RegistrierenRegistrieren   LoginLogin   FAQFAQ    SuchenSuchen   
Packungsdichte von Gittern bestimmen.
 
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Quantenphysik
Autor Nachricht
Blub
Gast





BeitragVerfasst am: 25. Apr 2006 15:07    Titel: Packungsdichte von Gittern bestimmen. Antworten mit Zitat

Hallo,

ich bräuchte mal eure Hilfe zum Thema Packungsdichte. Es ist eigentlich mehr ein Mathematisches Problem, deshalb will ich will mal kurz erzählen worum es geht, damit mir möglichst viele Helfen können Wink

Kurze Einführung:

Man stelle sich ein Kristall mit einer bestimmten Gitterstruktur vor, zB ein Kubus, also ein Würfel und besetze ihn mit Kugeln.
Beim einfachen Würfel sind die 8 Ecken besetzt. Diese Punkte werden nun mit möglichst großen Kugeln besetzt, so groß wie möglich eben. Bei einem Würfel mit der Kantenlänge a darf dann der Radius der Kugel halb so groß sein, damit 2 Kugeln auf eine Kante passen.
Im Würfel liegen dabei natürlich nicht die ganzen Kugeln sondern nur ein Achtel von ihnen. Damit hat man also das Volumen , dass von den Kugeln eingenommen wird. jetzt drückt man das r mit a aus, denn und teilt durch das Volumen des Würfels, also . Damit hat man dann 52,4%


Jetzt zu meiner Frage:

Bei kubischen Systemen komme ich ja ganz gut klar, aber ich weiß nicht wie ich die Packungsdichte bei einem hexagonalen Gitter bzw einem dichtesten hexagonalen Gitter und einem Diamantengitter bestimmen kann.

Mein Ansatz beim Diamantengitter:
Man hat hier ja ein Tetraeder, das man in einen Kubus packen kann. Dabei sind doch die Punkte wie beim flächenzentrierten kubischen Gitter besetz, wobei vier Kugeln an den Ecken fehlen und 4 Ganze im innern dazukommen.
Damit hätte man doch ein "Kugelvolumen" von (Die 16/3 kommen vom flächenzentrierten Gitter)
Wenn ich die Grafik richtig erkannt habe sind die Kugeln so angeordnet, dass 5 Kügeln auf der Raumdiagonale liegen können, die Innerste aber fehlt. Wenn aber 5 auf die Diagonale passen hat man doch Damit würde ich dann auf das gesamte Kugelvolumen kommen, von
Jetzt kann ich das durch das Volumen des Tetraeders teilen. Laut Wiki hat der Würfel das 3-fache Volumen des Tetraeder, wehalb ich dann einfach durch teile.
Dann kommt bei mir aber etwas von 80% raus, wobei laut Wiki etwa 34% richtig sein sollen.

Könnt ihr mir dabei Helfen und auch erklären wie ich es bei den hexagonalen Gittern ausrechnen kann?

Danke! Prost
as_string
Moderator


Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 4563
Wohnort: Heidelberg

BeitragVerfasst am: 25. Apr 2006 17:05    Titel: Antworten mit Zitat

Also, erstmal zum Diamantgitter:

Da hast Du wieder die Eckpunkte mit dem achtel-Volumen, wie Du das auch geschrieben hast, also eine ganze, dann hast Du 6 halbe Kugeln von den flächenzentrierten und dann nochmal 4 ganze, gibt also insgesamt 8. Das kannst Du Dir vielleicht auch anders einfacher merken: Bei einem einfach kubischen hast Du 1 Atom pro Zelle, bei einem bcc sind es zwei und bei einem fcc dann schon 4. Das Diamantgitter ist ja quasi ein fcc Gitter mit einer zweiatomigen Basis, also 2*4 = 8 Atome.
Für das Volumen brauchst Du dann wieder den maximalen Radius. Dazu mußt Du Dir die Atome auf der Raumdiagonalen anschauen. Der Abstand zwischen der Ecke unten links und dem ersten Atom auf der Diagonalen ist nämlich gerade ein viertel der Diagonalen. Also kann der maximale Radius nur ein achtel der Raumdiagonalen sein. Zusammen wäre das dann:

Ob das noch stimmt?? grübelnd

Beim hcp-Gitter muß ich mir auch erst nochmal Gedanken machen... Aber auch hier wieder: Maximales Volumen der Kugeln durch Volumen der Zelle, so weit ist es ja klar! Prost

Gruß
Marco

//Edit: Wenn fünf Kugeln auf die Raumdiagonale passen, dann ist deren Abstand ein viertel - nicht ein 5tel - der Raumdiagonale, das scheint Dein Fehler zu sein, oder? Und bei den 16/3 von Dir steig ich irgendwie auch nicht durch... unglücklich
Blub
Gast





BeitragVerfasst am: 25. Apr 2006 19:22    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

dein Ergebnis sieht auf jeden Fall vielversprechend aus. Das mit dem achtel des Radius ist natürlich richtig. Da hatte ich falsch überlegt. Ich brauch ja nicht die Kugeln auf der Diagonalen, sondern die Halben, die nach innen zeigen, bei 5 Kugeln sind das 10 Radien minus die zwei halben Kugeln, die nach "außen" zeigen.

Trotzdem habe ich das System noch nicht so ganz verstanden. Wenn man sich diese Grafik mal anschaut, dann sind doch nicht alle Ecken mit dem Gitter verbunden. Da fehlt sozusagen rote Stäbchen. Ich dachte die zählt man nichtmehr dazu.
Beim flächenzentrierten Kubus, hat man doch acht 1/8-Kugeln und sechs 1/2-Kugeln. Das macht 4 mal das Volumen einer Kugel. Deshalb 16/3...
Weil ich dachte man zählt einige Kugeln an den Ecken nicht mit, habe ich die davon einfach abgezogen usw...

Damit du 34% erhälst, musst du doch durch das Volumen des Würfels teilen.
Warum betrachtet man denn, den ganzen Würfel und nicht nur den Tetraeder?
Muss man beim Hexagonalen auch wieder ein Würfel darum basteln?

Danke Prost
as_string
Moderator


Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 4563
Wohnort: Heidelberg

BeitragVerfasst am: 27. Apr 2006 15:19    Titel: Antworten mit Zitat

Blub hat Folgendes geschrieben:

dein Ergebnis sieht auf jeden Fall vielversprechend aus. Das mit dem achtel des Radius ist natürlich richtig. Da hatte ich falsch überlegt. Ich brauch ja nicht die Kugeln auf der Diagonalen, sondern die Halben, die nach innen zeigen, bei 5 Kugeln sind das 10 Radien minus die zwei halben Kugeln, die nach "außen" zeigen.

Ja, das ist soweit richtig.
Blub hat Folgendes geschrieben:

Trotzdem habe ich das System noch nicht so ganz verstanden. Wenn man sich diese Grafik mal anschaut, dann sind doch nicht alle Ecken mit dem Gitter verbunden. Da fehlt sozusagen rote Stäbchen. Ich dachte die zählt man nichtmehr dazu.

Die roten Stäbe sollen nur die chemischen Bindungen andeuten. Für die Berechnung der Packungsdichte ist das nicht wichtig.
Der Witz bei jeder Art von Kristallgitter ist ja, dass es sich nach einer bestimmten Strecke in einer bestimmten Raumrichtung je Dimension immer wieder wiederholt. Wenn Du Dir ein Volumen mit ganzzahlig Vielfachen dieser Basisvektoren bastelst, kannst Du damit immer die Packungsdichte berechnen (ist jetzt mathematisch glaube ich nicht ganz korrekt. Das Volumen darf natürlich nicht null sein etc... Aber vielleicht verstehst Du das auch so schon, ohne dass ich das jetzt wirklich exakt formulieren muss.) Wenn Du ein solches Volumen hast, dann mußt Du noch das Volumen bestimmen, das von allen Kugeln (oder eben Teilkugeln) eingenommen wird, die in diesem Volumen liegen, egal wie die Bindungen aussehen.
Außerdem darfst Du die "fehlenden" Linien nicht so verstehen, dass die Atome gar nicht mit dem Rest verbunden wären. Das Gitter bekommst Du ja erst, wenn Du Kubus für Kubus in jeder Raumrichtung aneinander reihst. Wenn Du das machst, erkennst Du unten eine Zick-Zack Linie, die von links nach rechts in dem Bild geht und oben eine, die von senkrecht dazu von hinten nach vorne läuft. Die Atome hängen also über die benachbarten Zellen an den anderen Atomen mit dran. Sonst würde der Kristall ja noch auseinander fallen! Ich glaube, da würden die Preise für große Diamanten noch mehr in die höhe schnellen, weil es dann gar keine mehr davon gäbe!
Blub hat Folgendes geschrieben:
Beim flächenzentrierten Kubus, hat man doch acht 1/8-Kugeln und sechs 1/2-Kugeln. Das macht 4 mal das Volumen einer Kugel. Deshalb 16/3...

ach so... ja, für ein fcc ist das so richtig. Beim Diamant kommen da eben nochmal 4 dazu. Wenn Du Dir das Bild anschaust, dann sind die blauen die "fcc-Atome" und die vier grünen kommen noch dazu.
Blub hat Folgendes geschrieben:
Warum betrachtet man denn, den ganzen Würfel und nicht nur den Tetraeder?
Muss man beim Hexagonalen auch wieder ein Würfel darum basteln?

Du kannst diese Rechnungen auch mit einer PEZ (primitive Einheitszelle) machen. Aber ich weiß jetzt nicht so auswendig, ob das beim Diamantgitter wirklich ein Tetraeder eine PEZ wäre. Grundprinzip ist ja immer: Du brauchst ein Volumen, mit dem Du den ganzen Festkörper ausfüllen könntest (ohne Lücken) und die Atome damit an der richtigen Stelle wären.
Beim Diamantgitter nimmt man eben gerne einen Würfel als Grundzelle (obwohl das nicht die PEZ wäre, so weit ich weiß), weil man damit am einfachsten arbeiten kann. Das Volumen eines Würfels ist halt recht einfach und die Kugeln abzählen ist auch noch relativ einfach. Wenn man da irgendwelche schräge Zellen nimmt, wird das alles nur viel komplizierter, denke ich.
Ich habe gerade nochmal kurz in meinem "Kittel" gelesen. Man sagt ja, dass die Diamantstruktur eine 2-atomige Basis hat. Im Kittel steht noch drin, dass es keine Möglichkeit gibt, eine PEZ so zu wählen, dass die Basis nur ein Atom beinhaltet. Die PEZ besteht also aus zwei Atomen und muß dann wohl ein Volumen von (1/4)*a³ einnehmen, damit des mit der Packungsdichte mit der Kubischenzelle zusammen passt (da waren es 8 Atome in a³, in der PEZ wären es dann wohl 2 Atome in (1/4)a³, so dass Du wieder auf das selbe Ergebnis für die Packungsdichte kommst).
Beim hcp-Gitter (hexagonal close-packed) kannst Du ein Prisma mit einer hexagonalen Grundfläche annehmen. Auf der Seite von Dir ist so was ja auch gezeichnet. In der Tabelle ist aber glaube ich ein Fehler bei den "Atomen pro EZ"! Ich komme da auf 6 Atome. Die Atome an den Ecken (insgesamt 12) sind zu einem 6-tel innerhalb des Prismas, also sind das zwei Atome, dann kommen noch 2 halbe Atome in der Mitte von Deckel und Boden dazu, also da haben wir schon 3, und dann nochmal 3 Atome in der mitte, insgesamt also 6 Atome.
Das schwierige ist, das Verhältnis von c zu a aus zu rechnen (a ist der Abstand von z. B. dem mittleren Atom am Boden zu denen an den Ecken und c der Abstand vom Boden zum Deckel). Wenn Du diese 1,633 raus hast, kannst Du das Volumen des Prismas relativ einfach berechnen und mit der Annahme, dass der maximale Radius (1/2)*a ist (stimmt das überhaupt?) auch das Kugelvolumen von den 6 Kugeln ausrechnen.

Gruß
Marco
Gast






BeitragVerfasst am: 27. Apr 2006 17:14    Titel: Antworten mit Zitat

In meinem schlauen Buch steht folgendes:


Hexagonal dichteste Packung hdP
n=6
PD=0,74 (also 74%)

n=Anz. der Atome je Elementarzelle (Eckatome und in Flächen des einafchen geometrischen Grundkörpers eingelgerte Atome gehören nicht nur einer Elementarzelle an.)
PD = "Kugel"-Volumen in einer Elementarzelle / Volumen der Elementarzelle


Diamant
Elementarzelle entspricht einer kfz-Zelle, bei der jede 2. Achtelzelle zentriert von je einem C-Atom besetzt ist.

bei einer 1-atomigen Basis (normales kfz)
4*(4*Pi*r*r*r)/(3*a*a)=0,74
n=8*1/8+6*1/2=4

bei einer 2-atomigen Basis ist
n=8*1/8+6*1/2+4=8

weiter komm ich nicht...
as_string
Moderator


Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 4563
Wohnort: Heidelberg

BeitragVerfasst am: 27. Apr 2006 17:37    Titel: Antworten mit Zitat

@Gast: Das hatten wir so weit ja eigentlich auch schon. Was meinst Du mit "weiter komm ich nicht..."? Verstehst Du die Angaben in Deinem Buch nicht, oder wie man auf die Packungsdichte kommt?
Übrigens: kzf (kubisch-fläche-zentriert) ist das, das ich mit fcc (face-centered-cubic) bezeichnet habe. bcc ist dann body-centered-cubic und so weiter...

Gruß
Marco
as_string
Moderator


Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 4563
Wohnort: Heidelberg

BeitragVerfasst am: 27. Apr 2006 19:53    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo!

Ich habe das mit dem hcp mal gerechnet: Erstmal muß man heraus finden, dass c=1,633*a richtig ist:
Ich habe da mal einen Stabel aus vier Kugeln in Gedanken gemacht, also eine Tetraeder-Anordnung. Die Kugeln in der Ebene sind auf einem gleichseitigen Dreieck und die Kugel oben drüber muß über der Mitte des Dreiecks sein (eigentlich Umkreis-Mittelpunkt, bei einem gleichseitigen Dreick sind aber Umkreismittelpunkt, Schwerpunkt, Winkel- und Seitenhalbierenden Schnittpunkt alle die selben Punkte). Man kann sich geometrisch einigermaßen leicht überlegen, dass dieser Punkt einen Abstand von von den Eckpunkten hat (also der Umkreisradius). In kathesischen Koordinaten hat also ein Atom in der B-Schicht (Die drei Schichten buchstabiert man normalerweise mit A (Boden), B (Mittelebene) und C (Deckel) durch):

Wenn das nicht zu verstehen ist, dann liegt es daran, dass ich eigentlich noch eine Zeichnung machen müsste, bei der ich das Koordinatensystem richtig festlege und auch die Bezeichnungen und so. Wenn also jemand nicht durchblickt, dann sagt Bescheid und ich mache noch so eine Zeichnung!
So, der Betrag von diesem Vektor ist gerade der Abstand des einen Atoms am Boden in der Mitte zu einem in der B-Schicht. Der Betrag muß aber wieder gleich dem Abstand a sein, also:




Jetzt haben wir für das Kugelvolumen:

mit r = (1/2) a
Für das Volumen des gesamten Prismas hat man:

Wenn man jetzt Gesamtvolumen durch Kugelvolumen teilt, bekommt man die Packungsdichte:

Sieht doch gut aus, oder?

Gruß
Marco
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Quantenphysik

Verwandte Themen - die Neuesten
 Themen   Antworten   Autor   Aufrufe   Letzter Beitrag 
Keine neuen Beiträge Ersatzspannungsquelle bestimmen, komisches Netzwerk 0 plyzico 58 27. Jul 2016 22:32
plyzico Letzten Beitrag anzeigen
Keine neuen Beiträge Transformater, Stromstärke bestimmen 3 Elektrotechnik 130 23. Jul 2016 16:06
isi1 Letzten Beitrag anzeigen
Keine neuen Beiträge Spannnung bestimmen 8 ET33 131 22. Jul 2016 08:51
Et3333 Letzten Beitrag anzeigen
Keine neuen Beiträge Ortskurve Polstellen bestimmen 3 gast5000 180 17. Jul 2016 22:31
franz Letzten Beitrag anzeigen
Keine neuen Beiträge Gesamtwiderstand zwischen den Punkten A und B bestimmen. 2 Gast 151 04. Jul 2016 11:16
Auwi Letzten Beitrag anzeigen
 

Verwandte Themen - die Größten
 Themen   Antworten   Autor   Aufrufe   Letzter Beitrag 
Keine neuen Beiträge Trägheitsmoment bestimmen(Verschiedener Körper) 38 Random 927 01. Feb 2016 11:05
Random Letzten Beitrag anzeigen
Keine neuen Beiträge Neigungswinkel bestimmen 38 HBX8X 3441 16. Dez 2013 14:43
GvC Letzten Beitrag anzeigen
Keine neuen Beiträge Normierungskonstante bestimmen 34 TruEnemy 6735 07. Mai 2012 00:48
TruEnemy Letzten Beitrag anzeigen
Keine neuen Beiträge Position eines Sterns bestimmen 1919 29 onesweetsheep 453 30. Mai 2016 00:34
TomS Letzten Beitrag anzeigen
Keine neuen Beiträge Zeit für einen Weg anhand der Frequenz bestimmen 25 free 4202 05. März 2012 18:18
free Letzten Beitrag anzeigen
 

Verwandte Themen - die Beliebtesten
 Themen   Antworten   Autor   Aufrufe   Letzter Beitrag 
Keine neuen Beiträge Beschleunigung durch Ableiten bestimmen 5 corona 45633 25. Okt 2008 18:06
corona Letzten Beitrag anzeigen
Keine neuen Beiträge gleichmäßige Beschleunigung, Weg aus v-t-Diagramm bestimmen 9 DQ12 24209 21. Jun 2007 18:22
-Anja- Letzten Beitrag anzeigen
Keine neuen Beiträge Bestimmen von Wellenlänge durch Beugung am Gitter 21 würmchen 23476 23. Feb 2005 18:11
würmchen Letzten Beitrag anzeigen
Keine neuen Beiträge Dopplereffekt - Geschwindigkeit bestimmen 17 Gast 10406 25. März 2011 19:48
franz Letzten Beitrag anzeigen
Keine neuen Beiträge Mittlere Leistung bestimmen 9 skywalker 8554 08. Aug 2007 17:46
KUGA Letzten Beitrag anzeigen