Energien im Energieniveauschema

Mic · Gast

Meine Frage:
Ich habe eine Verständnisfrage bzgl. der Energien im Energieniveauschema z.B. von Wasserstoff.

Es entsteht ja beispielsweise in der Balmer-Serie ein Photon, wenn ein Elektron von der Schale mit n=3 auf die Schale mit n=2 übergeht. Die Energie des Photons wird dabei vom Elektron abgegeben, da es auf eine Schale mit einem geringeren Energieniveau übergeht.

Meine Frage: Müsste nicht eigentlich das Elektron auf der n=2 Schale eine größere Energie haben als das Elektron an der n=3 Schale?

Meine Ideen:
Ich habe schon lange darüber nachgedacht, ich stelle mal zwei Überlegungen vor:

1) Stellt man sich die Elektronen um den Atomkern vor wie Planeten, die um die Sonne kreisen, dann wirkt die Coulombkraft als Zentripetalkraft. Daraus folgt letztlich, dass

ist. Folglich haben Elektronen auf der Elektronenbahn mit dem kleineren Radius die höhere Geschwindigkeit und damit auch die höhere kinetische Energie. Das widerspricht obiger Überlegung

2) In vieler Literatur werden die Energien mit einem negativen Vorzeichen versehen, also für n=1 z.B. E_1=-13,6eV. Ich könnte mir vorstellen, dass die Antwort auf meine Frage mit diesem Vorzeichen zusammenhängt. Erklären kann ichs mir aber nicht.

Ich freue mich über eure Hilfe!

Mic · Gast

Da ist die Formatierung leider nicht ganz geglückt. Es soll folgen, dass v proportional zu der Wurzel aus 1 durch r ist.

xb2 · Gast

Am besten die Gesamtenergie berechnen

Mic · Gast

Das kann ich leider nicht ganz nachvollziehen. Welche Energie soll E=mk/r darstellen? Was ist k?

xb2 · Gast

k ist eine Konstante mit der man den Ausdruck vereinfachen kann und ein q ist negativ

Mic · Gast

Wenn ich deine Antwort richtig verstehe, erklärt diese Überlegung das negative Vorzeichen der Energien der Energieniveaus.

Für mich ist das Ausgangsproblem damit immer noch nicht ganz gelöst.

Bedeutet das, dass ein Elektron auf der n=1 Schale dadurch weniger Energie hat als ein Elektron auf der n=2 Schale, weil es die Energiedifferenz E_12 bereits zuvor abgegegeben hat?

Mich verwirrt dieses Konzept einer negativen Energiemenge.

xb2 · Gast

Was ist hier v?

Einsetzen

Was bedeutet das?

Wenn r größer wird,dann wird die Energie auch größer

Mic · Gast

Tut mir Leid, ich kann dir leider so gar nicht folgen. Mir ist schon völlig unklar, wieso

gelten sollte.

Im Grunde würde ich auch eine anschauliche Begründung bevorzugen.

xb2 · Gast

Mit Hilfe der Zentripedalkraft

Vereinfachung

Mic · Gast

Die Abhängigkeit v ist proportional zu Wurzel(1/r) hatte ich schon in den Ausgangspost geschrieben.

Deine Erläuterungen helfen mir wie gesagt leider gar nicht weiter.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18103

Die Energie auf einer gebundenen Bahn im Coulombpotential ~ 1/r beträgt

Du darfst also nicht die kinetische Energie - den ersten Term - alleine betrachten, sondern musst für die Gesamtenergie auch die potentielle Energie - den zweiten Term - berücksichtigen.

Im Coulombpotential gilt vermöge des Virialsatzes für die mittleren Energien auf gebundenen Bahnen

Die kinetische Energie ist natürlich positiv, die potentielle Energie dagegen negativ, ihre Summe ebenfalls negativ.

Diese Zusammenhänge gelten auch für das Bohrsche Modell.

Wenn sich ein Elektron auf einer niedrigeren Schale n mit kleinerem Radius r befindet, dann hat es eine größere kinetische Energie, eine kleinere negative potentielle Energie und auch eine kleinere negative Gesamtenergie.

Die Quantisierung der Energien im Bohrschen Modell folgt aus der Hypothese von de Broglie

für Materiewellen und deren Wellenlänge lambda sowie dem Postulat der Quantisierung des des Drehimpulses

nach Bohr sowie - daraus abgeleitet - der Quantisierungsbedingung für den Bahnumfang

Damit folgt also zunächst die Quantisierung des Impulses und somit der kinetischen Energie. Die oben verwendeten klassischen Beziehungen zwischen Radius r, Geschwindigkeit v und Impuls p bleiben gültig. Daraus resultiert letztlich eine Quantisierung der Gesamtenergie.

Wenn in der Quantenmechanik von “der Energie” die Rede ist, ist immer die Gesamtenergie gemeint, so auch im Falle der Energieniveaus der Elektronen im Atom.

(die Bohrsche Quantisierungsbedingung für den Drehimpuls erweist sich im Rahmen der Quantenmechanik als falsch; die Werte der Energieniveaus im Wasserstoffatom bleiben jedoch in sehr guter Näherung gültig)

Mic · Gast

Vielen lieben Dank @TomS, das hat mir weitergeholfen!

Ich habe übrigens noch eine anschauliche Begründung gefunden: Man vergleicht das Bild dabei mit zwei Magneten, die sich gegenseitig anziehen:

Liegen die beiden Magnete weit auseinander (Elektron auf einer weiter entfernten Schale), so kann es sein, dass die Magnete sich aufeinanderzubewegen und die dabei freiwerdende Energie in Form von Wärm und Schallenergie frei wird (ein Elektron kann auf den Weg hin zum Atomkern ein Photon mit einer gewissen Energie erzeugen). Sind die beiden Magnete zusammen, so muss erst von außen Energie hinzugefügt werden, bevor sie sich wieder aufeinanderzubewegen können (Man muss erst Energie hinzufügen, bevor Elektronen auf dem Weg zurück wieder Photonen erzeugen können).