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Science_Joggl
Anmeldungsdatum: 15.02.2018
Beiträge: 30
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 Science_Joggl Verfasst am: 19. März 2018 16:06 Titel: Inverse Lorentztransformation (Matrix) |
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Meine Frage:
Hallo,
ich habe ein paar Probleme bei der Bearbeitung einer Aufgabe zur Lorentztransformation mithilfe einer Matrix. Folgende Aufgabenstellung:
Die Lorentztransformation zwischen zwei Raumzeitpunkten kann mithilfe einer Matrix folgendermaßen geschrieben werden:
Dabei ist  die Relativgeschwindigkeit zwischen den beiden Systemen. Und
Zeigen Sie, dass die inverse Transformation durch ) gegeben ist.
Meine Ideen:
Wie eingangs geschrieben habe ich ein paar Probleme bei der Aufgabe. Erstens habe ich versucht, die Gleichung in der Aufgabenstellung zu überprüfen:
 \\ \gamma(t'-\frac{v}{c}x') \end{pmatrix})
Laut der Lorentztransformation sollte aber gelten:
<br />
t=\gamma (t'+\frac{vx'}{c^{2}}))
Wo ist der Fehler? Wie kann die Gleichung überprüft werden?
So, zweitens habe ich überlegt, wie ich zeigen könnte, dass die inverse Transformation durch gegeben ist.
Meine Idee war, in der Matrix durch  zu ersetzen. Das soll laut Aufgabenstellung ja die inverse Matrix darstellen. Um zu zeigen, dass dem so ist muss das Matrixprodukt der beiden die Einheitsmatrix ergeben. Soweit so gut und richtig. Funktioniert auch.
Ich habe nun aber auch noch versucht, die inverse Matrix  auf dem mir normalerweise bekannten Weg zu berechnen.
Dafür zuerst die Determinante bilden:
=\gamma \cdot \gamma - (-\frac{v}{c} \gamma)\cdot (-\frac{v}{c} \gamma)=\gamma^{2}(\frac{c^{2}-v^{2}}{c^{2}})=\frac{c^{2}}{c^{2}-v^{2}})
Und daraus die inverse Matrix berechnen:
}\cdot L=\frac{c^{2}}{c^{2}-v^{2}}\cdot \begin{pmatrix} \gamma & -\frac{v}{c} \gamma \\ -\frac{v}{c} \gamma & \gamma \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{c^{2}-v^{2}}{c^{2}\gamma} & -\frac{(c^{2}-v^{2})v}{c^{3}\gamma} \\ -\frac{(c^{2}-v^{2})v}{c^{3}\gamma} & \frac{c^{2}-v^{2}}{c^{2}\gamma} \end{pmatrix})
Das stimmt nun nicht mit der in der Aufgabenstellung angegebenen inversen Matrix durch Ersetzen von mit überein. Ausserdem ergibt die von mir berechnete inverse Matrix multipliziert mit der eigentlichen Matrix nicht die Einheitsmatrix. Das kann ja bekanntlich eigentlich nicht sein. Warum funktioniert das hier nicht bzw. wo ist der Fehler?
Vielen Dank für eure Hilfe  |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8585
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| jh8979 Verfasst am: 19. März 2018 16:45 Titel: Re: Inverse Lorentztransformation (Matrix) |
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| Science_Joggl hat Folgendes geschrieben: |
Wie eingangs geschrieben habe ich ein paar Probleme bei der Aufgabe. Erstens habe ich versucht, die Gleichung in der Aufgabenstellung zu überprüfen:
Laut der Lorentztransformation sollte aber gelten:
Wo ist der Fehler? Wie kann die Gleichung überprüft werden?
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Je nachdem was x und was x' ist und in welche Richtung sich da was bewegt. Wenn nicht mehr gegeben ist, dann würde ich das in der Aufgabenstellung so hinnehmen.
| Zitat: |
So, zweitens habe ich überlegt, wie ich zeigen könnte, dass die inverse Transformation durch gegeben ist.
Meine Idee war, in der Matrix durch zu ersetzen. Das soll laut Aufgabenstellung ja die inverse Matrix darstellen. Um zu zeigen, dass dem so ist muss das Matrixprodukt der beiden die Einheitsmatrix ergeben. Soweit so gut und richtig. Funktioniert auch.
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Gut.
| Zitat: |
Ich habe nun aber auch noch versucht, die inverse Matrix auf dem mir normalerweise bekannten Weg zu berechnen.
Dafür zuerst die Determinante bilden:
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Nicht so gut. Lorentztransformationen zeichnen sich u.a. dadurch aus, dass det(L)=1 gilt.
| Zitat: |
Und daraus die inverse Matrix berechnen:
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Was ist das für eine dubiose Bestimmung der Inversen?
1. L/det(L) ist bis auf wenige Spezialfälle nicht die inverse Matrix zu L.
2. Das dritte Gleichheitszeichen ist auch sehr suspekt. |
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Science_Joggl
Anmeldungsdatum: 15.02.2018
Beiträge: 30
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| Science_Joggl Verfasst am: 19. März 2018 17:14 Titel: |
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Danke jh8979 für die Antwort.
Gerade habe ich nochmal über meine Berechnung der Determinante geschaut und gesehen, dass ich auf meinem Blatt beim Lorentzfaktor  im Nenner vergessen hatte die Wurzel zu ziehen.
Das verbessert, komme ich nun auch auf
=1)
Auch habe ich nicht explizit darauf hingewiesen die Adjungierte Matrix in der Berechnung zur Inversen zu verwenden. Diese ist aber hier gleich der ursprünglichen Matrix (oder nicht?):
Neuer Versuch die Inverse zu  zu bestimmen:
} \cdot L_{adj} = \frac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} \gamma & -\frac{v}{c}\gamma \\ -\frac{v}{c}\gamma & \gamma \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \gamma & -\frac{v}{c}\gamma \\ -\frac{v}{c}\gamma & \gamma \end{pmatrix})
Multipliziert man nun die Matrix mit ihrer Inversen (nach obriger Rechnung also sich selbst), erhält man auch nach den vorherigen Korrekturen noch nicht die Einheitsmatix.
Was ist noch falsch?
Danke schonmal
_________________
"Das Wunder der Anwendbarkeit der Sprache der Mathematik für die Formulierung
physikalischer Gesetze ist ein Geschenk, das wir weder verstehen noch verdienen" - Eugene Wigner |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8585
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| jh8979 Verfasst am: 19. März 2018 17:22 Titel: |
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| Science_Joggl hat Folgendes geschrieben: |
Auch habe ich nicht explizit darauf hingewiesen die Adjungierte Matrix in der Berechnung zur Inversen zu verwenden. Diese ist aber hier gleich der ursprünglichen Matrix (oder nicht?):
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Doch ist sie, aber auch die gehört da nicht hin. M^(-1)=M_adj gilt nur fuer spezielle Matrizen. Fuer die Lorentytransformation trifft dies nicht zu. Du meinst die adjunkte Matrix, die sieht anders aus. |
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Science_Joggl
Anmeldungsdatum: 15.02.2018
Beiträge: 30
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| Science_Joggl Verfasst am: 19. März 2018 17:39 Titel: |
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Ok, jetzt bin ich neugierig
Ich dachte schon ich meine die adjungierte Matrix. Also "diejenige Matrix, die durch Transponierung und Konjugation einer gegebenen komplexen Matrix entsteht. Anschaulich ergibt sich die adjungierte Matrix durch Spiegelung der Ausgangsmatrix an ihrer Hauptdiagonale und anschließende komplexe Konjugation aller Matrixeinträge. Bei Matrizen mit Einträgen aus den reellen Zahlen entspricht sie der transponierten Matrix." [Wikipedia]
Meine Formelsammlung schränkt die Benutzung der Formel
} \cdot A_{adj})
nicht ein. Auch wird hier explizit von der adjungierten Matrix gesprochen
[L. Papula, Mathematische Formelsammlung, Seite 202, Auflage 11]
Wann darf ich denn die Formel nicht verwenden? Wie kann ich eine Matrix überprüfen ob sie so invertierbar ist?
Gibt es sonst eine Möglichkeit hier die Inverse zu bilden?
Danke für die Antworten
_________________
"Das Wunder der Anwendbarkeit der Sprache der Mathematik für die Formulierung
physikalischer Gesetze ist ein Geschenk, das wir weder verstehen noch verdienen" - Eugene Wigner |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8585
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| jh8979 Verfasst am: 19. März 2018 17:52 Titel: |
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| Science_Joggl hat Folgendes geschrieben: |
Ich dachte schon ich meine die adjungierte Matrix. Also "diejenige Matrix, die durch Transponierung und Konjugation einer gegebenen komplexen Matrix entsteht. Anschaulich ergibt sich die adjungierte Matrix durch Spiegelung der Ausgangsmatrix an ihrer Hauptdiagonale und anschließende komplexe Konjugation aller Matrixeinträge. Bei Matrizen mit Einträgen aus den reellen Zahlen entspricht sie der transponierten Matrix." [Wikipedia]
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Meintest Du vllt, das ist aber falsch
| Zitat: |
Meine Formelsammlung schränkt die Benutzung der Formel
nicht ein. Auch wird hier explizit von der adjungierten Matrix gesprochen
[L. Papula, Mathematische Formelsammlung, Seite 202, Auflage 11]
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mMn sollte dort adj=adjunkt und nicht adjungiert heissen.
"Die adjungierte Matrix (nicht zu verwechseln mit der Adjunkten),..."
https://de.wikipedia.org/wiki/Adjungierte_Matrix
Allerdings macht es die Sprache einem hier auch nicht leicht...
"Die Adjunkte, klassische Adjungierte (nicht zu verwechseln mit der echten adjungierten Matrix) oder komplementäre Matrix einer Matrix ist..."
https://de.wikipedia.org/wiki/Adjunkte
Im Papula steht zwar adjungiert, aber das ist dann nur ein sprachliches Problem. Dort steht nämlich auch explizit was gemeint ist und das ist nicht was Du oben von Wiki unter "adjungiert" zitiert hast.
| Zitat: |
Wann darf ich denn die Formel nicht verwenden?
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Immer wenn sie (so wie Du sie benutzt) nicht gilt, was sehr oft der Fall sein duerfte. Ein Fall in dem sie auch fuer (echt) adjungierte Matrizen gilt ist, wenn die Matrix orthogonal oder unitär ist.
| Zitat: | Wie kann ich eine Matrix überprüfen ob sie so invertierbar ist?
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Prüfen, ob die Determinante ungleich Null ist.
| Zitat: |
Gibt es sonst eine Möglichkeit hier die Inverse zu bilden?
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Ja sicher, alle Möglichkeiten, die es so gibt ein LGS zu lösen, funktionieren hier (Deine Version, wenn richtig ausgeführt mit der adjunkten Matrix, ist nichts anderes als die Cramersche Regel). |
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Science_Joggl
Anmeldungsdatum: 15.02.2018
Beiträge: 30
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| Science_Joggl Verfasst am: 19. März 2018 18:00 Titel: |
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Alles klar, danke
Wieder was gelernt 
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