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Schwerpunkt und Trägheitsmoment
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mariechen
Gast





Beitrag mariechen Verfasst am: 01. Dez 2010 18:31    Titel: Schwerpunkt und Trägheitsmoment Antworten mit Zitat

Meine Frage:
An welcher Stelle Stelle liegt der Schwerpunkt S des folgenden Punktmassensystems:
m1 =10 kg im Punkt P1 = (0; 0; 0) cm,
m2 =5 kg im Punkt P2 = (1;¡2; 1) cm,
m3 =1 kg im Punkt P3 = (0;¡2; 0) cm und
m4 =5 kg im Punkt P4 = (0; 0; 3) cm.

Die Punktmassen seien durch gewichtslose, starre Stangen verbunden. Welches Trägheitsmoment hat dieser Körper bezüglich der y-Achse?

Meine Ideen:
Hallo,

der Schwerpunkt ist glaub ich der Massenmittelpunkt, also gilt:
r = 1/M * Summe über i von ri*mi
= 1/21kg * ( 10kg*(0,0,0,) + 5*(1,2,1) + 1*(0,2,0) + 5*(0,0,3)
= 1/21kg * ( 0 + (5,10,5) + (0,2,0) + (0,0,15)
= 1/21kg * (5,12,20)
= (5/21, 12/21, 20/21)
aber das ist nicht richtig so, oder? man berücksichtigt ja die 10 kg im Ursprung nicht, obwohl die doch auch was ausmachen.

trägheitsmoment:
dafür habe ich folgende formel gefunden:
J = Summe über i von (mi*ri^2)
da kann ich jetzt wahrscheinlich wieder nicht die Massen und Vektoren einsetzen, wie ich es eben schon nicht konnte?

lg, mariechen
BbM
Gast





Beitrag BbM Verfasst am: 01. Dez 2010 18:40    Titel: Antworten mit Zitat

Was ist das? ¡2
mariechen
Gast





Beitrag mariechen Verfasst am: 01. Dez 2010 18:46    Titel: Antworten mit Zitat

ich weiß nicht genau, was du meinst, aber ich hab da immer i hingeschrieben, das so tiefergestellt ist.
BbM
Gast





Beitrag BbM Verfasst am: 01. Dez 2010 18:51    Titel: Antworten mit Zitat

(1;¡2; 1)

Ich weiß nicht recht

(1;2; 1) oder (1;-2; 1)
the_wire



Anmeldungsdatum: 04.11.2010
Beiträge: 81

Beitrag the_wire Verfasst am: 01. Dez 2010 18:54    Titel: Antworten mit Zitat

Das i soll ein - (Minus) sein. Hab die Aufgabe auch hier.
mariechen
Gast





Beitrag mariechen Verfasst am: 01. Dez 2010 18:54    Titel: Antworten mit Zitat

oh, sorry, da hab ich mich vertippt. das i gehört da nicht hin.
BbM
Gast





Beitrag BbM Verfasst am: 01. Dez 2010 18:56    Titel: Antworten mit Zitat

Die 10 kg spielen schon eine Rolle
Bei der Division
the_wire



Anmeldungsdatum: 04.11.2010
Beiträge: 81

Beitrag the_wire Verfasst am: 01. Dez 2010 18:57    Titel: Antworten mit Zitat

Hast du keine Minustaste auf deiner Tastatur? Bei deinem Rechenweg seh ich auch kein einziges.

Jedenfalls ist, bis auf die fehlenden Vorzeichen, die Rechnung richtig. smile


Zuletzt bearbeitet von the_wire am 01. Dez 2010 19:01, insgesamt einmal bearbeitet
mariechen
Gast





Beitrag mariechen Verfasst am: 01. Dez 2010 19:00    Titel: Antworten mit Zitat

r = 1/M * Summe über i von ri*mi
= 1/21kg * ( 10kg*(0,0,0,) + 5*(1,-2,1) + 1*(0,2,0) + 5*(0,0,3)
= 1/21kg * ( 0 + (5,-10,5) + (0,2,0) + (0,0,15)
= 1/21kg * (5,-8,20)
= (5/21, -8/21, 20/21)

^^also kann man so den schwerpunkt ausrechnen?
mariechen
Gast





Beitrag mariechen Verfasst am: 01. Dez 2010 19:01    Titel: Antworten mit Zitat

kann ich das dann mit dem J genauso einfach machen? also einfach die vektoren und massen einsetzen?
the_wire



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Beiträge: 81

Beitrag the_wire Verfasst am: 01. Dez 2010 19:04    Titel: Antworten mit Zitat

Die Lage des Massenmittelpunkts hab ich auch so. Was meinst du mit "einfach Vektoren und Massen einsetzen" ?
mariechen
Gast





Beitrag mariechen Verfasst am: 01. Dez 2010 19:07    Titel: Antworten mit Zitat

damit mein ich das so in die formel einzusetzen:

J = Summe über i von (mi*ri^2)
= (10kg * (0,0,0)^2 + 5kg*(1,-2,1)^2 +...

geht das so einfach?
the_wire



Anmeldungsdatum: 04.11.2010
Beiträge: 81

Beitrag the_wire Verfasst am: 01. Dez 2010 19:23    Titel: Antworten mit Zitat

Ich denke, das geht so nicht.
Die gegebenen Werte sind ja die Ortsvektoren, sie sagen dir also, wo sich die Massenpunkte bezüglich des Ursprungs befinden. Für die Formel für J brauchen wir aber die Abstände zur y-Achse.
BbM
Gast





Beitrag BbM Verfasst am: 01. Dez 2010 19:32    Titel: Antworten mit Zitat

Wo steht denn überall ein Minus?

Nur bei 5kg?
the_wire



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Beiträge: 81

Beitrag the_wire Verfasst am: 01. Dez 2010 19:35    Titel: Antworten mit Zitat

BbM hat Folgendes geschrieben:
Wo steht denn überall ein Minus?

Nur bei 5kg?


Alles was oben ein i ist, ist ein Minus.

Zitat:
Verfasst am: 01. Dez 2010 18:31 Titel: Schwerpunkt und Trägheitsmoment
Meine Frage:
An welcher Stelle Stelle liegt der Schwerpunkt S des folgenden Punktmassensystems:
m1 =10 kg im Punkt P1 = (0; 0; 0) cm,
m2 =5 kg im Punkt P2 = (1;-2; 1) cm,
m3 =1 kg im Punkt P3 = (0;-2; 0) cm und
m4 =5 kg im Punkt P4 = (0; 0; 3) cm.
BbM
Gast





Beitrag BbM Verfasst am: 01. Dez 2010 19:37    Titel: Antworten mit Zitat

Aha

Dann stimmt aber der Schwerpunkt nicht
the_wire



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Beiträge: 81

Beitrag the_wire Verfasst am: 01. Dez 2010 19:38    Titel: Antworten mit Zitat

Das hat sie doch schon korrigiert.

Zitat:
r = 1/M * Summe über i von ri*mi
= 1/21kg * ( 10kg*(0,0,0,) + 5*(1,-2,1) + 1*(0,2,0) + 5*(0,0,3)
= 1/21kg * ( 0 + (5,-10,5) + (0,2,0) + (0,0,15)
= 1/21kg * (5,-8,20)
= (5/21, -8/21, 20/21)
mariechen
Gast





Beitrag mariechen Verfasst am: 01. Dez 2010 19:44    Titel: Antworten mit Zitat

the_wire hat Folgendes geschrieben:
Ich denke, das geht so nicht.
Die gegebenen Werte sind ja die Ortsvektoren, sie sagen dir also, wo sich die Massenpunkte bezüglich des Ursprungs befinden. Für die Formel für J brauchen wir aber die Abstände zur y-Achse.


also so:

J = Summe über i von (mi*ri^2)
= (10kg * 0^2 + 5kg*(6^0,5)^2 +...

also für r2 z.b. r2=|(1,-2,1)| = (1^2+2^2+1^2)^0,5?
BbM
Gast





Beitrag BbM Verfasst am: 01. Dez 2010 19:46    Titel: Antworten mit Zitat

Bei 1kg ist doch -2
Das hat sie nicht korrigiert
the_wire



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Beitrag the_wire Verfasst am: 01. Dez 2010 19:59    Titel: Antworten mit Zitat

Ich wäre dir echt dankbar, wenn du den Formeleditor benutzen würdest. Bei dem Chaos wird man ja kirre. Hammer

Wenn du einfach nur die Beträge nimmst hast du nicht den Abstand zur y-Achse.

Ich würde erstmal den Abstand des Massenmittelpunktes zur y-Achse berechnen. Nennen wir ihn mal . Für das Trägheitsmoment gilt dann:



wobei M für die Gesamtmasse steht. Wir sagen also, dass die komplette Masse im Massenschwerpunkt konzentriert ist.
mariechen
Gast





Beitrag mariechen Verfasst am: 01. Dez 2010 20:33    Titel: Antworten mit Zitat

also wenn der schwerpunkt r = = (5/21, -12/21, 20/21) ist,

ist der Abstand von r zur y-achse rY=-12/21

dann ist J = M *rY = (10kg+5kg+1kg+5kg) * (-12/21)

oder?
mariechen
Gast





Beitrag mariechen Verfasst am: 01. Dez 2010 20:36    Titel: Antworten mit Zitat

mariechen hat Folgendes geschrieben:
also wenn der schwerpunkt r = = (5/21, -12/21, 20/21) ist,

ist der Abstand von r zur y-achse rY=-12/21

dann ist J = M *rY = (10kg+5kg+1kg+5kg) * (-12/21)

oder?


oh, ich hab das quadrat vergessen. ich meinte:
sms
Gast





Beitrag sms Verfasst am: 01. Dez 2010 20:41    Titel: Antworten mit Zitat



Das für jeden einzelnen Massepunkt

Dann aufaddieren
the_wire



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Beiträge: 81

Beitrag the_wire Verfasst am: 01. Dez 2010 20:44    Titel: Antworten mit Zitat

mariechen hat Folgendes geschrieben:
also wenn der schwerpunkt r = = (5/21, -12/21, 20/21) ist,

ist der Abstand von r zur y-achse rY=-12/21



Nein, das wär nur der Fall, wenn die x und die z Komponente 0 wären. Um den Abstand zu berechnen musst du wissen, wie man in der Vektorrechnung den Abstand eines Punktes zu einer Geraden berechnet.
Deine y-Komponente vom Massenschwerpunkt ist jedenfalls tatsächlich immer noch Falsch.

Aber ich glaube die Lösugn von sms ist richtig Augenzwinkern

55kgm² dürften rauskommen.
Azurech



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Beitrag Azurech Verfasst am: 02. Dez 2010 16:23    Titel: Antworten mit Zitat

also wenn ich das einsetzte:



dann kommt da 20,23 raus.
Wo ist der Fehler?

Bzw, welche massenpunkte dennoch zum addieren?
the_wire



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Beitrag the_wire Verfasst am: 02. Dez 2010 17:10    Titel: Antworten mit Zitat

Azurech hat Folgendes geschrieben:
also wenn ich das einsetzte:



dann kommt da 20,23 raus.
Wo ist der Fehler?

Bzw, welche massenpunkte dennoch zum addieren?


So war das nicht gemeint. Du solltest für jeden einzelnen Massenpunkt das Trägheitsmoment bezüglich der y-Achse berechnen. Das Trägheitsmoment des ganzen Systems ist dann die Summe aller einzelnen Trägheitsmomente. Da zwei Punkte auf der y-Achse liegen, ist deren J bezüglich auch 0...weißt du welche?
Azurech



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Beitrag Azurech Verfasst am: 02. Dez 2010 17:40    Titel: Antworten mit Zitat

da es ja heisst P = (x,y,z), müsste dann ja für P2 (1,-2,1) und P3 (0,-2,0) J = 0 sein, oder versteh ich das falsch?
the_wire



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Beitrag the_wire Verfasst am: 02. Dez 2010 17:45    Titel: Antworten mit Zitat

Azurech hat Folgendes geschrieben:
da es ja heisst P = (x,y,z), müsste dann ja für P2 (1,-2,1) und P3 (0,-2,0) J = 0 sein, oder versteh ich das falsch?


P3 stimmt, aber warum denn P2? x, wie auch z sind doch 1. Folglich hast du in der Klammer stehen: (1² + 1²). Und die 5kg davor. Da kommt keine 0 heraus.
Azurech



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Beiträge: 64

Beitrag Azurech Verfasst am: 02. Dez 2010 17:53    Titel: Antworten mit Zitat

achsoooo :>

ja, dann P1 und P3

und ich rechne dann mal eben weiter.
the_wire



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Beiträge: 81

Beitrag the_wire Verfasst am: 02. Dez 2010 18:01    Titel: Antworten mit Zitat

Pass auf, die Punkte sind in cm angegeben. Ist mir auch erst später aufgefallen ^^
mariechen
Gast





Beitrag mariechen Verfasst am: 02. Dez 2010 18:36    Titel: Antworten mit Zitat

the_wire hat Folgendes geschrieben:
mariechen hat Folgendes geschrieben:
also wenn der schwerpunkt r = = (5/21, -12/21, 20/21) ist,

ist der Abstand von r zur y-achse rY=-12/21



Deine y-Komponente vom Massenschwerpunkt ist jedenfalls tatsächlich immer noch Falsch.


echt? ich find den fehler nicht. dafür rechnet man doch
1/21 * (10*0 + 5*-2 + 1*-2 + 5*0)
= (0-10-2-0)/21
=-12/21
für die y-koordinate oder?
Azurech



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Beiträge: 64

Beitrag Azurech Verfasst am: 02. Dez 2010 18:38    Titel: Antworten mit Zitat

jo, hab auch 55kgcm² raus. Also 0,55kgm² für den Trägheitsmoment auf der y-Achse?
mariechen
Gast





Beitrag mariechen Verfasst am: 02. Dez 2010 18:40    Titel: Antworten mit Zitat

sms hat Folgendes geschrieben:


Das für jeden einzelnen Massepunkt

Dann aufaddieren


also, ich guck mal, ob ich dich richtig verstehe.

das wäre dann



?
Azurech



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Beiträge: 64

Beitrag Azurech Verfasst am: 02. Dez 2010 18:43    Titel: Antworten mit Zitat

so, hab ichs auch gemacht, P1 und P3 kannst du ja so direkt weglassen.
the_wire



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Beiträge: 81

Beitrag the_wire Verfasst am: 02. Dez 2010 19:07    Titel: Antworten mit Zitat

Azurech hat Folgendes geschrieben:
jo, hab auch 55kgcm² raus. Also 0,55kgm² für den Trägheitsmoment auf der y-Achse?


Nicht ganz, pass auf das Quadrat auf.

Rechnet am besten direkt so:



Zuletzt bearbeitet von the_wire am 02. Dez 2010 19:11, insgesamt einmal bearbeitet
Azurech



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Beitrag Azurech Verfasst am: 02. Dez 2010 19:10    Titel: Antworten mit Zitat

ohne Quadrat dann? rechne ich nicht: kg * (cm² + cm²) ?
Ist das nicht dann kgcm² ?
the_wire



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Beiträge: 81

Beitrag the_wire Verfasst am: 02. Dez 2010 19:13    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn du einen Zentimeter quadrierst kommt nicht das raus, was du angegeben hast (siehe oben). Goldene Regel: Immer SI-Einheiten benutzen! Sobald du irgendwo anfängst die Werte einzusetzen, immer SI! Dann bist du auf der sicheren Seite.
Azurech



Anmeldungsdatum: 10.11.2010
Beiträge: 64

Beitrag Azurech Verfasst am: 02. Dez 2010 19:21    Titel: Antworten mit Zitat

hm, sollte ich mich echt dran halten.
nun sind bzw
wenn nun zum Quadrat richtig ist.
the_wire



Anmeldungsdatum: 04.11.2010
Beiträge: 81

Beitrag the_wire Verfasst am: 02. Dez 2010 19:43    Titel: Antworten mit Zitat

Azurech hat Folgendes geschrieben:
hm, sollte ich mich echt dran halten.
nun sind bzw
wenn nun zum Quadrat richtig ist.


Wie kommst du auf m²? Ich dachte, hier gehts um ein Trägheitsmoment...
Azurech



Anmeldungsdatum: 10.11.2010
Beiträge: 64

Beitrag Azurech Verfasst am: 02. Dez 2010 19:46    Titel: Antworten mit Zitat

ach... kg vergessen zu schreiben, natürlich kgm² Hammer
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