| Autor |
Nachricht |
Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
|
 Jayk Verfasst am: 25. Jul 2013 19:06 Titel: holonome Zwangsbedingungen - Rang der Matrix |
 |
|
Hallo,
Ich habe gerade ein Skript zur theoretischen Mechanik vor mir. Da steht nun sinngemäß, dass es oft möglich ist, Zwangsbedingungen durch r Gleichungen der Art
 = 0 \quad 1 \leq i \leq r)
zu formulieren. Soweit klar. Weiter wird gefordert, dass die Matrix
für Lösungen der Zwangsbedingungen den Rang r hat (Fußnote: Rang = Dimension des Bildraums). Die Spalten einer Matrix sind doch aber genau die Vektoren, auf denen die Einheitsvektoren der Basis abgebildet werden. Da sich die Basis aus r Einheitsvektoren zusammensetzt, sollte diese Bedingung doch genau dann erfüllt sein, wenn die Spaltenvektoren der Matrix linear unabhängig sind.
Aber was heißt das anschaulich und warum fordert man das? Gibt es ein Beispiel, wo das nicht erfüllt ist? |
|
 |
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8585
|
| jh8979 Verfasst am: 25. Jul 2013 19:55 Titel: Re: holonome Zwangsbedingungen - Rang der Matrix |
|
|
| Jayk hat Folgendes geschrieben: |
Aber was heißt das anschaulich und warum fordert man das? Gibt es ein Beispiel, wo das nicht erfüllt ist? |
Das heisst, dass die Nebenbedingungen unabhängig voneinander sind. Du willst natürlich nicht künstlich mehr Nebenbedingungen erzeugen, als wirklich physikalische Nebenbedingungen vorliegen. z.B. ist die Summe zweier  's wieder eine Nebenbedingung, aber die ist natürlich nicht unabhängig von ihren beiden Summanden, bringt also kein zusätzlichen Erkenntnisgewinn.
Zuletzt bearbeitet von jh8979 am 26. Jul 2013 22:20, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
|
| Jayk Verfasst am: 25. Jul 2013 20:23 Titel: |
|
|
Okay, so etwas in der Art habe ich mir schon gedacht. Aber warum heißt es das? Ich habe mittlerweile herausgefunden, das das Monstrum Jacobi-Matrix heißt.
Ich habe mir mal Gedanken über die Matrix gemacht: Der Rang der Matrix ist ja gleich dem Rang der transponierten Matrix. Unter der transponierten Matrix kann ich mir irgendwie mehr vorstellen. Da werden ja z.B., wenn als verallgemeinerte Koordinaten die kartesischen Koordinaten eines einzelnen Teilchens gewählt werden, die Einheitsvektoren  genau auf die Gradienten  der jeweiligen Zwangsbedingung abgebildet. Und die Gradienten an einem Punkt der Lösungskurve, -fläche, usw. sollten ja immer senkrecht an diese sein (zumindest finde ich das so anschaulich, dass die Funktion senkrecht zur Lösung den größten Zuwachs hat). Also heißt das, dass ich an der Lösungskurve, -fläche, ..., r Normalen anhängen kann. So gesehen sagt diese Bedingung, dass wenn ich a Freiheitsgrade auf a-r reduzieren will, ich auch wirklich genau r Zwangsbedingungen habe, oder? |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8585
|
| jh8979 Verfasst am: 25. Jul 2013 20:47 Titel: |
|
|
| Jayk hat Folgendes geschrieben: | | So gesehen sagt diese Bedingung, dass wenn ich a Freiheitsgrade auf a-r reduzieren will, ich auch wirklich genau r unabhängige Zwangsbedingungen habe, oder? |
Ja, aber ich habe mal ein (wichtiges) Wort ergänzt, das Du Dir wohl implizit dazugedacht hast. |
|
|
Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
|
| Jayk Verfasst am: 25. Jul 2013 23:14 Titel: |
|
|
Okay, danke!
Noch eine andere Frage, ich bin mir nicht sicher, ob die nicht besser in einen eigenen Thread sollte: ich befürchte, dass dann der Zusammenhang verloren geht. Ich habe jetzt mal in den Landau geguckt (er spricht nicht von Zwangsbedingungen, sondern von Bindungen). Er schreibt:
| Zitat: | Im allgemeinen Fall drückt sich eine solche Bedingung durch Bindungsgleichungen der Form
aus, wo die  nur von den Koordinaten abhängen (der Index alpha numeriert die Bindungsgleichungen). Wenn die linken Seiten der Gleichungen keine totalen zeitlichen Ableitungen von irgendwelchen Koordinatenfunktionen sind, lassen sich die Gleichungen nicht integrieren. Mit anderen Worten, sie führen nicht auf Beziehungen zwischen den Koordinaten allein, die man dazu benutzen könnte, die Lage der Körper durch eine kleinere Anzahl von Koordinaten zu bestimmen entsprechend der tatsächlichen Anzahl von Freiheitsgraden. Solche Bindungen heißen nichtholonom (im Gegensatz zu holonomen Bindungen, welche nur die Koordinaten des Systems miteinander verknüpfen).
|
(Seite 152 in der Ausgabe von Harri Deutsch)
Wird da wirklich das gleiche definiert? In dem Skript (übrigens das hier: http://www.ita.uni-heidelberg.de/research/bartelmann/Lectures/theorie2/theorie2.pdf) war ja von allgemeinen Funktionen die Rede. Ich interpretiere ihn jetzt so, dass  \dot q_i) gemeint ist, das Integral davon wäre also  q_i - C_{\alpha i}(q_1, \dots , q_n ) q_i) (also auch nur irgendeine Funktion der Koordinaten?). |
|
|
Namenloser324
Gast
|
| Namenloser324 Verfasst am: 26. Jul 2013 00:01 Titel: |
|
|
|
Für mal zu f(q1,q2,...,qn,t) = 0 die totale Zeitableitung aus |
|
|
Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
|
| Jayk Verfasst am: 26. Jul 2013 00:17 Titel: |
|
|
Das ist dann
Das heißt dann, Landaus Definition behandelt eigentlich nur skleronome Zwangsbedingungen(?) |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8585
|
| jh8979 Verfasst am: 26. Jul 2013 00:49 Titel: |
|
|
| Jayk hat Folgendes geschrieben: |
Das heißt dann, Landaus Definition behandelt eigentlich nur skleronome Zwangsbedingungen(?) |
In de Fall ja. Allerdings sind die nicht unbedingt holonom. D.h. es existiert nicht immer Funktionen  , so dass  . Das ist gemeint mit
| Zitat: |
Wenn die linken Seiten der Gleichungen keine totalen zeitlichen Ableitungen von irgendwelchen Koordinatenfunktionen sind, lassen sich die Gleichungen nicht integrieren.
|
Ein Beispiel einer nicht intergrablen Gleichung wäre:
Es gibt keine Funktion f(x,y), deren zeitliche Ableitung die linke Seite der Gleichung liefert. |
|
|
Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
|
| Jayk Verfasst am: 26. Jul 2013 21:55 Titel: |
|
|
Ich glaube, ich hab's verstanden. Ich stand zwar erstmal auf dem Schlauch, weil ja sowohl x² als auch xy partielle Ableitungen irgendwelcher Koordinatenfunktionen sind, aber die Definition besagt ja, dass sie die Ableitung derselben Funktion sein müssen. In diesem Falle wäre das gleichbedeutend damit, dass die Zwangsbedingung eine exakte DGL ist, nicht? Aber in manchen Fällen kann ich doch einen integrierenden Faktor finden und die DGL ist trotzdem lösbar? Wäre die Zwangsbedingung dann nicht trotzdem integrierbar?
Demnach ist also die Definition im Skript der Definition im Landau vorzuziehen, weil sie direkter ist. |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8585
|
| jh8979 Verfasst am: 26. Jul 2013 22:20 Titel: |
|
|
| Jayk hat Folgendes geschrieben: | | Ich glaube, ich hab's verstanden. Ich stand zwar erstmal auf dem Schlauch, weil ja sowohl x² als auch xy partielle Ableitungen irgendwelcher Koordinatenfunktionen sind, aber die Definition besagt ja, dass sie die Ableitung derselben Funktion sein müssen. In diesem Falle wäre das gleichbedeutend damit, dass die Zwangsbedingung eine exakte DGL ist, nicht? |
Ja, das ist richtig.
| Zitat: | | Aber in manchen Fällen kann ich doch einen integrierenden Faktor finden und die DGL ist trotzdem lösbar? Wäre die Zwangsbedingung dann nicht trotzdem integrierbar? |
Sofern du diesen Faktor finden kannst, kannst Du die Zwangsbedingung umschreiben und damit integrierbar machen. Ich würde in diesem Fall sagen, dass die ursprüngliche Zwangsbedingung nicht integrierbar ist, aber äquivalent in eine integrierbare überführt werden kann.
| Zitat: |
Demnach ist also die Definition im Skript der Definition im Landau vorzuziehen, weil sie direkter ist. |
Die Definition bei Landau ist allgemeiner, weil sie auch nicht anholonome Bedingungen umfasst. Aber wenn man nur an holonomen Zwangsbedingungen interessiert ist, dann ist f(x1,... xn,t)=0 sicherlich schöner zu benutzen. |
|
|
Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
|
| Jayk Verfasst am: 26. Jul 2013 22:39 Titel: |
|
|
Richtig, ich hatte vergessen, dass der Landau nicht nur über holonome Zwangsbedingungen schreibt.  (wir brauchen hier so einen Smiley, der mit dem Kopf gegen eine Wand schlägt...)
Danke für deine Antworten! |
|
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
