Ist der Operator K hermitesch?

worms324 · Gast

Meine Frage:

dabei ist t eine bel. reelle Zahl und x und p sind bereits hermitesch

Meine Ideen:
über die Definiton

fhlghorie · Gast

Der gegebene Operator ist K = ihx - (x² - t²)p.

Um zu überprüfen, ob dieser Operator hermitesch ist, müssten wir seinen adjungierten Operator berechnen und sehen, ob er dem ursprünglichen Operator entspricht. In der Quantenmechanik ist der adjungierte Operator eines Operators A, bezeichnet als A†, definiert als der komplexe Konjugierte des Transponierten von A.

Allerdings ist es wichtig zu beachten, dass die Berechnung des adjungierten Operators in der Quantenmechanik oft komplex ist und spezielle Regeln für Operatoren wie Position (x) und Impuls (p) erfordert. Darüber hinaus hängt die Hermitizität eines Operators auch von den Randbedingungen ab.

Ohne weitere Informationen oder einen spezifischen Kontext kann ich leider nicht definitiv sagen, ob dieser Operator hermitesch ist oder nicht. Es wäre hilfreich, wenn Sie weitere Details oder den Kontext für diesen Operator angeben könnten.

Aruna · Anmeldungsdatum: 28.07.2021 Beiträge: 830

worms324 · Gast

Ok, aber das ist doch über Matrizen, hier liegt keine Matrix vor, wie funktioniert es hier?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5914

Wesentlich ist hier noch, ob man voraussetzen darf, dass x und p nicht nur hermitesch sind, sondern dass auch wie üblich gilt

Wahrscheinlich schon. Sonst kann K fast nicht hermitesch sein: (ihx) ist sicher nicht hermitesch, und x^2p wäre nur hermitesch, wenn x und p kommutieren würden.
Mit der obigen Vertauschungsrelation aber kannst Du K so umformen, dass die Hermitezität klar ist. Man braucht dann nur noch zu wissen, dass

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18201

Man muss mehrere Schritte beachten:

Auf welchem Raum soll der Operator definiert sein?
Ist der Operator symmetrisch bzgl. des Skalarproduktes?
Haben der Operator und der adjungierte Operator den selben Definitionsbereich?

Z.B. ist der Impulsoperator auf der positiven reellen Halbebene nur unter gewissen Randbedingungen symmetrisch (mittels partieller Integration) und genau deswegen nicht selbstadjungiert.

worms324 · Gast

Der Raum sollte der Ortsraum sein, weitere Angaben sind nicht gemacht

worms324 · Gast

Ich habe leider noch Probleme mit dem richtigen Vorgehen

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5914

Aruna · Anmeldungsdatum: 28.07.2021 Beiträge: 830

Aruna · Anmeldungsdatum: 28.07.2021 Beiträge: 830

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18201

Zunächst mal wäre es relevant, mathematisch präzise zu definieren, was hermitesch denn eigentlich bedeutet. Das ist nämlich nicht der Fall: https://de.m.wikipedia.org/wiki/Hermitescher_Operator

Ob das dann im Einzelfall relevant wird, muss man auch im Einzelfall entscheiden.

Der Beweis, dass aus der Symmetrie des Operators im Kontext des Skalarproduktes, die Selbstadjungiertheit folgt, ist nicht trivial: Für den Impulsoperator in der Ortsdarstellung betrachtet man dazu den Zusammenhang zwischen dem adjungierten Operator und der partiellen Integration sowie dem verschwinden der Randterme. Da im vorliegenden Fall der Impulsoperator zusammen mit dem Ortsoperator auftaucht, können auch Funktionen entstehen, die zwar an sich quadratintegrabel sind, jedoch zusammen mit der Multiplikation mit x diese Forderung nicht mehr erfüllen. Damit ist zumindest auf den ersten Blick nicht mehr sicher, dass alle betrachteten Funktionen im selben Hilbert-Raum leben, und geht der Beweis der Selbstadjungiertheit nicht mehr trivial durch.

Genauso kann der Beweis scheitern, wenn man die Operatoren nicht mehr über den reellen Zahlen betrachtet, sondern zum Beispiel periodische Funktionen auf einem Kreis, oder Funktionen in einem endlichen Intervall mit bestimmten Randbedingungen, wie zum Beispiel im Falle des unendlichen Potentialtopfes. In diesen Fällen führt die Anwendung des Operator x aus dem ursprünglichen Raum der periodischen Funktionen hinaus.

Ohne das genauer zu betrachten, kann man für den Operator nur zeigen, dass er gewisse formale Voraussetzungen für die Selbstadjungiertheit erfüllt. Das ist dann wohl ungefähr das, was Physiker so in etwa unter Hermitizität verstehen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18201

1. Hier eine knappe Diskussion für p auf dem Intervall [0, 2π].

https://homepages.physik.uni-muenchen.de/~helling/pextension.pdf

2. Aufgrund der Defektindizes funktioniert dieselbe Vorgehensweise nicht für die positive reelle Halbgerade, d.h. p kann dafür nicht selbstadjungiert erweitert werden. Das und mehr siehe:

https://inspirehep.net/files/3a471bd701a9ee6bbd45003581130cf4

3. Im hier vorliegenden Fall muss man zunächst festlegen, auf welcher Untermenge der reellen Zahlen man die Operatoren untersuchen möchte, umd man muss dies explizit durchführen.

In der Praxis begegnen einem derartige mathematische Fragestellungen fast nie. Es geht mir also nicht darum, jedes Mal den ganz großen Werkzeugkasten auszupacken, sondern lediglich darum, zu verstehen, dass die Physiker mit dem netten Begriff "hermitesch" oft potentielle Probleme unter den Teppich kehren.

Aruna · Anmeldungsdatum: 28.07.2021 Beiträge: 830

Aruna · Anmeldungsdatum: 28.07.2021 Beiträge: 830

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18201

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18201