Laplace Operator

planck1858 · Anmeldungsdatum: 06.09.2008 Beiträge: 4542 Wohnort: Nrw

Guten Abend,

ich würde gerne wissen, wie kommt man auf folgende Beziehung kommt?

Mein Vorschlag:

Aber wie sähe die Rechnung dazu aus?

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Es empfiehlt sich möglichst schnell einen sicheren Umgang mit Differentialformen zu erwerben. Alle elementareren Methoden den Laplace-Operator auf krummlinige Koordinaten zu transformieren, bereiten m.E. mehr Frustration als Freude. Wenn du die Begriffe äußeres Differential und Hodge-Dual schon mal gehört hast, bist du schon auf einem guten Weg.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18193

So wie ich Planck kenne, würde ich ihm gerade das nicht raten.

Man schreibe den Laplace-Operator in kartesischen Koordinaten hin und berechne zu Fuß die Darstellung in sphärischen Koordinaten.

Anschließend setze man an, dass f(r) winkelunabhängig ist.

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Ok, in diesem Fall würde ich die Reihenfolge aber umdrehen. Also erst benutzen, daß f winkelunabhängig ist und dann per Kettenregel auf Kugelkoordinaten umrechnen. Dabei fallen schon mal die meisten partiellen Ableitungen weg. Den vollständigen Laplace-Operator zu Fuß umzurechnen grenzt an Selbstgeißelung.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18193

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Also, nochmal für Planck wie ich es meine. Für den Laplaceoperator in kartesischen Koordinaten

braucht man die zweiten partiellen Ableitungen in jeder Richtung. Nach Kettenregel gilt z.b.

Die letzten beiden Terme fallen weg, wenn f winkelunabhängig ist. Für die anderen kartesischen Koordinaten gelten analoge Formeln. Zur Bildung der zweiten partiellen Ableitungen mußt du auf der rechten Seite der letzten Gleichung die Produktregel anwenden. Dann addierst du die Ergebnisse für x, y,z. Fertig.

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259