Ausrichtung zweier Räume definieren

seeker_2308 · Gast

Für ein Modell gültig im euklidischen Raum sollen zwei flache, sich überlagennde Raumtypen A^n und B^n verwendet werden, die im beschriebenen Raumabschnitt orthogonal zueinaner stehen und besagten Raumabschnitt bilden.

Wie beschreibt man dies mathematisch, kann man einem Raum überhaupt eine Orientierung oder Ausrichtung zu einem anderen geben ?

Danke für Hilfestellung
seeker

Duncan · Gast

Was ist ein "Raumtyp" ?
Was ist ein "flacher" Raum ?

Gehört die Frage nicht ins Matheforum ?

seeker_2208 · Gast

Ein Beispiel für jeweils einen eindimensionalen Raum A^1 und B^1
wären x- und y-Koordinaten, die ein flaches Koordinatensystem im R^2 beschreiben. Benötige dies für beliebige n.

Wie beschreibt man dies mathematisch, kann man einem physikalischen Raum überhaupt eine Orientierung oder Ausrichtung zu einem anderen geben ? Brauche dies bitte in formal korrekter Schreibweise um eine Idee zu formulieren, a la "gegeben seien zwei Räume A^n und B^n die orthogonal zueinenader ausgerichtet sind u.s.w. ..."

flach im Sinne von ungekrümmt.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Ich bin mir nicht sicher, ob Du weißt, wovon Du sprichst...

Der R², aufgefaßt als euklidischer Raum und somit auch als Riemannsche Mannigfaltigkeit, ist ungekrümmt/flach. Ein Koordinatensystem (= eine Karte) als flach oder gekrümmt zu bezeichnen, ist nicht sehr sinnvoll: Für eine m-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit

kann man für jede Karte

einen isometrischen Diffeomorphismus

zum Kartengebiet

herstellen, wenn für dieses die Metrik

(* bezeichnet das Urbild/pull-back) verwendet wird. Das Kartengebiet als Teilmenge des

ist dann sozusagen ebenfalls gekrümmt.

Ich deute jetzt einfach mal "ein physikalischer Raum"=Riemannsche Mannigfaltigkeit. Das ist eigentlich eine ganz sinnvolle Abstraktion. Dann bin ich nicht sicher, was Du mit "Orientierung" meinst – anscheinend nicht das, was man üblicherweise unter Orientierung versteht: die Angabe einer Volumenform (oder äquivalente Definitionen). Du kannst natürlich für zwei Untermannigfaltigkeiten einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, die sich in einem oder mehreren Punkten schneiden, definieren, daß sie senkrecht aufeinander stehen, wenn das für alle Tangentialvektoren an den jeweiligen Punkten gilt. Weniger klar ist allerdings, was Du meinst, daß zwei solche "Räume" den Raum "bilden". Für euklidische Räume wäre wohl die direkte Summe das, was Du suchst. Als Idee:

eindimensionale Untermannigfaltigkeiten von

,

via

isometrisch diffeomorph zu

(Produktmannigfaltigkeit mit induzierter Metrik), wobei

die Bedingung

(Schreibweise formal nicht 100%ig korrekt, wird aber sicher verstanden; eigentlich müßte man

betrachten) erfüllt und

gilt.

Nur: Wenn

beide diffeomorph zu

sind (muß nicht sein, könnte genauso gut diffeomorph zu

sein oder auch mehrere Zusammenhangskomponenten haben), dann folgt daraus, daß

flach ist. Mit anderen Worten: Die Bedingung ist ziemlich stark!

Möglicherweise ist das, was Du suchst, einfach ein "moving frame"/bewegliches n-Bein.

Möglicherweise suchst Du auch einfach ein Hauptfaserbündel...

[Ich weiß ja auch nicht, was genau Du damit vorhast; bevor Du einen riesigen Formalismus auffährst, ist es vielleicht sogar besser, ein Bildchen zu malen, wenn die exakte Formulierung nicht gerade unheimlich wichtig ist]

seeker_2208 · Gast

Danke Jayk für Deinen ausführlichen Post. Da hängst Du mich aber ganz schön ab (sic) ..

Ich versuche es mal mit bildlicher Sprache.

Stelle Dir eine D2-Bran (Rechteck A) mit fester Kantenlänge vor und somit gegebener Fläche begrenzt durch die Achsen x und y. Die Fläche ist polarisiert (finde kein besseres Wort) in dem Sinne, als daß das Rechteck lauter Geraden parallel zur x Achse hat.

Jetzt nehme ich ein zweites Rechteck B, mit derselben Kantenlänge, welches allerdings lauter Geraden parallel zur y Achse hat und lege es deckungsgenau auf das erster Rechteck A.

Gegeben ist also ein Rechteck, welches aus 2 "Layern" gebildet wird, eins x-polarisiert, eins y-polarisiert. Generell möchte ich beschreiben/untersuchen, was sich auf dem einen Layer A tut, wenn sich auf dem Layer B etwas ändert (die Regeln muß ich noch festlegen, das ist aber nicht Gegenstand dieses Posts, dazu brauche ich aber vorher die Definition dieses "Raums".). Das war die Beschreibung in 2 Dimensionen.

Nutzen möchte ich das ganze für einen D3 Würfel, also einen R^3, der sich aus zwei deckungsgleichen Würfeln bildet, wobei Würfel A nach x und Würfel B nach y polarisiert ist.

Wenn nicht klar sein sollte, was ich meine, bitte nochmal rückfragen, Danke

seeker

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18185

Nachdem du deine Konventionen bzw. Nomenklaturen nicht definierst, wird es schwierig, dir zu antworten.

Was bedeutet "Raum"? Vektorraum?
Was bedeutet "überlagernd"
Was sind "Raumtypen"?
Was sind "Raumabschnitte"?
Was bedeuten "Orientierung" und "Ausrichtung"? (Orientierung kenne ich für Basisysteme; Mannigfaltigkeiten sind "orientierbar")

Ein Versuch:

Betrachten wir einen einbettenden, euklidschen Raum E der Dimension N sowie zwei eingebette, flache Untermannigfaltigkeiten A und B jeweils kleinerer Dimension N_A, N_B. Dann definieren wir Untermannigfaltigkeiten mittels linear unabhängiger Vektoren {a_n} und einer Parameterdarstellung

Für B analog:

Dies sind noch nicht zwingend Vektorräume, denn diese müssen jeweils einen Nullvektor enthalten. Dies stellt man sicher, in dem man

setzt (sowie die Vektorsysteme geeignet wählt)

Im nächsten Schritt berechnest du den Durchschnitt

Bei vorgegeben Vektoren {a_n} und {b_n} ist dies ein lineares Gleichungssystem für die Parameter alpha_n und beta_n. Falls eine Lösung existiert, d.h. falls der Durchschnitt nicht leer ist, wird dadurch ein Unterraum definiert.

Für die Dimensionen gilt folgendes:

Zuletzt noch die Orthogonalität der beiden Unterräume:

seeker_2208 · Gast

Danke Dir, das kommt der Sache schon recht nahe. Was bedeutet der Operator in der letzten Gleichung, der kleine Kreis ?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18185

der steht für das Skalarprodukt der beiden Vektoren;

diese enthalten in ihrer Parameterdarstellung den Ursprung (da Vektorrraum); d.h. man kann die Unterräume A und B jeweils als Scharen von Vektoren darstellen, die vom (gemeinsamen) Ursprung ausgehen

die Gleichung bedeutet, dass ein beliebiger Vektor aus A und ein beliebiger Vektor aus B senkrecht aufeinander stehen; wenn dies gilt, dann stehen beide Räume A und B aufeinander senkrecht.

Natürlich kann man dies auch mittels einer geeigneten Basis direkt per Konstruktion erreichen. Wir setzen zuerst die Basis für A an

Dann setzen wir wir eine Basis für B an, so dass alle Basisvektoren senkrecht zu denen von A sind. D.h.

Damit kann man kurz schreiben

Eine Basis des einbettenden Raumes E erfordert eine weitere (orthogonale) Ergänzung nach der selben Regel.

Irgendetwas ist aber mit deinen Annahmen nicht in Ordnung. Wenn beide Räume A und B vollständig orthogonal zueinander sind, dann ist der Durchschnitt beider Räume der Nullvektor. Das kannst du dir auch mit der Dimensionsformel überlegen.

seeker_2308 · Gast

Danke Dir, ich werde mir das nochmal genau ansehen. Bin etwas irritiert, weil Dein Post jeden Tag wo ich reinschaue, etwas anders aussieht, ich denke da hast Du nachgearbeitet ?

Thx !