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cos²(t) integrieren
 
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streikender-lokführer
Gast
Beitrag streikender-lokführer Verfasst am: 16. Okt 2015 14:18    Titel: cos²(t) integrieren Antworten mit Zitat
Kann man die funktion

x(t)=cos²(t)

auch ohne partielle Integration integrieren?

Ich kann die funktion mit partielle integration und mit cos²(t)+sin²(t)=1 die stammfunktion bilden, aber geht das auch anders?

Wir haben Integration durch Substitution gelernt. Ist Substitution hier möglich?
Steffen Bühler
Moderator


Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7262
Beitrag Steffen Bühler Verfasst am: 16. Okt 2015 14:22    Titel: Antworten mit Zitat
Du kannst das Quadrat loswerden, indem Du die Additionstheoreme verwendest.

Viele Grüße
Steffen
ML



Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3406
Beitrag ML Verfasst am: 16. Okt 2015 19:27    Titel: Re: cos²(t) integrieren Antworten mit Zitat
Hallo,


streikender-lokführer hat Folgendes geschrieben:
Kann man die funktion
x(t)=cos²(t)
auch ohne partielle Integration integrieren?


bei Sinus und Cosinus kann man die Additionstheoreme oft auch elegant durch Nutzung der komplexen e-Funktion umgehen. Der Cosinus lässt sich beispielsweise so ausdrücken*:



Dementsprechend gilt nach dem Ausmultiplizieren:



Die Stammfunktion bildest Du nun wie bei einer normalen e-Funktion:



Die Exponentialfunktionen lassen sich mit der 3. Binomischen Formel zu einem Produkt umformen:




Viele Grüße
Michael



*Falls Du das nicht kennst, mal Dir mal die Zeiger der e-Funktionen für einen bestimmten (gleichen) Winkel auf. Du siehst es dann sofort!

cosinus.png
 Beschreibung:
 Dateigröße:  3.6 KB
 Angeschaut:  1808 mal

cosinus.png


Zuletzt bearbeitet von ML am 17. Okt 2015 16:12, insgesamt einmal bearbeitet
Duncan
Gast
Beitrag Duncan Verfasst am: 17. Okt 2015 14:38    Titel: Antworten mit Zitat
Noch eine andere Methode:
die Funktion cos^2(x) in eine Taylorreihe (für x=0) entwickeln und dann integrieren.

Schon nach 5 bis 6 Gliedern ist der Fehler verschwindend klein.
ML



Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3406
Beitrag ML Verfasst am: 17. Okt 2015 14:47    Titel: Antworten mit Zitat
Duncan hat Folgendes geschrieben:
Schon nach 5 bis 6 Gliedern ist der Fehler verschwindend klein.

Dazu dürfen die Integralgrenzen aber nicht allzu weit von der Null entfernt liegen.
Duncan
Gast
Beitrag Duncan Verfasst am: 17. Okt 2015 14:57    Titel: Antworten mit Zitat
Von Integrationsgrenzen ist hier nicht die Rede.

Die von mir beschriebene Methode ist genau für alle x-Werte!
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8585
Beitrag jh8979 Verfasst am: 17. Okt 2015 15:47    Titel: Antworten mit Zitat
Duncan hat Folgendes geschrieben:

Die von mir beschriebene Methode ist genau für alle x-Werte!

Garantiert nicht. Genügend weit weg von 0 wird sie natürlich ungenau (und das ist gar nicht so weit weg von 0)... sehr ungenau sogar, ein endliches Polynom divergiert gegen +- Unendlich für sehr grosse/kleine x, cos(x)^2 ist beschränkt.
Duncan
Gast
Beitrag Duncan Verfasst am: 17. Okt 2015 18:19    Titel: Antworten mit Zitat
@jh8979 und ML,
ihr habt Recht. Da habe ich wohl falsch gedacht!
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