Trägheitsmoment 2dim mehrfachsymmetrisch

Alex77 · Anmeldungsdatum: 05.11.2013 Beiträge: 16

Hallo,

wenn man einen Kreisquerschnitt hat, und rotationssymmetrische Aussparungen hat im gleichen Abstand zu einander, wieso ist dann das Flächentägheitsmoment um beide Achsen gleich. Ixx=Iyy ?
Wenn die Aussparungen nicht achsensymmetrisch sind.

Wenn ich den querschnitt um die Z-achse drehe, ändern sich die negativen Steineranteile von Ixx und Iyy dann gleich ? dIxx/dphi = dIyy/dphi ?
Und wenn sie es tun gilt das für alle achsen- und rotationssymmetrischen Flächen mit rotationssymmetrischen Aussparungen. Wohl nicht mit bloß 2 oder ? Hammer

Bitte um Hilfe

Alex77 · Anmeldungsdatum: 05.11.2013 Beiträge: 16

Auch wenn die Frage dämlich gestellt ist oder ich mich vertue, bitte gebt mir ein paar Denkanstöße, das Problem ärgert mich. Wenn die Frage schlecht gestellt ist oder unverständlich bitte sagts mir.

Sirius · Anmeldungsdatum: 22.11.2008 Beiträge: 119

Eine Zeichnung wäre auf jeden Fall hilfreich.

Wenn die z-Achse senkrecht auf der Kreisscheibe steht und durch deren Mitte geht und die Aussparungen zudem rotatiossymmetrisch bzgl. der z-Achse sind, sind sie dann nicht automatisch achsensymmetrisch bzgl. x- und y-Achse?

Alex77 · Anmeldungsdatum: 05.11.2013 Beiträge: 16

Danke Sirius,
Ja sind sie, aber die Symmetrien sind verschieden, also im einen Fall geht die Achse durch einen Ausschnitt im anderen nicht und trotzdem gilt Ixx=Iyy Tut mir leid leider kein Bild vorhanden.

Konkret 2 Beispiele.
1. Kreisquerschnitt mit gleichseitigem 6-Eckausschnitt in der Mitte:
Ixx=Iyy
2. Kreisquerschnitt mit 6 rotationssymmetrischen Löchern im gleichen Abstandd von 60°.
Wieder Ixx=Iyy...
woran kann das liegen, oder ist es einfach zufall

Sirius · Anmeldungsdatum: 22.11.2008 Beiträge: 119

Also im 2ten Beispiel ist das recht einfach zu zeigen. Beim ersten dürfte die Rechnung länglich sein, wird aber wohl ebenfalls I_xx=I_yy liefern. In beiden Fällen sind die Aussparungen aber nicht rotationssymmetrisch, sondern nur achsensymmetrisch zur x- und y-Achse (wenn man die beiden Achsen entsprechend wählt). I_xx=I_yy gilt aber sicher nicht für alle Arten von Aussparungen, die zu diesen beiden Achsen symmetrisch sind (z.B. bei nur zwei Löchern, die in gleichem Abstand zur Mitte der Scheibe auf der x-Achse liegen).

Alex77 · Anmeldungsdatum: 05.11.2013 Beiträge: 16

Ok danke.
Also sind die Trägheitsmomente gleich, wenn man beide achsen die selbe symmetrie aufweisen können. Egal wie die Achsen eigentlich gerade liegen. Also wenn dIxx/d(phi) = dIyy/d(phi) = konstant ist und vorausgesetzt, dass die aussparungen/ Ecken gleichmäßiger Geometrie mindestens 4 ist und durch 2 teilbar. Meinst du das stimmt. Wär ne coole Schlussfolgerung Big Laugh

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Naja, ich wäre dann etwas vorsichtig mit so ganz allgemeinen Formulierungen. Wenn man schon Komponenten aus dem Trägheitstensor wie Jxx und Jyy nimmt, muss dabei auch sicher sein, dass x, y und z jeweils Hauptträgheitsachsen sind. Und ich bin mir jetzt mit der 4-er Rotationssymmetrie nicht ganz sicher, ob dann die Hauptachsen in jedem Fall noch so sind, dass die Trägheitsmoment auch noch gleich sind.
Anders gesagt: Wenn ich mir so eine Scheibe vorstelle und weiß, dass senkrecht zur Scheibenebene so wie so eine Hauptträgheitsachse (z. B. "z") ist, dann müssen die anderen beiden ja immer noch so sein, dass beide senkrecht zueinander und zur z.Achse sind und, dass die eine das ein minimales Trägheitsmoment hat und die andere ein in dieser Ebene maximales.
Wenn die Trägheitsmomente zweier der drei Hauptträgheitsachsen gleich groß sind, dann bedeutet das ja, dass der Trägheitsellipsoid rotationssymmetrisch um die z-Achse ist. Das bedeutet also auch, dass das Trägheitsmoment bezüglich jeder beliebigen Achse in der x-y-Ebene gleich sein muss.

Gruß
Marco

Alex77 · Anmeldungsdatum: 05.11.2013 Beiträge: 16

Hallo as_string, ja hoff hab mich nicht vergalloppiert.
dI/dphi = konst. bzw. wenn ich den Trägheitsellipsoid soweit verstanden habe dw/dI = konst. ... also wenn sich die Achsen zur selben symmetrie legen lassen und die Aussparungen rotationssymmetrisch sind ist es auch das Trägheitsellipsoid. Mir ist erst jetzt aufgefallen das man das bei beiden Formen machen kann, so dass die achsen die selben Trägheitsmomente und Steineranteile Spiegeln.
Prost

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo,

ich würde ja eigentlich jetzt gerne etwas schlaues schreiben, aber ich verstehe Dich irgendwie gerade nicht so ganz, glaube ich...

Also

macht für mich irgendwie keinen Sinn. Ich verstehe das so, dass I (Trägheitsmoment denke ich) mit dem Winkel linear um einen Wert ansteigt. Du meinst wohl eher, dass es konstant bleibt, unabhängig von Winkel, also dann eher, dass die Ableitung = 0 wäre?
Was ist denn phi? der Winkel in der x-y-Ebene und Du sagst also, dass das Trägheitsmoment bezüglich jeder Achse, die in der x-y-Ebene liegt, den selben Wert haben soll?
Aber Deine ursprüngliche Frage war ja, wie man denn die Aussparungen aus z. B. aus einer Scheibe machen kann, damit das erfüllt ist, oder? Und dazu wollte ich halt anmerken: Es genügt nicht, wenn man zwei senkrechte Achsen gefunden hat, in deren Bezug das Trägheitsmoment gleich ist als Argument dafür, dass es dann zu jeder Achse, die in dieser Ebenen liegt auch gleich sein müsste. Diese Aussage kann man nur so direkt schließen, wenn die beiden gefundenen Achsen auch Hauptträgheitsachsen sind (bzw. im Fall, dass die wirklich gleich sind, kann ich in dieser Ebene ja jede Achse als eine der beiden Hauptträgheitsachse nehmen, eben wegen der Symmetrie.

Also Beispiel: Stell Dir eine Scheibe mit nur zwei Löchern vor, beide im selben Abstand von der Mittelachse, beide gleich groß, Mittelachse und Mittelpunkte der Bohrlöcher auf einer gemeinsamen Geraden. Wenn ich Dich richtig verstanden habe, würde das zwar Deine Symmetriebedingungen dann nicht erfüllen (wobei die mir noch nicht so ganz klar sind, um da wirklich eine abschließende Aussage tätigen zu können), aber jetzt nur als Beispiel, um zu zeigen, wie ich das meine...
Jetzt sind die beiden Hauptträgheitsachsen ja wahrscheinlich einmal die,, die eben durch Mittelpunkt und die beiden Bohrloch-Mittelpunkte geht und einmal eine, die senkrecht darauf steht. Die werden beide auch ein anderes Trägheitsmoment haben.
Man kann aber durchaus, wenn man eine Achse 45° dazu und deren orthogonale nimmt, zwei Achsen finden, bezüglich derer das Trägheitsmoment gleich ist. Aber das sind dann natürlich nicht die Hauptträgheitsachsen, auch klar.
Will sagen: ich habe nicht so alles ganz verstanden, welche Symmetrie Du Dir jetzt genau überlegt hast und so, aber Du musst auf jeden Fall vorsichtig sein, dass Du Dir da nicht "ein Ei legst"... Klo

Gruß
Marco

Sirius · Anmeldungsdatum: 22.11.2008 Beiträge: 119

Ich glaube, du verstehst unter Rotationssymmetrie was anderes als ich. Wenn die Aussparungen rotationssymmetrisch bzgl. der z-Achse sind (z-Achse durch das Zentrum der Kreisscheibe), dann bildet sich die Kreisscheibe für jeden beliebigen Drehwinkel um die z-Achse auf sich selbst ab und das Trägheitsmoment ist dann bzgl. aller Achsen in der xy-Ebene gleich.
Bei deinen 2 Beispielen liegt aber keine Rotationssymmetrie vor. Dass I_xx und I_yy bei dir gleich sind, ist nur der speziellen Symmetrie des 6-Ecks geschuldet und natürlich durch die Wahl der x- und y-Achse als Symmetrieachsen bedingt. Im Allgemeinen sind I_xx und I_yy aber nicht gleich, selbst wenn sie Symmetrieachsen des Körpers sind. Ein Beispiel wäre eine elliptische Aussparung in der Mitte, wobei die x-Achse mit der großen Halbachse der Ellipse zusammenfällt und die y-Achse mit der kleinen. Dann sind beide Achsen Symmetrieachsen der Kreisscheibe, jedoch stimmen I_xx und I_yy nicht überein.

Alex77 · Anmeldungsdatum: 05.11.2013 Beiträge: 16

Stimmt sorry, ja meinte dI/dphi =0 und mit der Rotationssymmetrie um einen festen Winkel (gut zu wissen ^^")
In beiden Beispielen liegen die Ausschnitte wenn man den Querschnitt um 60° dreht wieder gleich. Woher kann man wissen, dass es sich in diesem Fall um die Hauptträgheitsachsen handelt. Bei dem Querschnitt mit den Löchern sagte der Tutor leichthin: ,,doppelsymmetrie", daher Ixx=Iyy.
Dabei halbierte die eine Achse ein Loch und die andere nicht.
Also waren die Symmetrien unterschiedlich.
Da kommt dann aber was Sirius sagte: Für eine Ellipse, doppelsymmetrisch, gilt das schließlich auch nicht.
Also dacht ich mir muss das damit zusammenhängen, dass sich die Flächenträgheitsmomente und Steineranteile bei einer drehung zusammen gleich ändern oder eben garnicht. Alle 60° selbe Stellung und dazwischen?
Wie ist das denn dann der symmetrie geschuldet?

Oh man danke für die Hilfe bisher, aber ich verstehe noch nicht wie er das auf den ersten Blick erkennen konnte. Auf meine Frage im Anschluss war er auch ratlos.

Sirius · Anmeldungsdatum: 22.11.2008 Beiträge: 119

Ich weiß ehrlich gesagt nicht, ob man das auf einen Blick erkennen kann. Ich konnte es jedenfalls nicht, auch wenn das nichts heißen mag. Intuitiv würde ich sagen, dass das 6-Eck einfach ein Spezialfall ist, d.h. dass es an der speziellen Symmetrie des 6-Ecks liegt, dass I_xx und I_yy bei der obigen Achsenwahl gleich sind. Rückschlüsse auf andere Körper oder Formen kann ich daraus nicht ableiten. Alles was mir sonst dazu einfällt hab ich schon geschrieben, vielleicht hat ja as_string noch eine Idee.

Alex77 · Anmeldungsdatum: 05.11.2013 Beiträge: 16

Ok danke jedenfalls. Hoff ist nach dem was ihr gesagt hab ein Einzelfall.

Alex77 · Anmeldungsdatum: 05.11.2013 Beiträge: 16

Ok bedingungen geprüft nach dIxxs/dphi=dIyys/dphi da es nur auf die Steinermomente ankommt, tja gilt nur für den einen Fall hat er mumpitz erzählt Zunge