, d.h. als Antwortverhalten einer strömenden Flüssigkeit auf gravitative Kräfte des Erde-Mond-Systems im Rahmen der Strömungsmechanik.

(Die Effekte der Sonne sind für die Gezeiten auf der Erde wichtig, wir werden sie im folgenden jedoch vernachlässigen, um die prinzipiellen Fragen zu klären).

Ich unterscheide einerseits die Erde (d.h. die Erdkruste sowie tiefere Schichten) und eine zusätzliche dünne Wasserschicht. In einem idealisierten Modell hätten beide ohne Einfluss externer Körper die Form idealer, strukturloser Rotationsellipsoide, bei Vernachlässigung der Eigenrotation lägen Kugeln vor.

Zunächst einige Anmerkungen zu verbreiteten Missverständnissen:

Fehlende Definition des verwendeten Bezugsystems bzw. Verwechslung der Bezugsysteme
Zur Diskussion der Gezeiten bieten sich zwei Bezugsysteme an:
I) das durch den Massenmittelpunkt des Erde-Mond-Systems definierte Inertialsystem
NI) das mit der Erde-Mond-Rotation mitrotierende Nicht-Inertialsystem
Häufig werden diese Systeme nicht präzise definiert. Teilweise werden Begrifflichkeiten verwechselt bzw. in einem unzutreffenden Kontext verwendet.

Gezeiten resultieren aus Fliehkräften
Das ist Unsinn.
I) Im Inertialsystem existieren keine Fliehkräfte, daher sind Erklärungen auf Basis von Fliehkräften im Kontext von (I) sicher falsch.
NI) Bei der Verwendung nicht-inertialer Koordinaten ist es üblich, Scheinkräfte und dabei speziell die Zentrifugalkraft einzuführen. Dieser Kunstgriff erlaubt es, für die Summe aus realen und Scheinkräften weiterhin die Bewegungsgleichung F = ma zu verwenden. Da Scheinkräfte jedoch nur ein Artefakt der Koordinatentransformation sind und daher durch geeignete Transformation eliminiert werden können, ist es fragwürdig, sie zur Erklärung eines Effektes heranzuziehen: In (I) ist die einzige Kraft die Gravitation, d.h. sämtliche Deformationen müssen rein gravitativ erklärt werden. In mitrotierenden (NI) ist die Gravitation identisch zu (I) – lediglich durch die Koordinatentransformation zeitlich rotiert – so dass alleine daraus eine zu (I) identische – wiederum zeitlich rotierte – Deformationen folgt. Die zusätzlichen Scheinkräfte (Zentrifugal- und Corioliskräfte), die in (NI) auftreten, können konsequenterweise nicht zu einer zusätzlichen Verformung führen, Erklärungen der Deformation mittels der Zentrifugalkraft sind demnach falsch.
Vermutlich hängt das Beharren auf Erklärungen mittels Fliehkräfte damit zusammen, dass man sich das Wasser sozusagen von der Erde festgehalten und daher mitrotierend denkt, woraus vermeintlich Fliehkräfte resultieren müssten. Das ist jedoch falsch, die Bewegung des Wassers d.h. dessen Fließen folgt in einem Inertialsystem ausschließlich dem herrschenden Gravitationsfeld (sowie Reibungskräften, die wir hier nicht betrachten).
Ein weiterer Grund dürfte der Flutberg auf der mondabgewandten Seite der Erde sein, der vermeintlich durch die Fliehkraft erklärt werden muss; auch das ist falsch, dieser Flutberg folgt in einem Inertialsystem aus rein gravitativen Kräften.

Gezeiten und Gezeitenkräfte werden verwechselt
Im folgenden werden zunächst Gezeitenkräfte (in I) erklärt: Gezeitenkräfte treten auf, wenn sich ein ausgedehnter Körper (die Erde) in einem äußeren, inhomogenen Gravitationsfeld eines zweiten Körpers (des Mondes) befindet; die Gezeitenkraft auf einen bestimmten Teil des ersten ausgedehnten Körpers ist die Differenz der äußeren Gravitationskraft, die auf diesen Teil an seinem jeweiligen Ort wirkt, und der Gravitationskraft, die auf ihn wirken würde, wenn sich dieser Teil am Ort des Massenmittelpunktes des ausgedehnten Körpers befände (Wikipedia, Formel folgt).
Die Effekte der Gezeitenkräfte sind die Verformung von Land und Wasser, verursacht durch die Gravitationskraft von Mond, die auf jeden Teil der Erde wirken.
Mit Gezeiten werden üblicherweise die Veränderungen des Meeresspiegels an einer Küstenregion bezeichnet; diese hängen jedoch stark von der Topografie der Küstenlinie und den küstennahen Meeresströmungen ab.
Ein qualitativ zutreffendes Bild der Gezeiten folgt nur dann unmittelbar aus den Gezeitenkräften, wenn der "feste Anteil" des Himmelskörper (d.h. die Erde mit der Erdkruste sowie tieferer Schichten) einem Rotationsellipsoid ohne weitere Strukturen entspräche. Gezeitenkräfte bewirken eine Deformation dieses Rotationsellipsoids sowie eine (stärkere) Deformation des inkompressiblen Wassers im Vergleich zu dessen Rotationsellipsoid.

Die Rolle der Erdrotation
Die Erdrotation (um die eigene Achse) ist für Gezeiten per definitionem irrelevant. Sie führt (ohne externen Einfluss) näherungsweise zu einem Rotationsellipsoid; Gezeitenkräfte resultieren jedoch aus einem zusätzlichen externen Gravitationsfeld (s.o.).

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18082

Im folgenden sollen die Gezeitenkräfte

https://lh3.googleusercontent.com/-5r5jNfftWuc/UyXoOFjRycI/AAAAAAAAD3c/--hZzStASRE/s0/Tidal+Forces.gif

sowie die daraus folgenden idealisierten Gezeiten diskutiert werden.

Erstere folgen für die Erde im inhomogenen Gravitationsfeld des Mondes als Differenz der Kraft, die auf einen Teil der Erde wirkt, und der Kraft, die wirken würde, wenn sich dieser Teil am Ort des Massenmittelpunktes befände.

Letztere entsprechen der Antwort des Wassers auf diese Differenzkraft, d.h. der Deformation bzw. Fließbewegung des Ozeans im Vergleich zu dessen idealen Rotationsellipsoid ohne äußere Kraft. Aufgrund der Existenz der Erdkruste kann das Strömungsfeld des Wasser diesem Kraftfeld nicht unmittelbar entsprechen. Im idealisierten Fall kann sich für das Wasser ein stationärer Zustand mit einer konstanten Form der Wasserverteilung einstellen, die synchron mit der Achse Erde-Mond mitrotiert bzw. mitfließt (die im Vergleich zum Wasser geringere Deformation der Erdkruste und tieferer Schichten werde ich nicht diskutieren).

An der Stelle ein weiteres Missverständnis:

Gezeiten resultieren ausschließlich aus dem radialen Heben des Wasser ohne tangentiale Strömung
Diese Aussage ist falsch.
Sie scheint zunächst im mitrotierenden Bezugsystem für eine Wasserverteilung mit stationärer Form zu gelten. Auch das ist nicht ausreichend, da offensichtlich bei Betrachtung der Erdrotation der selbe Ort zu unterschiedlichen Zeiten unterschiedliche Wasserhöhen aufweist, d.h. bezogen auf diesen Ort ein Materialtransport stattfinden muss. Demzufolge muss eine zweite Bedingung erfüllt sein, nämlich die gebundene Rotation, was insbs. für die Erde nicht zutrifft. Ein weiteres Gegenargument ist, dass die vertikale Deformation des ideal starren oder leicht elastischen Rotationsellipsoiden geringer ist als die des Wassers, so dass alleiniges Heben desselben die Höhe der Gezeiten des Wassers nicht erklären kann.

Wir betrachten im folgenden die Erde e sowie den Mond m in konstantem Abstand d. Auf ein infinitesimales Masseelement dm am Ort r wirkt eine Gravitationskraft

im Gravitationsfeld der Erde plus dem des Mondes, d.h.

wobei ich entsprechende Einheitsvektoren e eingeführt habe.

Wir interessieren uns für die Beschleunigung des Masseelements und damit seine Bewegungsgleichung (bei der wir zunächst nicht-gravitative Terme ignorieren)

Diese diskutieren wir jedoch relativ zur Beschleunigung der Erde, d.h. wir subtrahieren die Beschleunigung des Massemittelpunktes der Erde im Feld des Mondes

Damit erhalten wir

Diese beiden Gleichungen sind exakt. Die zweite definiert die Tidenbeschleunigung als Differenz

Dies entspricht der Näherung, dass die Erde ideal starr ist und somit jeder Punkt inkl. der Erdkruste dem Kepler-Orbit folgt, während eine darüberliegende Wasserschicht unter dem Einfluss der Gravitation des Mondes fließt.

Zwischenbemerkung: Ich hatte oben geschrieben, dass die Rotation des Erde-Mond-Systems irrelevant für die Entstehung der Gezeiten ist; das muss ich hier etwas präziseren: die Fliehkraft ist tatsächlich irrelevant; relevant ist jedoch, dass die Massenmittelpunkte von Erde und Mond jeweils einem (zumindest in sehr guter Näherung) kreisförmigen Kepler-Orbit folgen; wäre dies nicht der Fall, wäre die hier diskutierte Herleitung nicht gültig.

Die Gezeitenkraft kann also als die Differenz zwischen der Gravitation des Mondes an einem Punkt r auf der Erde und der Gravitation des Mondes im Erdmittelpunkt ausgedrückt werden.

Im zweiten Ausdruck habe ich dazu eine neue Koordinate mit Betrag zeta und radialem Einheitsvektor

eingeführt.

Man beachte, dass die Betrachtung der Beschleunigung relativ zur Erde alleine nicht gleichbedeutend damit ist, ins mitrotierende Bezugsystem zu transformieren.

Ein Graphik zur resultierenden Tidenbeschleunigung, die synchron und instantan mit der Erd-Mond-Achse mitrotiert, ist oben verlinkt.

Die oben hergeleitete Formel zur Tidenbeschleunigung gilt exakt. Für den im Vergleich zum Erdradius sehr weit entfernten Mond bietet sich eine asymptotische Darstellung an, die man mittels Taylorentwicklung in

erhält:

Der erste, nicht-verschwindende Term liefert die bekannte Form

wobei ich außerdem

ausgenutzt habe.

Das Skalarprodukt liefert dabei den Winkel Theta zwischen den vom Erdmittelalpunkt ausgehenden Richtungen zum Mond sowie zum betrachteten Punkt r

Daraus folgt die Erklärung für zwei Flutberge – im Inertialsystem und somit ohne Betrachtung der Rotation des Erde-Mond-Systems; Erklärungen der Gezeiten mittels Zentrifugalkräften sind daher falsch.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18082

Nun bestimmen wir die radiale (vertikale) sowie die tangentiale (horizontale) Komponente der Gezeitenbeschleunigung bzgl. einer idealisierten Kugel (in der zuletzt verwendeten Näherung).

Betrachten wir das Verhältnis des Betrages der reinen Gravitationsbeschleunigung und der radialen sowie tangentialen Komponente, so erhält man

Die Gezeitenbeschleunigung kann allgemein mittels

aus dem sogenannten Gezeitenpotential abgeleitet werden.

Dabei bezeichnet P_n das n-te Laguerre-Polynom

https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_polynomials

Für die o.g. Näherung trägt zur Gezeitenbeschleunigung nur der Quadrupolterm bei:

Um die o.g. Näherung zu rechtfertigen betrachten wir das Verhältnis von Erdradius und Abstand zum Mond sowie das Verhältnis der Beträge der Gezeitenkraft und der Gravitation der Erde, berechnet für einen Punkt am Erdradius; ersteres liefert ca. 1 / 10², für letzteres erhält man ca. 1 / 10⁷. Höhere Korrekturterme sind demnach mit höheren Potenzen von 1/100 unterdrückt.

Obwohl die Gezeitenkraft also im Vergleich zur der Gravitationskraft der Erde sehr klein ist, ist ihre Auswirkung auf das Meerwasser aufgrund ihrer tangentialen (horizontalen) Komponente – die orthogonal zum Gravitationsfeld der Erde verläuft und mit dem Erde-Mond-Systems rotiert – erheblich. Die horizontale Komponente verschiebt das Ozeanwasser rund um die als idealisierten, starren Rotationsellipsoiden angenommene Erde. Die tangentiale (horizontale) Komponente der Gezeitenkraft hat dabei einen viel größeren Einfluss auf die Gezeiten der Ozeane als die radiale (vertikale) Komponente, da letztere lediglich sehr kleine und nur schwach ortsabhängige Korrekturen der Erdanziehungskraft bewirkt.

Betrachten wir nun den Spezialfall einer stationären Wasserverteilung.
Wir verwenden wiederum das Modell einer nicht um die eigene Achse rotierende Erde plus den Ozean, d.h. für erstere zunächst eine Kugel (anstelle eines Rotationsellipsoiden), für letzteren eine flache Schicht Wasser; beide werden aufgrund des Einflusses der Gezeitenkraft deformiert. Die folgende Argumentation wird exakt, wenn wir annehmen, dass Dichte von Erde und Waser identisch sind; natürlich ist das nicht realistisch, man müsste statt einer Gleichung ein Gleichungssystem betrachten.

Für den stationären Fall, d.h. im Gleichgewicht, muss die Oberfläche des Wassers einer Äquipotentialfläche des Gesamtpotentials

(also Summe aus Gravitationspotential der Erde plus Gezeitenpotential verursacht durch den Mond) entsprechen.

Die Oberfläche des Wasser befindet sich genau dann im Gleichgewicht, wenn die Summe aller wirkenden gravitativen Kräfte in jedem Punkt senkrecht auf der Oberfläche steht. D.h. die Summe aller Kräfte steht per definitionem in jedem Punkt senkrecht auf der Äquipotentialfläche, und sie steht aufgrund der Bedingung der Äquipotentialfläche senkrecht auf der Oberfläche des Wassers.

Man beachte, dass die Gezeitenkräfte dabei leicht die Richtung der Vertikalen in Bezug auf die geozentrische Bezugsrichtung verändern, wofür die tangentiale Komponente der Gezeitenkraft verantwortlich ist. D.h. dass die Bedingung des Senkrechtstehens nicht mittels der weiter oben betrachteten Zerlegung in radiale und tangentiale Komponenten berechnet werden kann, da diese ja bzgl. der nicht-deformierten Kugel definiert wurden.

Für die deformierte Ozeanoberfläche folgt damit eine eindeutige Entwicklung nach Legendre-Polynomen

Wertet man sämtliche Bedingungen aus und berechnet (fehlt noch) die Koeffizienten, so folgt für die Höhe der Tiden über dem Erdradius

Dabei entspricht

dem Gesamtvolumen des Wassers oberhalb des Erdradius, h_0 selbst der über die gesamte Oberfläche gemittelte Höhe. Außerdem folgt wegen

dass die Deformation aufgrund der Gezeitenkraft das Volumen nicht ändert.

Die Berechnung von Gezeitenpotential und -beschleunigung für die Sonne funktioniert völlig analog. Zwar ist die Gravitation der Sonne ca. 178-mal stärker als die des Mondes, jedoch geht in die Gezeiten der Abstand zum jeweiligen Himmelskörper in der dritten Potenz ein, wobei die Sonne ca. 390-mal so weit entfernt ist, so dass der Effekt der Sonne letztlich nur etwa halb so groß ist. Interessanterweise findet man für den maximalen Tidenhub verursacht durch Mond bzw. Sonne ca. 0.54 m bzw. 0.25 m, was die Größenordnung der beobachteten Tiden über tiefen und ausgedehnten Ozeanen bereits recht gut reproduziert.

Ein weiteres gravierendes Missverständnis, das es aufzuklären gilt:

Im stationären Fall des Gleichgewichts liegt keine Strömung vor.
Das ist schlicht falsch.
Korrekt ist zunächst, dass man zur Berechnung des zuvor diskutierten Gleichgewichts keine Strömungsmechanik benötigt. Das ist jedoch nicht gleichbedeutend damit, dass keine Strömungen existieren, lediglich damit, dass man sie in diesem Spezialfall zur Berechnung der Gezeitenhöhe ignorieren kann. Wie bereits weiter oben angesprochen – Gezeiten resultieren nicht ausschließlich aus dem radialen Heben des Wasser ohne tangentiale Strömung – sind Strömungen essentiell, bereits für den Fall einer stationär auf einem flachen Ozean umlaufenden Gezeitenwelle, indbs. aber für kompliziertere Fragestellungen.

Daher lohnt es sich, dies bereits hier aufzuklären: Der oben berechnete Gleichgewichtszustand für Gezeiten in einem flachen Ozean entspricht einer kollektiven, tangentialen Strömung des Wassers um die Erde, innerhalb des von der Oberfläche begrenzten Volumens mit stationärer Form, um die Rotationsachse durch den gemeinsamen Schwerpunkt und mit der Winkelgeschwindigkeit omega des Erde-Mond-Systems, d.h.

Wie wir später sehen werden folgt aus der heute noch maßgeblichen hydrodynamischen Formulierung der Gezeiten nach Laplace, dass die Ergebnisse des obigen stationären Falls recht einfach aus der allgemeinen Theorie gewonnen werden können, d.h. als Spezialfall enthalten sind – so wie man es erwartet.

Zuletzt noch ein verbreitetes Missverständnis:

Die Gezeiten folgen dem Mond zeitversetzt, da großräumige Wasserwellen über tiefen Ozeanen mit v² = gh langsamer propagieren als der Mond die Erde überstreicht (g entspricht der Fallbeschleunigung, h der Tiefe des Ozeans)
Das ist falsch. Wäre dem so, müssten die Gezeiten immer weiter hinter dem Mond zurückbleiben, es läge kein stationärer Zustand vor. Tatsächlich handelt es sich um Resonanzeffekte aufgrund der Geometrie des Ozeanbodens und der Kontinente; es gibt auch Gegenden auf der Erde, die mit dem Mond synchrone Gezeiten aufweisen.

Als Ausblick auf die hydrodynamische Theorie der Gezeiten:

Wesentliche Voraussetzungen des oben betrachteten Modells zur Herleitung der Gezeiteneffekte mittels eines stationären Zustandes im Gezeitenpotential sind über der strukturlosen Erde sowie eine reibungsfreie Strömung des Wassers, alternativ eine gebundene Rotation der Erde bzgl. des Mondes (die real nicht vorliegt, umgekehrt für den Mond schon). Anders gesagt haben wir einige wesentliche Einschränkungen des Modells: keine Betrachtung der Erdrotation, keine Betrachtung von Oberflächenstrukturen wie Kontinenten oder tiefen Ozeanen sowie dadurch verursachten Resonanzen. Damit können insbs. die Zeiten und Höhen realer Gezeiten nicht berechnet werden, insbs. folgen sie nicht als Äquipotentialflächen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18082

Die Laplaceschen Gezeitengleichungen

Laplace hat das Problem der Gezeiten auf Basis der Hydrodynamik völlig neu formuliert. Die Grundannahmen sind zunächst
a) die Euler-Gleichungen speziell für inkompressible, reibungsfreie Flüssigkeiten homogener Dichte
b) kleine Störungen relativ zu einem Zustand der gleichmäßigen Rotation
c) eine kugelförmige Erde *) und ein starrer Meeresboden
d) ein flacher Ozean, in dem sowohl die Coriolis-Beschleunigung assoziiert mit der horizontalen Komponente der Erdrotation als auch die vertikale Komponente der Teilchenbeschleunigung vernachlässigt werden **)

Dies impliziert, dass die großräumigen Bewegungen des Wasers quasi-horizontal sind; die vertikale Geschwindigkeit kann vernachlässigt werden. Damit kann das allgemeine Problem der Gezeiten
als 2-dim. Problem aufgefasst werden, in dem ausschließlich die tangentialen Komponenten betrachtet werden; dies ist auch als Langwellenannäherung bekannt.

Der wesentliche Schritt dabei ist, dass von einer infinitesimal schmalen, vertikalen Flüssigkeitssäule nur noch die Variation ihrer Höhe betrachtet wird, keine vertikale Strömung innerhalb der Säule. Laplace berücksichtigt dabei die Massenerhaltung, indem er die Kontinuitätsgleichung so umformuliert, so dass ein horizontaler Fluss in eine Säule hinein bzw. aus dieser heraus ausschließlich zu einer zeitlichen Veränderung der Höhe ihrer Höhe führt u.u. Für den Druck wird ein linearer vertikaler Druckgradient angesetzt.

Damit bleibt für die mittlere Höhe h sowie die vertikale Deformation xi einer Säule

v entspricht dabei dem Geschwindigkeitsfeld, g der mittleren Gravitationsbeschleunigung an der Oberfläche, omega der Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation, die über die Corioliskraft beiträgt; die Zentrifugalkraft aufgrund der Erdrotation ist vernachlässigbar. In der ersten Strömungsgleichung entspricht der erste Term auf der rechten Seite dem Druck-Term. Die zweite Gleichung stellt die Massenbilanz sicher.

In dieser Form sind die Gleichungen nicht nur für die o.g. Erde als idealisierte glatte Kugel anwendbar, sondern auch auf einzelne Bereiche wie Seebecken, z.B. idealisierte, voneinander getrennte Ozeane inkl. Küsten, die als Randbedingungen modelliert werden können. Damit sind insbs. Resonanzeffekte darstellbar.

Das Gesamtpotential beinhaltet das auf Meereshöhe konstante Gravitationspotential der Erde sowie das oben diskutierte Gezeitenpotential für den mittleren Erdradius (wiederum 2-dim. Näherung). Laplace berechnet letzteres bis zur Ordnung n=4.

Die Gleichungen werden üblicherweise im mit der Erdrotation mitrotierenden Bezugsystem formuliert, wobei die Winkel den üblichen Breiten- sowie Längengraden entsprechen. Die Position des Mondes (oder der Sonne) ist in diesem System natürlich nicht ortsfest! Die Multipolentwicklung des Gezeitenpotentials des Mondes im mitrotierenden System der Erde führt letztlich auf eine Darstellung mittels Kugelflächenfunktionen mit zeitabhängigen Koeffizienten.

Die wesentliche Botschaft ist, dass die o.g. Gleichungen linear sind, dass daher das Superpositionsprinzip gilt und jeder Multipol einzeln berechnet werden kann; im Idealfall reduziert dies die gekoppelten Differentialgleichungen auf ein lineares Gleichungssystem.

*) diese Bedingung kann gelockert werden; die Modellierung beliebiger jedoch starrer Formen ist möglich
**) diese Bedingung kann ebenfalls gelockert werden; der Ozean ist dann "geschichtet, wobei je Schicht unterschiedliche Drücke, Schichthöhen und Geschwindigkeiten betrachtet werden; die Schichten mischen jedoch nicht

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18082

Recap

Die Laplaceschen Gleichungen werden im mit der Erdrotation mitrotierenden Bezugsystem formuliert. Sie modellieren Gezeiten für einen flachen, geschichteten Ozeans, wobei vertikale Strömungen vernachlässigt werden. Die Höhe der Gezeiten wird mittels einer einzigen orts- und zeitabhängigen Funktion modelliert.

Anmerkung zur Strömung im stationären Fall

Laplace erkannte, dass seine Gleichungen im Falle einer nicht-rotierenden Erde den o.g. stationären Fall reproduzieren:

Die folgende Idee zeige ich zunächst nur für das 1-dim. Problem der Gezeitenkraft auf einem Kreis, anstelle einer 2-dim. Kugeloberfläche. Die entsprechende Erweiterung ist aufwändiger, ich reiche das zu gegebener Zeit nach.

Die o.g. Gleichungen

reduzieren sich damit auf

Die Zeitabhängigkeit des Gezeitenpotentials vermöge des umlaufenden Mondes lautet

Damit liegt der Ansatz einer kollektiven Strömung nahe:

Zeit- und Winkelableitungen bezeichne ich im folgenden mit einem Punkt bzw. Strich; für alle derartigen Funktionen f gilt

Anwenden der kollektiven Rotation und Einsetzen liefert

bzw. mit

Dieses Gleichungssystem kann man direkt durch Invertieren der Matrix lösen

Mittels des dritten Keplerschen Gesetzes erhält man für den Bruch

Die Integrationen der Funktionen können unmittelbar ausgeführt werden.

Unter Verwendung des Gezeitenpotentials bis zur Ordnung n=2 folgt schließlich die oben im Kontext der stationären Wasserverteilung abgeleitete Form

Das folgende ist wieder allgemeingültig.

Dies ist ein wichtiger Konsistenzcheck: Die Laplacesche Gezeitentheorie reproduziert den oben diskutierten stationären Grenzfall als kollektive Strömung (!) auf einem flachen, ruhenden Ozean. Interessant dabei ist wieder, dass die Rotation bzw. deren Winkelgeschwindigkeit nicht mehr ins Endergebnis der Deformation des Ozeans eingeht, dass sie jedoch implizit über das dritte Keplersche Gesetz enthalten ist; das Ergebnis gilt ausschließlich nahe eines kreisförmigen Keplerorbits.

Ich habe in der Berechnung das Gezeitenpotential zunächst nicht näher festgelegt. Die Überlegung gilt somit auch für höhere Ordnungen n > 2, d.h. die Deformation der Ozeane je einzelnem Beitrag n folgt immer dieser Gleichung mit identischem Vorfaktor; vereinfacht: Deformation = konstanter Faktor mal Gezeitenpotential.

Noch besser, diese Überlegung gilt natürlich für verschiedene Quellen des Gezeitenpotentials, also Mond, Sonne etc. Und aufgrund der Linearität der Differentialgleichungen gilt das Superpositionsprinzip, d.h. man kann die Deformationen, verursacht durch verschiedenen Himmelskörper, separat berechnen.

Doch halt: dabei haben wir die Erdrotation vernachlässigt; diese koppelt nämlich unterschiedliche Moden aneinander, so dass man letztlich ein großes gekoppeltes, lineares Gleichungssystem erhält. (das ist aber immer noch besser als ein großes gekoppeltes Differentialgleichungssystem).