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isabelle91
Gast
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 isabelle91 Verfasst am: 10. Jun 2016 20:31 Titel: Fouriertransformation Schwingung |
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Meine Frage:
Hallo allerseits,
ich beschäftige mich gerade ein wenig mit der Fouriertransformation und seinen Anwendungen.
Ein Anwendungsbeispiel ist ja bekanntlich die Lösung bestimmter Differentialgleichungen.
Als konkretes Beispiel nehmen wir uns also mal die DGL einer erzwungenen Schwingung her:
)
Darauf wird dann Fourier angewandt:
F(x(t))(w)=F(f(t))(w))
)(w)|=|F(f(t))(w)|/|(-aw^2+ibw+c)|)
Nun wird immer behauptet, dass )(w)|) die Amplitude von ) bei gegebener Frequenz  wäre.
Warum ist das so? Wäre nett wenn mir das jemand erklären könnte :)
Schon mal vielen Dank für eure Hilfe!
MfG isabelle
Meine Ideen:
Dass die FFT ein hilfreiches mathematisches Konstrukt zur Lösung einiger Probleme in der Physik darstellt ist mir durchaus bewusst. Rücktransformation von )(w)) würde mir ja liefern.
Die Frage ist nun, wieso ein Zwischenprodukt dieses Konstrukts die physikalische Realität beschreibt. |
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isabelle91
Gast
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| isabelle91 Verfasst am: 11. Jun 2016 15:21 Titel: |
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Vielleicht sollte ich noch ein anderes Beispiel heranziehen, damit man mein Problem besser versteht 
Und zwar bestimmt man ja Impedanzen bei Wechselspannung, in dem man sich das Verhältnis von Spannung und Strom anschaut. Wieso ist es hier egal, ob man sich das (komplexe) Verhältnis dieser beiden Größen im Zeitbereich (so ist ja die Impedanz definiert) oder nach Fouriertransformation von U und I im Frequenzbereich anschaut?
MfG isabelle |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 11. Jun 2016 19:13 Titel: |
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) ist die Foriertransformierte von x(t).
Also
 = \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega ) e^{i \omega t} \dd \omega)
Hier sind also harmonische Schwingungen verschiedener Frequenz enthalten, die mit gewichtet sind. Daher ist die Amplitude der Frequenz  .
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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isabelle91
Gast
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| isabelle91 Verfasst am: 11. Jun 2016 23:07 Titel: |
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Danke für deine Antwort!
Okay, das kann ich mir soweit vorstellen.
Wenn wir jetzt aber etwas konkreter werden und f(t)=cos(at) wählen, so ist die Fouriertransformierte doch ein Ausdruck mit zwei Delta-Distributionen und einem Vorfaktor Pi.
Dann macht doch der Ausdruck für die Amplitude von x(t) in meinem ersten Post gar keinen Sinn bzw. es kommt nicht das raus, was soll, oder? |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 12. Jun 2016 20:48 Titel: |
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Wie meinst du "es kommt nicht raus was soll"?
Die Integration über die Deltafunktion lässt letztendlich zwei konjugiert komplexe Ausdrücke über, die in Summe die gesuchte reelle Funktion x(t) ergeben.
Die Amplitude im Spektrum musst du im Sinne einer Amplituden-Dichte interpretieren, das Quadrat ist die spektrale Leistungsdichte.
Die Leistungsdichte gibt an, wie viel Energie in einem gegebenen Frequenzintervall enthalten ist. Ist das Frequenzintervall Null (weil eben nur genau eine Spektrallinie enthalten ist, so wird der Quotient Unendlich (also eine Deltafunktion). Dies stört aber nicht, da bei der Integration wieder etwas endliches herauskommt.
Die Amplitude der korrespondierenden Fourierreihe bekommst du daher durch Integration über die Frequenz, was bei den beiden Deltafunktion im vorliegenden Fall sehr einfach ist.
Als Übung kannst du ja einmal den Zusammenhang der Fourierkoeffizienten ) einer periodischen Zeitfunktion mit den Werten des Spektrums an den Stellen  vergleichen. Der Unterschied ist genau die Deltafunktion ) :
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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isabelle91
Gast
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| isabelle91 Verfasst am: 13. Jun 2016 08:44 Titel: |
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Okay! Ich habe mir das nochmal in Ruhe zu Hause angeschaut und aufgemalt und glaube es endlich begriffen zu haben 
Vielen Dank für deine Mühe |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 13. Jun 2016 09:00 Titel: Re: Fouriertransformation Schwingung |
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| isabelle91 hat Folgendes geschrieben: |
Als konkretes Beispiel nehmen wir uns also mal die DGL einer erzwungenen Schwingung her:
Darauf wird dann Fourier angewandt:
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Vllt nochmal explizit zu diesem Beispiel:
Aus
folgt nicht
)(w) = F(f(t))(w) /|(-aw^2+ibw+c)|) .
Denn diese Umformung ist nur erlaubt, wenn
 .
D.h. es kann noch Beiträge bei genau den Frequenzen geben, für die dieser Ausdruck Null ist. Die korrekte Folgerung ist dann also
)(w) = F(f(t))(w) /|(-aw^2+ibw+c)| + \sum_i c_i \delta(w- w_i)) ,
wobei wi jetzt genau die Loesunge von -aw^2+ibw+c = 0 sind.
Und dies ist auch gut so, da Du ja irgendwie zwei Integrationskonstanten brauchst, um die Anfangsbedingungen für x(0) und v(0) zu berücksichtigen. |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 13. Jun 2016 23:30 Titel: Re: Fouriertransformation Schwingung |
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Die Rücktransformation von
 Y(w)=F(w))
indem man durch das char. Polynom durchdividiert und Y(w) somit algebraisch löst liefert - worauf jh8979 hinwies - lediglich eine partikuläre Lösung von y(t).
Ich hätte auf die homogene Lösung glatt vergessen, da ich von der praktischen Anwendung der Laplace-Transformation gewohnt bin, dass die Anfangsbedingungen dort automatisch eingehen und stur nach einem Schema vorgehen kann.
Mir ist vollkommen klar, dass man noch die homogenen Lösungen addieren muss, nicht zuletzt um die Anfangsbedingungen einfließen zu lassen. Jedoch verstehe ich nicht den tieferen Grund, warum diese nicht - wie bei der Laplace Transformation - im Formalismus der FT enthalten sind.
Ich sehe zwar, dass die FT der Eigenfunktionen  nicht existiert, und deshalb in der Transformation wohl nicht enthalten sein kann, jedoch finde ich nicht, dass dies eine Erklärung ist.
Im Gegensatz zur FT wird die Konvergenz bei Laplace ja "erzwungen", aber wieso ist die Behandlung der Anfangswerte bei letzterer dabei, bei ersterer jedoch extra vorzunehmen?
Ich bin jetzt doch etwas verwirrt und grüble schon den ganzen Tag...kann mir jemand raushelfen? Kann man den Unterschied formal zeigen?
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