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Nachricht |
Andy G.
Anmeldungsdatum: 20.10.2014
Beiträge: 1
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 Andy G. Verfasst am: 20. Okt 2014 16:56 Titel: Grenzfrequenz berechnen |
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Meine Frage:
Hallo, ich habe Folgende Übertragungsfunktion und möchte dir Grenzfrequenz berechnen.
=- \frac{R1}{R2} *\frac{1}{1+jwcR2} )
Meine Ideen:
Meine Rechnung
^2} }
<br />
\sqrt{2} = \frac{R2}{R1} *\sqrt{1+(wcR2)^2}
<br />
2 = \sqrt{\frac{R2}{R1}} *(1+(wcR2)^2)
<br />
\frac{2}{\sqrt{\frac{R2}{R1}}} = (1+wcR2)^2
<br />
(\frac{2}{\sqrt{\frac{R2}{R1}}})^2 = 1+wcR2
<br />
\frac{4}{\frac{R2}{R1}} -1 = wcR2
<br />
\frac{\frac{4}{\frac{R2}{R1}} -1}{cR2} = w
<br />
)
Ist der Rechenweg und das Ergebnis korrekt?
Die Grenzfrequenz ist die Frequenz, wenn der imaginäre und reele Widerstand gleichgroß sind, also der Winkel zwischen beiden 45 Grad beträgt. Die Leistung nimmt zu 50% ab und damit diese so abnimmt muss sich die Spannung um 1 durch Wurzel 2 vermindern.
Soweit erinnere ich mich noch aus der Vorlesung.
Danke
Andy |
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7260
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| Steffen Bühler Verfasst am: 20. Okt 2014 17:23 Titel: |
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Herzlich willkommen im Physikerboard!
Dein Ansatz ist ungewöhnlich, aber er sollte funktionieren. Allerdings machst Du zweimal den Fehler, auf der einen Seite zu quadrieren und gleichzeitig auf der anderen Seite die Wurzel zu ziehen.
Schneller und üblicher geht es, wenn Du zunächst konjugiert komplex erweiterst, um den Nenner reell zu bekommen. Dann kannst Du beim Zähler Real- und Imaginärteil gleichsetzen und nach w auflösen.
Viele Grüße
Steffen |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 20. Okt 2014 17:58 Titel: Re: Grenzfreguenz berechnen |
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@Andy G.
Abgesehen davon, dass ich die Richtigkeit Deiner Übertragungsfunktion anzweifele, stecken in Deiner Rechung Fehler über Fehler.
| Andy G. hat Folgendes geschrieben: |
^2} }
<br />
\sqrt{2} = \frac{R2}{R1} *\sqrt{1+(wcR2)^2}
<br />
2 = \sqrt{\frac{R2}{R1}} *(1+(wcR2)^2)
<br />
) |
Hier hast Du offenbar beide Seiten der Gleichung quadrieren wollen und hast das mit der linken Seite und dem Wurzelausdruck auf der rechten Seite auch getan. Aus dem Bruch hast du aber plötzlich die Wurzel gezogen anstatt ihn zu quadrieren.
| Zitat: |
^2
<br />
) |
Hier ist ein weiterer Fehler. In der vorausgegangenen Zeile wurde wCR2 quadriert, jetzt wird plötzlich (1+wCR2) quadriert. Wie kommt das? Welche mathematischen Regeln wendest Du an?
| Zitat: |
^2 = 1+wcR2
<br />
) |
Und hier quadrierst Du die linke Seite und ziehst auf der rechten die Wurzel. Warum? Eine Gleichung bleibt nur dann eine Gleichung, wenn man auf beiden Seiten dieselben Rechenopertaionen durchführt.
| Zitat: |
...
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Kein Wunder, dass da nur Schrott rauskommt. |
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Andy G
Gast
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| Andy G Verfasst am: 20. Okt 2014 18:29 Titel: |
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Hallo, danke dass Ihr mal drüber geschaut habt.
 Bei den Fehlern habt Ihr Recht. Weiß auch nicht was da über mich gekommen ist. So ist es halt, wenn man nicht nachdenk und die Aufgabe schnell macht 
Daher nochmal die korrigierte Version:
^2} }
<br />
Sortieren:
<br />
\sqrt{2} = \frac{R2}{R1} *\sqrt{1+(wcR2)^2}
<br />
Quadrieren:
<br />
2 = (\frac{R2}{R1})^2 *(1+(wcR2)^2)
<br />
Durch(R2/R2)^2
<br />
\frac{2}{(\frac{R2}{R1})^2} = 1+(wcR2)^2
<br />
Wurzel ziehen:
<br />
\frac{\sqrt{2}}{\frac{R2}{R1}} = 1+wcR2
<br />
Sortieren:
<br />
\frac{\sqrt{2}*R1}{R2} = 1+wcR2
<br />
Minus 1
<br />
\frac{\sqrt{2}*R1}{R2}-1 = wcR2
<br />
Durch R2 und c
<br />
\frac{\frac{\sqrt{2}*R1}{R2}-1}{cR2} = w
<br />
)
Ist die Rechnung jetzt so korrekt? |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 20. Okt 2014 18:37 Titel: |
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| Andy G hat Folgendes geschrieben: | ...
^2} = 1+(wcR2)^2
<br />
Wurzel ziehen:
<br />
\frac{\sqrt{2}}{\frac{R2}{R1}} = 1+wcR2
<br />
)
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Hier machst Du denselben Fehler wie zuvor auch schon an derselben Stelle. |
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Andy G
Gast
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| Andy G Verfasst am: 20. Okt 2014 18:55 Titel: |
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Ich sollte mir vllt nochmal die Wurzelgesetze angucken, denn
^2} \neq \sqrt{1}+\sqrt{(wcR2)^2})
^2} }
<br />
Sortieren:
<br />
\sqrt{2} = \frac{R2}{R1} *\sqrt{1+(wcR2)^2}
<br />
Quadrieren:
<br />
2 = (\frac{R2}{R1})^2 *(1+(wcR2)^2)
<br />
Durch(R2/R2)^2
<br />
\frac{2}{(\frac{R2}{R1})^2} = 1+(wcR2)^2
<br />
Minus 1
<br />
\frac{2}{(\frac{R2}{R1})^2}-1 = (wcR2)^2
<br />
Wurzel ziehen
<br />
\sqrt{\frac{2}{(\frac{R2}{R1})^2}-1} = wcR2
<br />
Durch cR2
<br />
\frac{\sqrt{\frac{2}{(\frac{R2}{R1})^2}-1} }{cR2} = w
<br />
)
So jetzt sollte es stimmen. |
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Andy G
Gast
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| Andy G Verfasst am: 20. Okt 2014 19:23 Titel: |
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@ Steffen Bühler
Zu deinem Ansatz hab ich noch eine Frage:
Wenn ich komplex konjungiert erweitere komm ich auf folgendes:
=-\frac{R2}{R1} * \frac{1-jwcR2}{1+(wcR2)^2}
<br />
)
Danach kann ich ganz einfach Re{G(jw)} = Im{H(jw)} machen?
Also sprich:
=- \frac{R2-jwcR2^2}{R1(1+(wcR2)^2)}
<br />
-\frac{R2}{R1*(1+(wcR2)^2)})= \frac{wcR2^2}{{R1*(1+(wcR2)^2)}}
<br />
)
Das sieht aber auf den ersten Blick etwas komplexer aus. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 20. Okt 2014 20:02 Titel: |
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| Andy G hat Folgendes geschrieben: | | Das sieht aber auf den ersten Blick etwas komplexer aus. |
Nein, das sieht sehr viel einfacher aus (wenn auch das Minuszeichen da nichts zu suchen hat). Denn der Nenner kürzt sich auf beiden Seiten raus.
Der grundsäztliche Fehler in Deinem Ansatz ist Dein falsches Verständnis der Definition der Grenzfrequenz. Die Grenzfrequenz ist diejenige Frequenz, bei der die an einen rein ohmschen Widerstand abgebene Leistung gleich der halben Maximalleistung ist. Denk mal darüber nach, was das in Deinem Beispiel bedeutet.
Und dann erläutere mal, wieso in Deiner Übertragungsfunktion ein Minuszeichen auftaucht. Handelt es sich um eine OpAmp-Schaltung? |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 21. Okt 2014 00:14 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: |
Der grundsäztliche Fehler in Deinem Ansatz ist Dein falsches Verständnis der Definition der Grenzfrequenz. |
Das sehe ich auch so. Bei Verstärkern mit Tiefpassverhalten ist die Grenzfrequenz normalerweise jene Frequenz, bei der der Betrag der Verstärkung auf das 1/wurzel(2) fache des Werts bei f=0 gesunken ist.
Muss es evtl. heißen
=- \frac{R1}{R2} *\frac{1}{1+jwcR1} )
statt
??
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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Andy G
Gast
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| Andy G Verfasst am: 21. Okt 2014 08:58 Titel: |
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So jetzt bin ich verwirrt. Wie ich gelernt habe, ist die Grenzfrequenz jene Frequenz, in der der komplexe Widerstand genauso groß wie der Reale-Widerstand ist. Oder aber die Ausgangsspannung um das 1/Wurzel(2) fache der Eingangsspannung abgefallen ist.
Die von mir untersuchte Schaltung ist ein Aktiver Tiefpass und die Übertragungsfunktion lautet:
 = \frac{R2}{R1}*\frac{1}{1+jwcR2}
<br />
)
Denn Ansatz, der von mir gewählt wurde, hab ich aus einem Buch entnommen. Schien mir eigentlich auch plausibel, weil ja die Übertragungsfunktion Ua/Ue ist. Daher:
| = \frac{1}{\sqrt{2} }
<br />
|\frac{Ua}{Ue}| = \frac{1}{\sqrt{2} }
<br />
\frac{R2}{R1}*\frac{1}{1+jwcR2} = \frac{1}{\sqrt{2} }
<br />
)
Das würde je bedeuten, dass die Verstärkung auf das 1/Wurzel(2) fache absinkt.
Aber der Ansatz den realen- und imaginären Widerstand gleichzusetzen scheint mir doch etwas einfacher. |
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7260
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| Steffen Bühler Verfasst am: 21. Okt 2014 09:24 Titel: |
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| Andy G hat Folgendes geschrieben: | | So jetzt bin ich verwirrt. |
Brauchst Du nicht zu sein, Dein Ansatz stimmt, wie gesagt.
| Andy G hat Folgendes geschrieben: | | Aber der Ansatz den realen- und imaginären Widerstand gleichzusetzen scheint mir doch etwas einfacher. |
Ja, wie GvC schon schrieb, läuft es ja aufs Auflösen von 1=wCR2 raus.
Kriegst Du hin, oder? 
Viele Grüße
Steffen |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 21. Okt 2014 10:52 Titel: |
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| Andy G hat Folgendes geschrieben: | | So jetzt bin ich verwirrt.?( Wie ich gelernt habe, ist die Grenzfrequenz jene Frequenz, in der der komplexe Widerstand genauso groß wie der Reale-Widerstand ist. Oder aber die Ausgangsspannung um das 1/Wurzel(2) fache der Eingangsspannung abgefallen ist. |
Das ist nur dann richtig, wenn der Betrag der maximalen Ausgangsspannung gleich dem der Eingangsspannung ist. Das ist in Deinem Beispiel nur der Fall, wenn R1=R2.
| Zitat: |
Die von mir untersuchte Schaltung ist ein Aktiver Tiefpass und die Übertragungsfunktion lautet:
|
Eben! Es ist ein aktiver Tiefpass. Und bei dem ist der Betrag der maximalen Ausgangsspannung nicht Ue, sondern Ue*R2/R1. Schau Dir noch einmal die von mir genannte Definition der Grenzfrequenz an. Ich habe ja nicht umsonst angeregt, Dir zu überlegen, welche Bedeutung diese Definition für Dein Beispiel hat.
| Zitat: |
Denn Ansatz, der von mir gewählt wurde, hab ich aus einem Buch entnommen. Schien mir eigentlich auch plausibel, weil ja die Übertragungsfunktion Ua/Ue ist. Daher:
| = \frac{1}{\sqrt{2} }
<br />
|\frac{Ua}{Ue}| = \frac{1}{\sqrt{2} }
<br />
) |
Das ist für den hier vorliegenden Fall, wie gesagt, falsch.
| Zitat: |
 |
Und das ist schon deshalb falsch, weil auf der linken Seite der Gleichung die Betragsstriche fehlen.
| Zitat: |
Das würde je bedeuten, dass die Verstärkung auf das 1/Wurzel(2) fache absinkt. |
Ja, das bedeutet aber nicht, dass die Ausgangsspannung auf den  -fachen Wert der maximalen Ausgangsspannung absinkt.
| Zitat: |
Aber der Ansatz den realen- und imaginären Widerstand gleichzusetzen scheint mir doch etwas einfacher. |
Das ist nicht nur einfacher, sondern der einzig richtige Weg, weil der von Dir eingeschlagene Weg einfach falsch ist. Ich verweise an dieser Stelle noch einmal auf die Definition der Grenzfrequenz, die dann vorliegt, wenn die abgebbare Leistung gleich der halben Maximalleistung ist. Das bedeutet wegen P~U², dass die Ausgangsspannung den -fachen Wert der maximalen Ausgangsspannung haben muss. |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 21. Okt 2014 17:52 Titel: |
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| Andy G hat Folgendes geschrieben: |
Das würde je bedeuten, dass die Verstärkung auf das 1/Wurzel(2) fache absinkt. |
Angenommen R1=10k, R2=1k
Dann ist der maximal mögliche Verstärkungsbetrag Amax = R2/R1 = 0,1.
Wie willst du dann eine Frequenz bestimmen, wo A=0,707 ?
Deine Definition der Grenzfrequenz ist schlichtweg falsch.
Das haben schon alle hier gesagt und du glaubst es immer noch nicht....
http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzfrequenz#Verst.C3.A4rker
Dort steht:
Die Grenzfrequenz eines Verstärkers ist in üblicher Konvention jene Frequenz, bei der die Spannungs- bzw. Stromverstärkung auf den  -fachen Wert der maximalen Verstärkung abgesunken ist (rund 70,7 %).
_________________
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