div und rot

Stef12 · Gast

Meine Frage:
Hallo zusammen,

Gegeben sei ein Vektorfeld A und ein Volumen, z.B. eine Kugel.
sind dann folgende Aussagen richtig?
1. div(A)=0 auf der Kugeloberfläche => normale Komponente von A, A_n=const auf der Kugeloberfläche.
2. rot(A)=0 auf der Kugeloberfläche=> tangentiale Komponente von A, A_t=const. auf der Kugeloberfläche.
Wenn ja, warum?
Wenn möglich bitte noch mit Quellenangabe, da ich keine weitere Literatur dazu finde.

Viele Grüße,
Stefan

Meine Ideen:
Folgt 1. aus dem Satz von Gauß und 2. aus dem Satz von Stokes?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8584

Beide Aussagen sind falsch, wie man sich leicht durch einfache Gegenbeispiele überlegen kann.

Nobundo · Anmeldungsdatum: 12.03.2014 Beiträge: 168

Das Vektorfeld

erfüllt div(A)=0 als auch rot(A)=0 und weder Normal- noch Tangentialkomponente an eine Sphäre sind konstant, wie man direkt sieht.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Dass die Aussagen falsch sind, ist sogar recht plausibel:

Gegenbeispiel zu 1.: Man platziere irgendwo, nicht in der Mitte, im Volumen eine Punktladung. Dann ist

, aber die Feldstärke ist nicht überall konstant (auch nicht ihre Normalkomponente).

Gegenbeispiel zu 2.: Man schließe eine stromdurchflossene Leiterschleife im Volumen ein, wieder möglichst dezentral. Dann ist

, aber das Magnetfeld ist nicht konstant, auch nicht die Tangentialkomponente.