Massenträgheitsmoment eines Rades bestimmen

Mechstudy · Gast

Hallo zusammen,
ich habe ein Problem mit einer Aufgabe zur ungedämpften Schwingung. Ich bin bisher mit den Aufgaben gut durchgekommen. Aber bei dieser Aufgabe fehlt mir der Ansatz und mit dem hinweis kann ich leider auch nichts anfangen...

Aufgabe:
Um das Massenträgheitsmoment eines Rades zu bestimmen, wird dieses im Abstand von 20 cm von der Radachse mit einer punktförmigen Zusatzmasse von 1,2 kg versehen. Es entsteht ein physisches Pendel mit einer Schwingdauer von 1,88s. Was ergibt sich daraus für das Massenträgheitsmoment des Rads ohne Zusatzmasse.

Hinweis: Ermitteln Sie zunächst die durch die Zusatzmasse bewirkte Winkelrichtgröße D*.
Lösung:0,16 kgm²

Vielen dank schon mal für eure hilfe

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5903

Zunächst zum Hinweis:

Für das durch die Zusatzmasse bewirkte Drehmoment muss ja gelten

Dabei ist phi der Auslenkungswinkel, wenn das Rad an der Radachse aufgehängt wird. Anderseits kannst Du das rücktreibende Drehmoment auch angeben durch die Gewichtskraft der Zusatzmasse, den Abstand d vom Aufhängepunkt (hier: Radachse) und dem Auslenkungswinkel. Daraus ergibt sich eine Gleichung für D*.

Anschliessend kann man die Schwingungsgleichung aufstellen,

Dabei ist Itot das Massenträgheitsmoment von Rad inkl. Zusatzmasse.

Aus der Schwingungsgleichung folgt für die Schwingungsperiode, analog zu einem math. Pendel

Mit dieser Gleichung erhält man Itot, und nach Subtraktion des Trägheitsmoments der Zusatzmasse das Trägheitsmoment des Rads allein.

Ich hoffe, das helfe weiter, sonst einfach nochmals fragen.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5874 Wohnort: jwd

R = Rad
m = Zusatzmasse
r = Abstande der Zusatzmasse
I = Massenträgheitsmoment
T = Schwingperiode

Gegeben: T, m, r
Gesucht: I_R, D

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5874 Wohnort: jwd

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5874 Wohnort: jwd

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5903

Ja, ich hatte oben versucht zu erklären, wie man auf D* kommt, wollte aber auch nicht alles fixfertig hinschreiben.

@Mechstudy: Damit keine Verwirrung aufkommt, D* ergibt sich unabhängig von T und dem Trägheitsmoment. Einfach das Drehmoment, welches bei einer kleinen Auslenkung phi durch die Gewichtskraft auf die Zusatzmasse bewirkt wird, aufschreiben und gleich D*phi setzen.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5874 Wohnort: jwd

@Myon
Alles klar. Ich bin von einer vertikalen Achse ausgegangen.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5903

Mechstudy · Gast

Ich glaube ich hab es jetzt kapiert. Das rücktreibende Drehmoment entspricht also dem normalen Drehmoment und deswegen kann man diese gleichsetzen...

Ich hatte auch schon so einen ähnlichen Ansatz aber, dann habe ich irgendwie immer die Masse des Rades gebraucht.
Aber wenn ich des richtig verstehe, wirkt das Drehmoment auf das gesamte System genauso wie, dann die Winkelrichtgröße D*.

Deswegen kann man mit der ausgerechneten Winkelrichtgröße dann das Gesamtträgheitsmoment berechnen.

Ich verstehe nur eines nicht, warum kann ich die Schwingperiode des physischen Pendels einfach in die Formel einsetzten?
Spielt das Rad da keine Rolle mehr?

Anonsten habe ich den Rechenweg von euch verstanden. Vielen Vielen dank dafür. ;-)

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5903

Das Drehmoment stammt nur von der Zusatzmasse her, auf das Rad alleine wirkt kein Drehmoment. Deshalb hängt auch D* nur von der Zusatzmasse ab.

Die Schwingungsperiode hingegen folgt aus der Schwingungsgleichung

in welche das gesamte Massenträgheitsmoment einfliesst, was ja auch intuitiv einleuchtet. Je schwerer das Rad oder umso grösser der Radius, desto träger ist das Ganze und desto grösser die Schwingungsperiode.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5874 Wohnort: jwd