Integrieren der Bewegungsgleichung

L_Kema · Anmeldungsdatum: 30.01.2014 Beiträge: 6

Meine Frage:
Im Demtröder ist folgendes Beispiel zu finden:
Ein Güterzug fährt mit der Geschwindigkeit v in horizontaler x-Richtung. Er wird von einer feststehenden Ladevorrichtung aus von oben kontinuierlich mit Sand beladen, so dass sein Massenzustand dm/dt= A zeitlich konstant ist. Wenn wir die Reibung vernachlässigen, wirkt die Gesamtkraft Null auf den Zug. Die Bewegungsgleichung lautet dann

(1)
mit m = mo+ A*t Integration liefert:

(2)

Meine Ideen:
Die Herleitung der (1) ist mir soweit klar.
Jedoch bekomm ich auch nach etlichen Versuchen nicht die Integration der Geleichung hin, sodass dort ln(..) steht. Mir ist klar, dass 1/x aufgeleitet ln(x) ergibt.

planck1858 · Anmeldungsdatum: 06.09.2008 Beiträge: 4542 Wohnort: Nrw

Hi,

du kannst hier die Seperation (Trennung der Variablen) anwenden.

L_Kema · Anmeldungsdatum: 30.01.2014 Beiträge: 6

Okey heißt dass also, dass ich nun v auf eine Seite bringen muss und dv auf die andere und dann auf beiden Seiten integrieren muss?
oder ne ich seh gerade dass da was mit Differentialgleichungen zu tun hat.
Was muss ich genau tun?
Wir hatten DGls noch nicht in HM und dementsprechend tue ich mich damit noch schwer.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Du hast

Das ist jetzt meine persönliche Präferenz, ich arbeite lieber mit unbestimmten Integralen und setze die Anfangswerte lieber zum Schluss ein. Das spielt aber keine Rolle. Den Term auf der rechten Seite integrierst du entweder intuitiv oder aber, wenn du sicher gehen willst, mit einer Substitution, also du substituierst

, dann sollte

herauskommen, was du dann wieder zurück substituieren kannst.

EDIT: Sorry, ich war davon ausgegangen, dass es um die technische Seite geht. Hattet ihr noch gar nichts mit Differentialgleichungen?

L_Kema · Anmeldungsdatum: 30.01.2014 Beiträge: 6

Okey danke , wirklich sehr hilftreich.
Aber noch eine Frage, wie komme ich z.b. auf der rechten Seite auf dass v0 unter dem Bruch?
Ich integriere ja auf und erhalte damit:

richtig?
Ich schätze mal dass dann das v0 entweder durch meine untere Grenze reinkommt oder eben durch berechnen von der Konstante c die ich ja beim Aufintegrieren berücksichtigen muss?

Nein wir hatten noch gar nichts mit Differentialgleichungen in HM , nur in Experimentalphysik ist dies natürlich schon Voraussetzung;)

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Die Begründung, dass das mit dem Variablentrennen überhaupt funktioniert, ist die Substitutionsregel. Die gibt es auch für bestimmte Integrale und so kannst du natürlich gleich beim Integrieren die Anfangsbedingungen berücksichtigen. Du kannst aber auch eine Integrationskonstante hinschreiben und dann das Anfangswertproblem lösen, in beiden Fällen sollte idealerweise das selbe herauskommen.

Wenn ihr in Exp schon darüber gesprochen habt, reicht das doch. Ich weiß auch praktisch nichts über Differentialgleichungen (nichts ist vielleicht untertrieben, aber auf jeden Fall viel zu wenig, um ein gutes Gewissen dabei zu haben). Wir haben auch lediglich in Theo mal darüber gesprochen, dass es so was wie den Satz von Picard-Lindelöf gibt und es wurde in Analysis mal erwähnt, dass das etwas ist, wofür Lipschitz-Stetigkeit "gut ist". Du musst aber nichts über Differentialgleichungen wissen, um sie lösen zu können (außer vielleicht, dass die Ordnung der DGL die Anzahl der freien Konstanten festlegt). Aber falls du eine Anleitung zum Rechnen suchst, empfehle ich das hier: http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=525 Zumindest, was dort unter "Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung" steht, solltest du können.

PS: Beachte, dass

ist.

L_Kema · Anmeldungsdatum: 30.01.2014 Beiträge: 6

Vielen vielen Dank, habs jetzt soweit erstmal verstanden und hinbekommen. Hat jetzt schlussendlich dann auch mit beiden Methoden funktioniert, zum Glück..

auch Danke für den Seitenhinweis werd ich mir bald mal noch en bisschen genauer anschauen.