Bewegungsgleichung für Schallwelle integrieren

MatzeM · Anmeldungsdatum: 13.07.2022 Beiträge: 22

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe ein Problem mit einer Formulierung aus dem Buch:
Bergmann, Schaefer (2008): Lehrbuch der Experimentalphysik. Band1. Mechanik, Akustik, Wärme, 12. Auflage.
Ab Seite 572 werdem Messgrößen des Schallfeldes erklärt:
Die Auslenkung eines Teilchens:

Es folgt die Geschwindigkeit des Teilchens durch Ableiten von

nach der Zeit, dann wird die Newtonsche Bewegungsgleichung gezeigt:

(dp/dx ist das Druckgefälle in x-Richtung)
Jetzt wird festgestellt, dass man die Geschwindigkeit des Teilchens nochmals differenzieren und dann mit der Dichte rho multiplizieren kann, dann kann man das für die linke Seite der Bewegungsgleichung einsetzen.
Integriert man nun nach x, erhält man

, wobei p_L der konstante Umgebungsdruck ist.

Nun kommt meine eigentliche Frage:
Auf Seite 575 heißt es, wegen der Adiabatengleichung

kann die Dichte nicht als konstant genommen werden, wenn der Luftdruck sich ändert, deswegen muss man streng genommen die Integration anders ausführen.
Man erhalte dann statt obiger Gleichung das Resultat, das ich nicht im geringsten verstehe:

rho_E ist die Energiedichte, die wurde inzwischen definiert als

und

Delta P ist p - p_L und es wird die Abkürzung verwendet

Meine Ideen:
Ich hätte einfach partielle Integration genommen für etwas wie

, aber das führt halt nicht auf einen cos^2...

Viele Grüße