Diagonaler Operator

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Hallo,

folgende Aufgabe habe ich:

http://up.picr.de/25442988kj.jpg

Die ich hänge bei b) fest. So wie ich den Ausdruck verstehe, habe ich doch nur EINE (jede Transformation ersetzt ja die vorherige Variable durch eine neue) Variable und nicht etwa zwei, so dass ich nicht weiß, was ich unter Diagonal verstehen soll.

Also: Wie ist das Diagonal hier zu verstehen?

edit:
ich erhalte bei meiner bisherigen Herangehensweise bei b) als Ergebnis:
(FVF* Theta)(r) = (2/N)*exp((-2*pi*i/N)*r) * (Theta(0) + Theta(1) + ... + Theta(N-1))

Das sieht zwar schön aus, aber ergibt im Rahmen der Aufgabe nicht so viel Sinn.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18193

V ist eine Matrix, die den n-ten Einheitsvektor auf den (n+1)-ten Einheitsvektor abbildet. Diese Matrix solltest du mal explizit hinschreiben.

Der diagonale Operator V' ist dann eine Matrix, die ausschließlich auf der Hauptdiagonalen von Null verschiedene Einträge hat.

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Verstehe ich nicht.
V wäre

V = {(0, 1, 0, ..., 0), (0,0,1,0,...,0), ... (0,...,1,0), (1,0,...,0)}.
Richtig?

Ich wüsste eigentlich eher gerne, ob ich überhaupt die Formel FVF* richtig verstehe. Die hat doch tatsächlich nur einen Parameter bzw. eine Variable, oder? Falls dem so ist, dann verstehe ich eben nicht, wieso man das Ergebnis als Matrix deuten kann.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18193

Ich lasse jetzt mal n = 0,1,2,... und den Spezialfall N-1 weg und betrachte einen unendlich-dimensionalen Hilbertraum.

Dann hast du den Verschiebeoperator

Für den Zustand psi gilt

Der Verschiebeoperator wirkt gemäß

Soweit klar? (außer dass ich wohl V und V* irgendwie vertauscht bzw. +1 und -1 verwechselt habe)

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Hey, super für die Mühe, vielen Dank. Ich bin an die Dirac-Notation noch nicht so gewöhnt, daher kommentiere ich mal deine Zeilen, okay?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18193

Jetzt stellst du F dar als

Dann überlegst du dir, was

in dieser Matrixdarstellung bedeutet.

Dazu am besten mal mit einer 4*4 - Matrix explizit rumspielen ...

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Danke! Das hilft mir sehr weiter, denn mein ursprünglicher Fehler war, dass ich vergessen hatte, dass der adjungierte Operator ja bei Matrizen nicht nur konjugiert sondern auch transponiet wird haha.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18193

Nun setzt du

und berechnest

Dabei fällt bei der Summenbildung nach Ausmultiplizieren ein Index wg. Orthonormiertheit und Kronecker-Delta weg.

Nun folgende Überlegung: du sollst die Unitarität von F beweisen, d.h. du musst zeigen, dass der letzte Ausdruck dem Eins-Operator entspricht. Dazu betrachtest du zwei Fälle:

Diagonalememente z = m - n = 0:
Der Exponent ist Null, die Summe daher gleich N, aufgrund des Vorfaktors 1/N erhältst du also Eins.

Nicht-Diagonalememente z = m - n > 0:
Zu berechnen ist die Summe

Dies entspricht der Partialsumme der geometrischen Reihe; damit zeigst du, dass dieser Ausdruck gleich Null ist.

Daraus folgt letztlich

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Hey danke, aber mein problem war eigentlich b), d.h. die Diagonalität von F V F* zu zeigen. Die Unitarität der Fouriertrafo hatte ich schon. Sorry, falls das unklar war :/

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18193

Kein Thema.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18193

Ich hab' jetzt ein bisschen weiter gerechnet. Mir erscheint das im wesentlichen identisch zum Beweis oben angeführten Beweis der Unitarität von F.

Zunächst mal ist V bereits diagonal, d.h. statt der Summe über das Indexpaar p,q tritt lediglich eine Summe über p auf. Dann erhält man eine Summe über p, die mittels der selben Methode der Partialsummen der geometrischen Reihe berechenbar ist.

Ich erhalte soetwas wie

ACHTUNG: ich habe mir nicht die Mühe gemacht, den Sonderfall n = 0 bzw. n = N-1 in V zu betrachten; evtl. resultiert daraus noch eine Modifikation, aber im wesentlichen sollte das stimmen.