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kuddelmuddel
Anmeldungsdatum: 29.01.2014
Beiträge: 1
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 kuddelmuddel Verfasst am: 29. Jan 2014 12:47 Titel: Es gibt keine Unendlichkeit |
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Meine Frage:
Es gibt doch keine Unendlichkeit, oder?
Meine Ideen:
Nehmen wir an ein Mensch wird 100 Jahre alt, Dann hat er an seinem 50. Geburtstag, die Hälfte seines Lebens gelebt. Es gilt ja: 50/100 = 0,5.
Wenn man die 50 Jahre aber im Verhältnis zu Unendlich nimmt, dann würde ja 0 'rauskommen. Da ja gilt: 50/Unendlich = 0.
Aber da ja 50 nicht Nichts ist, kann es auch keine Unendlichkeit geben. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 29. Jan 2014 12:56 Titel: |
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Abgesehen davon, dass man nicht einfach durch Unendlich teilen kann:
50/100=0.5. Hier gilt dann ja auch: 0.5 ist nicht 50 also gib es keine 100. |
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PhyMaLehrer
Anmeldungsdatum: 17.10.2010
Beiträge: 1085
Wohnort: Leipzig
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| PhyMaLehrer Verfasst am: 29. Jan 2014 14:55 Titel: |
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50 Jahre sind aber eben ein unendlich kleiner Teil der Unendlichkeit... 
Die natürlichen Zahlen von 0 bis 50 sind ja auch nur ein unendlich kleiner Teil aller natürlichen Zahlen!
Am Ende der Welt steht ein Berg, der ist eine Meile lang, eine Meile breit und eine Meile hoch und besteht ganz aus Diamant. Alle 1000 Jahre kommt ein Kolibri geflogen und wetzt einmal seinen Schnabel an dem Berg.
Wenn der Berg dereinst abgewetzt sein wird, dann ist eine Sekunde der Ewigkeit vergangen... |
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
Beiträge: 402
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| stereo Verfasst am: 29. Jan 2014 16:00 Titel: Re: Es gibt keine Unendlichkeit |
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| kuddelmuddel hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Es gibt doch keine Unendlichkeit, oder?
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Versuch doch mal alle natürlichen Zahlen zu zählen und sag mir wann du fertig bist. Dann wirst du wissen, dass es sehr wohl Unendlichkeit gibt. |
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Namenloser324
Gast
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| Namenloser324 Verfasst am: 29. Jan 2014 16:33 Titel: |
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@stereo
kommt drauf an, wie er "es gibt" versteht. Real existieren nur endlich viele Dinge (z.B. Atome).
In jeder Sekunde müssten eigentlich unendlich viele "Zeitpunkte" durchlaufen werden oder die Zeit ist diskret, das würde diesen Fall vermeiden. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 29. Jan 2014 18:39 Titel: |
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| PhyMaLehrer hat Folgendes geschrieben: | | 50 Jahre sind aber eben ein unendlich kleiner Teil der Unendlichkeit... [/i] |
Selbst die Unendlichkeit kann ein unendlich kleiner Teil der Unendlichkeit sein. |
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positive
Anmeldungsdatum: 06.12.2013
Beiträge: 494
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| positive Verfasst am: 02. Feb 2014 22:05 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | PhyMaLehrer hat Folgendes geschrieben: | | 50 Jahre sind aber eben ein unendlich kleiner Teil der Unendlichkeit... [/i] |
Selbst die Unendlichkeit kann ein unendlich kleiner Teil der Unendlichkeit sein. |
Nein, nach ZFC geht das nicht, denn es handelt sich um 2 gleiche Mengen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18115
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| TomS Verfasst am: 02. Feb 2014 22:15 Titel: |
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Nein, denn (im Rahmen von ZFC) ist z.B.
D.h. die Mächtigkeit der reellen Zahlen ist echt größer als die der rationalen Zahlen. Es existiert gemäß dem Cantorschen Diagonalelement keine Bijektion zwischen diesen Mengen.
Und insofern sind die Mengen bzw. deren Mächtigkeiten verschieden.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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positive
Anmeldungsdatum: 06.12.2013
Beiträge: 494
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| positive Verfasst am: 03. Feb 2014 00:25 Titel: |
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Nein, die Aussage, um die es hier geht, hat nichts mit R oder Q zu tun. Die Unendlichkeit ist weder ein R noch ein Q. Insofern sind es 2 gleiche Mengen. |
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Hopf(en)
Anmeldungsdatum: 30.01.2014
Beiträge: 41
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| Hopf(en) Verfasst am: 03. Feb 2014 00:30 Titel: |
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Ich gebe da TomS recht. Unendlichkeit ist nur eine Mächtigkeit von Mengen. Es gibt auch bei der Unendlichkeit Unterschiede. |
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positive
Anmeldungsdatum: 06.12.2013
Beiträge: 494
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| positive Verfasst am: 03. Feb 2014 00:41 Titel: |
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Das hat nichts mit der Unendlichkeit zu tun, sondern mit Zahlenmengen. Die Unendlichkeit ist in dem Fall unbestimmt. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18115
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| TomS Verfasst am: 03. Feb 2014 06:42 Titel: |
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| positive hat Folgendes geschrieben: | | Nein, die Aussage, um die es hier geht, hat nichts mit R oder Q zu tun. Die Unendlichkeit ist weder ein R noch ein Q. Insofern sind es 2 gleiche Mengen. |
Dann lies bitte nach, was Cantor über unendliche Mengen wie N, Q, R, ... und deren Mächtigkeiten (= Verallgemeinerung des Begriffs der "Anzahl" der Elemente für eine unendlichen Menge) bewiesen hat.
Was wäre denn die Unendlichkeit deiner Meinung nach?
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positive
Anmeldungsdatum: 06.12.2013
Beiträge: 494
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| positive Verfasst am: 03. Feb 2014 10:52 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Dann lies bitte nach, was Cantor über unendliche Mengen wie N, Q, R, ... und deren Mächtigkeiten (= Verallgemeinerung des Begriffs der "Anzahl" der Elemente für eine unendlichen Menge) bewiesen hat.
Was wäre denn die Unendlichkeit deiner Meinung nach? |
Liest nochmal, um was es eigentlich geht. Es geht um eine unpräzise Aussage Die Unendlichkeit ist unbestimmt, es ist nicht gesagt worden, dass es sich dabei um R und Q handelt. Es ist sinnlos mit dir weiter zu diskutieren, du liest ja nicht was ich schreibe. |
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Hopf(en)
Anmeldungsdatum: 30.01.2014
Beiträge: 41
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| Hopf(en) Verfasst am: 03. Feb 2014 16:20 Titel: |
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Es geht doch gar nicht speziell um R oder Q. Wenn man Unendlichkeit als "Unendlich viele Dinge" oder auch "Unendlich viel Zeit" definiert, so gibt es auch dort noch Unterschiede in der Unendlichkeit. |
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Namenloser324
Gast
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| Namenloser324 Verfasst am: 03. Feb 2014 16:42 Titel: |
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| positive hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | Dann lies bitte nach, was Cantor über unendliche Mengen wie N, Q, R, ... und deren Mächtigkeiten (= Verallgemeinerung des Begriffs der "Anzahl" der Elemente für eine unendlichen Menge) bewiesen hat.
Was wäre denn die Unendlichkeit deiner Meinung nach? |
Liest nochmal, um was es eigentlich geht. Es geht um eine unpräzise Aussage Die Unendlichkeit ist unbestimmt, es ist nicht gesagt worden, dass es sich dabei um R und Q handelt. Es ist sinnlos mit dir weiter zu diskutieren, du liest ja nicht was ich schreibe. |
Du verpasst es überhaupt zu definieren, was du mit "Die Unendlichkeit" meinst, völlig unklar.
Auf dieser Basis ist es in der Tat sinnlos weiter zu diskutieren, da man lediglich Worthülsen ohne Substanz verwendet. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18115
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| TomS Verfasst am: 03. Feb 2014 22:17 Titel: |
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| positive hat Folgendes geschrieben: | | es ist nicht gesagt worden, dass es sich dabei um R und Q handelt. |
Aus der Frage im ersten Beitrag kann man ableiten, dass es sich nur um N, Q oder R handeln kann (um was sonst?) - und dafür haben wir exakte Aussagen.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18115
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| TomS Verfasst am: 04. Feb 2014 10:08 Titel: |
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| Hopf(en) hat Folgendes geschrieben: | | Wenn man Unendlichkeit als "Unendlich viele Dinge" oder auch "Unendlich viel Zeit" definiert, so gibt es auch dort noch Unterschiede in der Unendlichkeit. |
Und wie willst du diese Unterschiede diskutieren, wenn du sie nicht mathematisch exakt definieren kannst?
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Hopf(en)
Anmeldungsdatum: 30.01.2014
Beiträge: 41
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| Hopf(en) Verfasst am: 04. Feb 2014 15:33 Titel: |
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Ich hätte im Hinterkopf immer die mathematische Bedeutung ^^ |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18115
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| TomS Verfasst am: 04. Feb 2014 15:41 Titel: |
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schon, aber dazu musst du doch konkret definieren, über was du redest
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 04. Feb 2014 18:46 Titel: |
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| Hopf(en) hat Folgendes geschrieben: | | Ich hätte im Hinterkopf immer die mathematische Bedeutung ^^ |
 hat auch in der Mathematik unterschiedliche Bedeutungen. Abgesehen von der Bedeutung als Mächtigkeit von Mengen (abzählbar = es gibt eine Bijektion zwischen den natürlichen Zahlen auf die Menge, überabzählbar = es gibt keine surjektive Abbildung von den natürlichen Zahlen auf die Menge, endlich = es gibt eine surjektive, aber nicht injektive Abbildung von den natürlichen Zahlen auf diese Menge [EDIT: Die Aussage ist so natürlich falsch, es müsste heißen "es gibt eine surjektive, aber KEINE injektive ..."]) kann man auch noch die erweiterte reelle Zahlengerade  definieren, die mit einer bestimmten Metrik ein kompakter metrischer Raum wird (was die Schreibweise als Abschluss rechtfertigt), wobei man dann bestimmte Divergenz auf Konvergenz gegen  zurückführen kann:  < \epsilon) (interessant ist dabei, dass die beiden Unendlichkeitszeichen in dieser Formel gerade die beiden Bedeutungen von Unendlichkeit repräsentieren). Dann definiert man auch  , um mit Grenzwerten zu rechnen (dass diese Definition sinnvoll ist, folgt mit dem Satz von Archimedes). Das ist aber nur eine Notation, ) ist kein Körper.
Zuletzt bearbeitet von Jayk am 04. Feb 2014 22:31, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18115
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| TomS Verfasst am: 04. Feb 2014 19:11 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: | | ... kann man auch noch die erweiterte reelle Zahlengerade ... definieren, die mit einer bestimmten Metrik ein kompakter metrischer Raum wird |
Aber man ändert dadurch die Topologie und die Metrik, d.h. die "Unendlichkeit verschwindet" gewissermaßen.
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 04. Feb 2014 19:23 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Aber man ändert dadurch die Topologie und die Metrik, d.h. die "Unendlichkeit verschwindet" gewissermaßen. |
Schon klar, ich habe ja auch geschrieben, dass  kompakt ist. Für  mit der Standardmetrik gilt ja der Satz von Heine-Borel: Kompaktheit ist äquivalent mit Abgeschlossenheit und Beschränktheit. Ich wollte auch nur anmerken, dass das eine Bedeutung des Zeichens sein kann. Als ich den Thread das erste Mal gesehen habe, habe ich viel eher an den Grenzwert Unendlich als an unendliche Mengen gedacht. Ich denke, das entspricht eher der Intention des Fragestellers, denn dort wird ja mit einer Division argumentiert, was wohl nicht so sinnvoll ist, wenn man über die Mächtigkeit von Mengen (also über so etwas ähnliches wie natürliche Zahlen) redet. Wenn man die Durchführbarkeit (und Eindeutigkeit) einer Division als Argument verwendet, setzt das ja voraus, dass man in einem Körper arbeitet. Ich habe mal im Bronstein eine Bemerkung (sinngemäß) "Unendlich ist keine Zahl, sondern ein Grenzwertsymbol" gelesen. Das passt wohl ganz gut: Es ist ein Grenzwertsymbol (ein Element der erweiterten reellen Zahlengerade), aber keine Zahl (im Sinne von Element eines Körpers).
Aber das zeigt natürlich umso mehr, dass es wichtig ist, "Unendlichkeit" zu definieren. Bemerkungen wie "Die Unendlichkeit ist dann aber unbestimmt" finde ich nicht besonders sinnvoll, wohl dagegen "Es gibt keine natürliche Zahl, die die Mächtigkeit einer unendlichen Menge beschreibt" oder "Es gibt keine reelle Zahl, die folgende Eigenschaft hat". Was heißt "die Unendlichkeit"? "-keit" ist für mich etwas, das man an ein Adjektiv anhängt, in diesem Fall also der Zustand, dass etwas "unendlich" ist. Es gibt Folgen, die nicht beschränkt sind, und es gibt Mengen, die nicht endlich sind. Folglich gibt es in der Mathematik Unendlichkeit. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18115
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| TomS Verfasst am: 04. Feb 2014 20:34 Titel: |
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Volle Zustimmung.
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positive
Anmeldungsdatum: 06.12.2013
Beiträge: 494
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| positive Verfasst am: 05. Feb 2014 13:25 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | positive hat Folgendes geschrieben: | | es ist nicht gesagt worden, dass es sich dabei um R und Q handelt. |
Aus der Frage im ersten Beitrag kann man ableiten, dass es sich nur um N, Q oder R handeln kann (um was sonst?) - und dafür haben wir exakte Aussagen. |
Ich bezog mich aber auf die Aussage von DrStupid:
| Zitat: | | Selbst die Unendlichkeit kann ein unendlich kleiner Teil der Unendlichkeit sein. |
Die Unendlichkeit hier kann R und R auch sein, ist ja nicht definiert. Niemand sagte, dass R und Q gemeint sei. Deshalb ist sie unbestimmt. Sie ist weder mathematisch noch sonstwie. Einfach mal genauer lesen was ich schreibe. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 05. Feb 2014 15:06 Titel: |
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Also positive, du könntest wirklich mal sagen, wovon du sprichst. "Die Unendlichkeit ist unbestimmt". Grüne Flüxe sind auch unbestimmt. So ziemlich jeder Begriff, den man nicht definiert, ist unbestimmt. Die Frage ist aber nicht, ob es grüne Flüxe gibt, sondern, ob es Unendlichkeit gibt und im Gegensatz zu grünen Flüxen haben wir zwar einige leicht verschiedene Vorstellungen von Unendlichkeit, die aber alle in etwa in dieselbe Richtung gehen. Dennoch ist die Antwort, je nach dem, was gemeint ist, eine andere.
"Gibt es Kompliziertheit?" Diese Frage ist für mich gleichbedeutend mit "Gibt es Dinge, die als 'kompliziert' zu bezeichnen sind?" und die Antwort ist "Ja, zum Beispiel diese Diskussion". Was ist dann "die Kompliziertheit?" Für mich ist das der Zustand, kompliziert zu sein. Möglicherweise würde jemand anderes sagen "Für mich ist 'die Kompliziertheit' der Bestandteil dieser Diskussion, der maßgeblich dafür verantwortlich ist, dass sie kompliziert ist", zum Beispiel unentwegtes Aneinandervorbeireden, entstanden durch unpräzise Fragen und Antworten, die einander fördern. Wie bei einer Schneeballschlacht.
Jetzt könnte man argumentieren "Wie soll etwas definiert werden, das unbestimmt ist?" "Gibt es Dinge, die es nicht gibt?" Jedenfalls kann man Dinge beschreiben, obwohl es sie nicht gibt:  . Zunächst mal ist Mächtigkeit von Mengen nicht von vorn herein als natürliche Zahl definiert, sondern man sagt, zwei Mengen sind gleichmächtig, wenn es zwischen ihnen eine bijektive Abbildung gibt, usw. Man sagt, eine Menge M ist endlich, wenn es eine natürliche Zahl n gibt mit  und weist ihr dann die Mächtigkeit n zu. Man definiert dann aber auch andere Symbole, zum Beispiel  \vert = \vert \mathcal P ( \mathbb N ) \vert = 2^{\aleph_0}) , so kann ich zum Beispiel folgende Bijektion konstruieren:
 \to [0, 2 ) , \mathbb N \supset M \mapsto \sum_{m \in M} 2^{-m}) ,
womit die Schreibweise also  einen Sinn bekommen hat, obwohl es offensichtlich keine Rechnung mit natürlichen Zahlen ist.
Doch was heißt "es kann ein Q sein"? Was ist ein Q? Natürlich kann ich mit den Peano-Axiomen zwei Systeme der natürlichen Zahlen konstruieren, zwischen die ich kein Gleichheitszeichen setzen darf (weil ich etwa zwischen den Elementen der beiden Systeme keine Gleichheitsrelation definieren möchte), sodass ich von mehreren N und somit auch mehreren Q reden kann. Ich denke aber, das ist hier nicht gemeint mit "ein Q". Ein Element von Q? Eine unendliche Menge kann gegenüber einer anderen Menge unendlich klein sein, jedenfalls ist  . |
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positive
Anmeldungsdatum: 06.12.2013
Beiträge: 494
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| positive Verfasst am: 05. Feb 2014 16:26 Titel: |
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Nach ZFC sind 2 gleiche Mengen dadurch definiert, dass sie dieselben Elemente haben. Die Unendlichkeit ist damit eindeutig definiert... Und sie ist keine Teilmenge von sich selbst. Und das ist alles um was es geht/ging... |
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 05. Feb 2014 16:36 Titel: |
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Einige philosophische Gedanken zu diesem Thema:
Meiner Meinung nach kann die Frage mathematisch gar nicht beantwortet werden, da sie aus mathematischer Sicht keinen Sinn macht.
Am Anfang der Mathematik (und damit meine ich die allgemein anerkannte strenge Mathematik, wie sie heute in der Gedankenwelt von uns Existiert) steht die Definition, die nicht weiter charakterisiert wird und man "sagt" was definiert ist, das "gibt" es (in der Gedankenwelt).
Das wäre so, als würde ich sagen es gibt ein zwölfbeiniges Zebra, weil ich es mir gerade in meinen Gedanken vorstelle, mehr ist mathematik auch nicht.
Man kann zwar argumentieren, dass man aus mathematischne Überlegungen Dinge und zusammenhänge folgern kann, die in natürlicherweise auftreten wie zB. Fraktale/Mandelbrotmengen, die nicht frei erfunden sind, sondern wie man klar sieht eine gewisse Realität besitzen.
Den Begriff der Unendlichkeit kann man aber nicht so einfach extrahieren, da jede Zeichnung, jeder Bewegungsablauf, jede Anzahl in die physikalische Realität umsetzen.
Daher ist die Frage nur vom rein physikalischen Standpunkt sinnvoll und die Charakterisierung muss durch die gewöhnliche Vorstellung von endlich und unendlich gemacht werden.
Demnach sind die Antworten überflüssig/redundant, oder man versucht sie physikalisch zu interpretieren, was ich mal versuche.
Bspw. die Einpunktkompaktifizierung von IR, die oben genannt wurde, fordert eine Messlatte aus dem unendlichen (was ist das??) zu einem endlichen Punkt gehalten werden, d.h. die physikalische Existenz wird erstmal willkürlich und ohne Hand und Fuß gefordert um dann eine weitere Existenz zu fordern. Man dreht sich also im Kreis.
Vergisst man die Metrik, d.h. die Messlatte und argumentiert rein topologisch muss man erstmal erklären was ein Homöomorphismus in der realität sein soll. Das ist vielleicht leicht: Eine reine Verbiegung ohne Schnitte, aber was ist mit dem ambienten Raum in dem wird gebogen wird? Ist das der physikalischen Raum? Dann wäre IR entweder unendlich lang, wie soll man dann die enden zusammen bringen? Die Einpunktkompaktifizierung muss also ausserhalb unseres umgebenden Raumes passieren, so wie is in der Mathematik auch ist, da innerhalb unsere Begriffe von endlich eine Metrik bestimmen.
Also fordert man entweder eine weitere Dimension oder einen anderen Raum, was auch immer.
Aber so kompliziert muss es gar nicht sein. Im Grunde beginnt das Problem schon bei den natürlichen Zahlen. Zahl/Anzahl ist gegeben durch eine Menge, es ist abe rnicht bekannt das es von irgendetwas unendlich viel gibt. Wenn das Universum unendlich ist, dann gäbe es VIELLEICHT unendlich viele Atome, d.h. auch hier wird die Unendlichkeit erstmal gefordert.
So, ich muss nun mal einen Schluss finden, ich wollte eigentlich nur ein paar Sätze schreiben  |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 05. Feb 2014 18:02 Titel: |
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Grundsätzlich gehe ich da mit. Allerdings will ich etwas anmerken:
| Zitat: |
Am Anfang der Mathematik (und damit meine ich die allgemein anerkannte strenge Mathematik, wie sie heute in der Gedankenwelt von uns Existiert) steht die Definition, die nicht weiter charakterisiert wird und man "sagt" was definiert ist, das "gibt" es (in der Gedankenwelt).
Das wäre so, als würde ich sagen es gibt ein zwölfbeiniges Zebra, weil ich es mir gerade in meinen Gedanken vorstelle, mehr ist mathematik auch nicht. |
Das ist sicher richtig. Aber man kann sich ein zwölfbeiniges Zebra denken (es wird axiomatisch eingeführt) und einen Biologen fragen, welche Lebenserwartung dieses Tier hat und er wird bestimmt sagen, dass sie nicht allzu groß ist, weil es doch arg eingeschränkt ist durch seine zwölf Beine (die ich als Axiom für ein zwölfbeiniges Zebra unbedingt haben möchte^^) und somit leicht einem Raubtier zum Opfer fallen wird. Man kann also etwas axiomatisch einführen und fragen, welche Eigenschaften sich noch daraus ergeben. Das dürfte wohl jedem klar sein, ich will es aber trotzdem hier stehen haben.
Zweitens, ich bin mir sicher, ein Mathematiker hätte niemals gefragt: "Gibt es Unendlichkeit?". Gott würde auch nicht fragen, ob es Strings gibt, denn er wird bestens wissen, was es in seinem Universum gibt, denn er hat sich ja die Regeln ausgedacht (nein, das hier soll keine theologische Diskussion werden ). Wobei, so ganz klar ist das auch nicht. Zitat aus Hildebrandt/Analysis 1:
| Zitat: | | Von den Arbeiten seines Berliner Kollegen Weierstraß sprach er [Kronecker] späterhin nur als der "sogenannten Analysis des Herrn Weierstraß", und als ihm berichtet wurde, Lindemann habe die Transzendenz von pi (der Maßzahl des Flächeninhalts einer Kreisscheibe vom Radius 1) bewiesen, soll er gesagt haben: "Das interessiert mich nicht, pi existiert nicht." |
Das liegt aber vielleicht an der Zeit. Jedenfalls hat diese Mathematik mit der so genannten "Mathematik", wie sie an Schulen gelehrt wird, relativ wenig zu tun. Denn dort bekommt man keine Axiome gesagt, aber man sicher schon einmal irgendwo gesehen. Wenn man von diesen Standpunkt aus argumentieren will, ist das so, als ob man eine Naturwissenschaft betreiben würde: Man hat gewisse Beobachtungen, nämlich die Aussagen des Lehrers, die per Definition richtig sind (eventuell mit einem kleinen oder großen Messfehler behaftet), und soll daraus auf die zugrunde liegenden Naturgesetze schließen. Seit der ersten Klasse wird mit natürlichen Zahlen gerechnet, aber gewisse Fragen bleiben offen. Ich kann mich erinnern, wie in der Grundschule jemand behauptet hat, wer beim Lotto gewonnen hat, könne bis Unendlich zählen. Es klang für mich ziemlich sinnlos, aber da er besser in Mathe war als ich, habe ich ihm geglaubt. Ein anderes Mal hat jemand gesagt, die negativen Zahlen gehen nur bis -100. Es klang für mich ziemlich sinnlos (warum soll links von der null etwas anderes als rechts davon gelten?), aber er war zwei Jahre älter als ich, also habe ich ihm geglaubt. Man darf nicht alles in die Mathematik einführen, was man will, denn ein neues Axiom sollte mit allen anderen verträglich sein. Der Grund, warum ich angesprochen habe, ist, dass dies eine Möglichkeit ist, dem Symbol "" zu begegnen. Ich wollte klarstellen, was es ist (ein metrischer Raum, mit dem man tolle Sachen machen kann), und was es nicht ist (ein Körper, mit dem man rechnen kann) [EDIT: Das ist das, was ich meinte: Diese Eigenschaften, die von der "Unendlich" gefordert werden, nennen wir so einfach "Axiom", vertragen sich nicht mit den Körperaxiomen, also darf man dieses Objekt nicht so einfach einführen, es existiert nicht einmal in unserer Gedankenwelt]. Dass man mit der Unendlich(keit?), nach der gefragt wurde, rechnen kann, ist, so wie ich es verstanden habe, eine Voraussetzung, die an dieses Objekt gestellt wird, nach dessen Existenz gefragt wird. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18115
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| TomS Verfasst am: 05. Feb 2014 18:21 Titel: |
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| positive hat Folgendes geschrieben: | | Nach ZFC sind 2 gleiche Mengen dadurch definiert, dass sie dieselben Elemente haben. |
Es geht aber nicht um gleich sondern lediglich um gleich große Mengen. Dafür müssen die Elemente nicht identisch sein, es muss lediglich eine Bijektion existieren.
| positive hat Folgendes geschrieben: | | Die Unendlichkeit ist damit eindeutig definiert |
Das ist falsch. Es gibt unendliche Mengen, zwischen denen keine Bijektion existiert, d.h. die echt unterschiedlich groß sind, obwohl sie beide "unendlich groß sind". Bekanntestes Beispiel sind die rationalen und die reellen Zahlen.
D.h. es gibt explizit verschiedene Stufen der Unendlichkeit.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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positive
Anmeldungsdatum: 06.12.2013
Beiträge: 494
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| positive Verfasst am: 05. Feb 2014 20:45 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | positive hat Folgendes geschrieben: | | Nach ZFC sind 2 gleiche Mengen dadurch definiert, dass sie dieselben Elemente haben. |
Es geht aber nicht um gleich sondern lediglich um gleich große Mengen. Dafür müssen die Elemente nicht identisch sein, es muss lediglich eine Bijektion existieren.
| positive hat Folgendes geschrieben: | | Die Unendlichkeit ist damit eindeutig definiert |
Das ist falsch. Es gibt unendliche Mengen, zwischen denen keine Bijektion existiert, d.h. die echt unterschiedlich groß sind, obwohl sie beide "unendlich groß sind". Bekanntestes Beispiel sind die rationalen und die reellen Zahlen.
D.h. es gibt explizit verschiedene Stufen der Unendlichkeit. |
Also entweder du liest was ich schreibe oder ich antworte dir nicht mehr.
Ich habe diese Aussage kommentiert und nicht irgendwas von Cantor.
| Zitat: | | Selbst die Unendlichkeit kann ein unendlich kleiner Teil der Unendlichkeit sein. |
Die Unendlichkeit ist eine Menge. In dieser Aussage ist sie eindeutig definiert. Und sie kann nach ZFC nicht Teilmenge von sich selbst sein. Und das ist alles. Was du sagst, bezieht sich wieder auf was ganz anderes. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18115
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| TomS Verfasst am: 05. Feb 2014 21:07 Titel: |
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| positive hat Folgendes geschrieben: | | Die Unendlichkeit ist eine Menge. |
Falsch.
| positive hat Folgendes geschrieben: | | In dieser Aussage ist sie eindeutig definiert. |
Auch falsch
| positive hat Folgendes geschrieben: | | Was du sagst, bezieht sich wieder auf was ganz anderes. |
Auch falsch; es bezieht sich auf "die Unendlichkeit".
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 05. Feb 2014 22:00 Titel: |
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| Zitat: | | man kann sich ein zwölfbeiniges Zebra denken und fragen, welche Eigenschaften sich noch daraus ergeben. |
Selbstverständlich! Das ist ja gerade der Geist der modernen Mathematik.
Mein Punkt ist, man kann einen Smilie aufs Blatt malen und ihn von der restlichen Mathematik losgelöst als "unendlich" definieren. Der Mathematiker würde dann natürlich sofort loslegen und schauen was man aus dieser Definition folgern kann und was sich für natürliche Eigenschaften ausgehend von dieser Definition ergeben.
Das kann man nun als Beweis sehen für eine Sache die nicht zu beweisen war. So abstrakt macht das ganze aber keinen Sinn, da hier dem Smilie nur eine Bezeichung zugeordnet wurde, so wie dem Symbol die Bezeichnung unendlich zugeordnet wurde.
Der Begriff "unendlich" existiert aber noch ausserhalb dieser Definition als eine gedankliche Vorstellung von uns Menschen.
Um also sinnvoll mit "Mathematik" zu argumentieren ist eine Interpretation der abstrakten Definition notwendig.
D.h. man muss festlegen wann etwas als "Gleich" angesehen werden kann und muss damit dann eine Brücke schlagen zur gewöhnlichen sprachlichen Definition als deutsches Wort.
Da unsere Erfahrungswelt jedoch nur endliche Dinge umfasst, wir also gar keine konkrete Vorstellung oder ein Beispiel haben, kann kein passender Begriff für Gleichheit gefunden werden und man postuliert beim Brückenschlagen die Existenz einer Unendlichkeit.
Das war meinen windigen Argumentationen zufolge zumindest bei den genannten Beisielen der Fall.
| positive hat Folgendes geschrieben: | | 2 gleiche Mengen dadurch definiert, dass sie dieselben Elemente haben. Die Unendlichkeit ist damit eindeutig definiert... |
Nach dieser Definition sind die Mengen nicht "gleich"! Man betrachtet nur eine einzige Menge, ein und "dieSELBE" Menge.
Wenn du die Menge {1,2} aufschreibst und ich die Menge {1, 2} aufschreibe, dann sind das nicht zwei gleiche Mengen das ist eine EINZIGE Menge, da es ein und der selbe Gedanke war, von verschiedene Menschen gedacht.
Ein sehr/rein philosophische Betrachtung ist zB. das Gedankliche Objekte ausserhalb der Menschen und ausserhalb des (zugänglichen) Universum existieren, auf die wir Menschen lediglich über unseren Geist oder wie auch immer zugreifen können, demnach existieren alle Gedanken und alles erdenkliche schon immer. Also wäre eine Unterscheidung der Menge {1, 2} a priori quatsch, da nur auf einen einzigen Gedanken zurückgegriffen wurde.
Wer mich nach dem Abschnitt als Esoteriker und Spinner abstempeln möchte, gerne ! Vor paar Monaten wäre ich der erste gewesen der das getan hätte Zu diesem verrückten Gedankspiel hat mich jedoch erste Kapitel des Buches Roads to Reality von Penrose gebracht: http://www.amazon.de/The-Road-Reality-Complete-Universe/dp/0679776311/ref=sr_1_2?ie=UTF8&qid=1391632156&sr=8-2&keywords=roads+to+reality
Danach war ich nicht mehr überzeugt, das wir die Mathematik durch Definition geschaffen haben, sondern sie nur entdeckt haben, d.h. diese Gedankliche Gerüst hat schon immer existiert.
Das war viel geschwafel, also nochmal in den Alltag
{1, 2} und {3, 4} sind schoneinmal nicht ein und dieselbe Menge, trotzdem kann man sich einen Begriff überlegen, unter dem diese Beien Mengen gleich sind gleich sind.
Ein gemeinsames Merkmal wäre schoneinmal die Anzahl der Objekte, also "2". Unter diesem Gesichtspunkt betrachtet sind die Mengen gleich, da sie DIESELBE Anzahl von Objekten hat. Warum diese Art von Vergleich überhaupt sinn macht, ergibt in anderen Bereichen in denen man sich diese Eigenschaften zu Nutze macht, aber grundsätzlich Definiert der fleißige Mathematiker ja ohnehin erstmal los und schließt dann daraus
In diesem Beispiel ist der Vergleich der Anzahl offensichtlich, man zählt die Objekte, dass gilt auch für Mengen mit 100 oder n Objekten. Bei den Natürlichen Zahlen ist das abzählen nicht mehr möglich, deswegen muss man sich ein Konzept entwickeln das äquivalent zum Zählen ist und zwar.
Das wäre eine Zuordnung f, definiert durch f(1) = 3 und f(2) = 4 also umkehrbar, d.h. f ist eine Bijektion.
Mit Mühe kann man das auch für Mengen mit beilibiger endlicher Anzahl aufschreiben.
Dann wurde vorgeschlagen dieses Konzept auch auf unendliche Mengen zu erweitern, was sinnvoll ist (Plausibilität/Beweis durch vollständige Induktion?!).
Dadurch ist ein Werkzeug gegeben das auch trotz unendlicher Anzahl ein Vergleich zulässt, die Anzahl wird ab jetzt Mächtigkeit genannt.
Mit diesem Vergleichswerkzeug hat sich heraus gestellt, dass die natürlichen Zahlen die selbe Mächtigkeit (ehemals Anzahl) hat wie die ganzen Zahlen und auch wie die rationalen Zahlen. Bei den reellen Zahlen hat man jedoch zeigen können, das keine Bijektion existieren kann, wenn man glaubt man hätte alle Zahlen per Bijektion erfasst, kann man immer noch eine weitere reelle Zahl erstellen, daher haben die reellen Zahlen mehr Elemente, d.h. sie sind Mächtiger was urpsprünglich die Anzahl war, die wiederum unendlich war, d.h. es stellen unter dieser Betrachtungswise verschiedene Arten von Unendlichkeit heraus. |
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positive
Anmeldungsdatum: 06.12.2013
Beiträge: 494
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| positive Verfasst am: 05. Feb 2014 22:14 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | positive hat Folgendes geschrieben: | | Die Unendlichkeit ist eine Menge. |
Falsch |
Falsch. In dem Fall schon.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | positive hat Folgendes geschrieben: | | In dieser Aussage ist sie eindeutig definiert. |
Auch falsch |
Auch falsch. Sie ist in dem Fall eindeutig.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | positive hat Folgendes geschrieben: | | Was du sagst, bezieht sich wieder auf was ganz anderes. |
Auch falsch; es bezieht sich auf "die Unendlichkeit". |
Falsch. Es ist die mathematische Unendlichkeit.
| Feucht von Lipwig hat Folgendes geschrieben: | | Nach dieser Definition sind die Mengen nicht "gleich"! |
Natürlich sind sie gleich. Was denn sonst???
| Feucht von Lipwig hat Folgendes geschrieben: | | Wenn du die Menge {1,2} aufschreibst und ich die Menge {1, 2} aufschreibe, dann sind das nicht zwei gleiche Mengen das ist eine EINZIGE Menge, da es ein und der selbe Gedanke war, von verschiedene Menschen gedacht. |
Nie was anderes gesagt. Ist auch 1. ZFC Axiom... |
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 05. Feb 2014 22:31 Titel: |
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Ich wollte das nur nochmal hervorheben.
Kennst du den unterschied zwischen "gleich" und "dasselbe".
Dasselbe bedeutet, das es sich um nur ein Objekt handelt, jegliche Vergleichsbetrachtungen wären also sinnlos, da bei jedem Vergleich die Gleichheit folgen würde, deswegen.
Wenn dies in der Mathematik auf zunächst 2 getrennte Objekte zutrifft, sagt man das es nur ein Objekt ist.
Vergleiche sind aber, wie beschrieben bei verschiedenen Objekten möglich, wie oben gezeigt.
Nachdem das Verstanden ist und du diese Ansicht auch vertrittst, dann lies nochmal meinen Beitrag. |
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positive
Anmeldungsdatum: 06.12.2013
Beiträge: 494
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| positive Verfasst am: 06. Feb 2014 11:51 Titel: |
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Das ist per Definition so eingeführt. Nichts Aufregendes.
Und deshalb ist die Aussage, um die es hier geht:
| Zitat: | | Selbst die Unendlichkeit kann ein unendlich kleiner Teil der Unendlichkeit sein. |
falsch, denn nach ZFC ist es eben nicht so. Wenn die Unendlichkeit eine Menge ist, dann handelt es sich hier um eine einzige Menge... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18115
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| TomS Verfasst am: 06. Feb 2014 13:59 Titel: |
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Unendlichkeit ist keine Menge, sondern eine Eigenschaft einer Menge.
5 ist auch keine Menge, sondern die Eigenschaft einer Menge M = {a,b,c,d,e}, 5 Elemente zu haben, also |M| = 5.
Und in unserem Fall gibt es eben unterschiedliche Mengen mit unterschiedlichen Mächtigkeiten, die jedoch alle nicht endlich sind; konkret: |M| < |N| wobei sowohl M als auch N nicht endlich sind.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 06. Feb 2014 14:46 Titel: |
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| positive hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | positive hat Folgendes geschrieben: | | Die Unendlichkeit ist eine Menge. |
Falsch |
Falsch. In dem Fall schon. |
Wie lange soll das denn noch so weiter gehen, sind wir hier im Mittelalter oder in der Kneipe?
Sei doch so gut und erleuchte uns mit deiner widerspruchsfreien Folgerung aus den Axiomen, die offensichtlich niemand anderes sieht.
Wenn du das sauber und konsistent mit der gewöhnlichen Begriffswelt der Mathematik hier aufschreibst, dann werde ich diese Meinung auch vertreten |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 06. Feb 2014 17:32 Titel: |
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Geht es hier um Fakten oder darum, wer recht hat? Fakt ist: Die Aussage, es gebe eine Menge "die Unendlichkeit", die ein unendlich kleiner Teil von "der Unendlichkeit" (von sich selbst) ist, ist mit den Axiomen von ZFC nicht verträglich. Fakt ist sicher auch, dass die Aussage von DrStupid nicht wörtlich zu nehmen war, und insbesondere, dass es unendliche Mengen gibt, die ein "unendlich kleiner Teil" einer anderen unendlichen Menge sind.
Nebenbei: Wir haben vom Fragesteller lange nichts gehört. Haben wir ihn abgehängt? Zumindest hat die Diskussion so viel Eigendynamik entwickelt, dass die eigentliche Frage irgendwie unwichtig geworden ist und es anscheinend tatsächlich nur noch darum geht, dass irgendwer recht/unrecht hat. |
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Namenloser
Gast
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| Namenloser Verfasst am: 06. Feb 2014 20:36 Titel: |
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Um die sehr vage Formulierung "Menge "die Unendlichkeit", die ein unendlich kleiner Teil von "der Unendlichkeit" (von sich selbst) ist" aufzugreifen, was ist mit dem Intervall [0,1] bezogen auf ganz R?
Beide gleich viele Elemente (überabzählbar viele) und trotzdem gibt es unendlich viele gleichartiger ("Breite" 1) Intervalle in den reellen Zahlen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18115
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| TomS Verfasst am: 06. Feb 2014 20:46 Titel: |
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| Namenloser hat Folgendes geschrieben: | ... was ist mit dem Intervall [0,1] bezogen auf ganz R?
Beide gleich viele Elemente und trotzdem gibt es unendlich viele gleichartiger Intervalle in den reellen Zahlen. |
Genau
Offensichtlich ist auch
d.h. ich abzählbar unendlich viele Bijektionen mit entsprechen infinitesimal kleinen Intervallen konstruieren; d.h. auch, das das Intervall ]0,1[ bijektiv zu einem beliebig kleinen Intervall ist
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