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ReinhardY
Anmeldungsdatum: 09.02.2011
Beiträge: 34
Wohnort: Jülich
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 ReinhardY Verfasst am: 05. Aug 2013 11:21 Titel: Bewegung auf elliptischer Bahn |
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Hallo cracks,
ich hätte folgende Frage :
Ein Punkt bewegt sich mit gleichbleibender Geschwindigkeit v auf einer elliptischen Bahn. Die Ellipse soll durch zentrale Polarkoordinaten r(phi) beschrieben werden. Wenn ich dann r nach (phi) ableite, müßte ich doch die Bahngeschwindigkeiten für z.B. 0° und 90° (x-Achse a und y-Achse b) bekommen; und die müßte ja v betragen. Da in der Ableitung aber sin*cos im Zähler auftaucht, ist sie beide male 0 ! Wo ist mein Denkfehler ? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 05. Aug 2013 11:30 Titel: |
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Wie sieht deine Bahngleichung aus? So?
 = R(\phi) \begin{pmatrix} \cos\phi \\ \sin\phi \end{pmatrix} )
Dann musst du zunächst R so festlegen, dass tatsächlich eine Ellipse resultiert. Und du musst die Zeitabhängigkeit des Winkels so festlegen, dass der Betrag der Geschwindigkeit konstant ist.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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ReinhardY
Anmeldungsdatum: 09.02.2011
Beiträge: 34
Wohnort: Jülich
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| ReinhardY Verfasst am: 05. Aug 2013 11:58 Titel: |
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Hallo TomS
danke für schnelle Antwort.
Mein R sieht so aus:
r=a*b/sqrt(a²sin²x+b²cos²x)
die Ableitung für r stammt aus einem Ableitungsrechner und enthält u.a. Sin(x)*cos(x) im Zähler, sodaß r(punkt) sowol für 0° (a-Achse) wie auch 90° (b-Achse) =0 ist. Aber v soll ja über die ganze Bahn konstant sein.
Andererseits soll ja die Ableitung des Richtungsvektors die Geschwindigkeit tangential zur Bahn sein. Oder muß r (s.o.) implizit nach der Zeit abgeleitet werden, um zu v zu kommen ???
Bitte auch um Beachtung meines akt Beitrags im Forum "off topic"
Reinhard |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 05. Aug 2013 12:10 Titel: |
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Das ist dein R?
Was ist x? Meinst du phi?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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alterHund
Anmeldungsdatum: 10.06.2013
Beiträge: 29
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| alterHund Verfasst am: 05. Aug 2013 12:15 Titel: |
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da es für den Umfang der Ellipse keine geschlossene Formel gibt,
kann
auch für Dein Problem keine geschlossene Lösung erwartet werden. |
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ReinhardY
Anmeldungsdatum: 09.02.2011
Beiträge: 34
Wohnort: Jülich
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| ReinhardY Verfasst am: 05. Aug 2013 12:36 Titel: |
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Hallo TomS
das ist mein r .(aus Wikip. "Ellipsengleichung Polarkoordinaten bzgl. des Mittelpunktes") x soll phi entsprechen. Es ergibt sich aus der Ell.Gleichung in kart.K. durch Parametrisierung.
Wirklich wild wird es, wenn die Ellipsengleichung in Kartes.Koord. implizit abgeleitet wird. (bis zur zweiten Ableitun für a)
Mein Ursprünliches Problem war, daß es mir nicht gelingen wollte, für a an den Scheitelpunkten der Ellipse (x=0; y=0) nach allen Verfahren den gleichen Wert zu bekommen. (a= v²/rho und Rho= a²/b bzw. b²/a)
Hallo alterHund
hmmm!
die Geschwindigkeit beim Durchtritt durch die x-Achse ist aber doch definiert.Also müßte sie sich doch aus den Polarkoordinaten ableiten lassen.
Welche Bedeutung hat denn r ( in PolKoord.) |
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Bruce
Anmeldungsdatum: 20.07.2004
Beiträge: 537
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| Bruce Verfasst am: 05. Aug 2013 14:32 Titel: |
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Ellipsengleichung in kartesischen Koordinaten:
Wie man sofort sieht folgt daraus
=\frac{1}{\sqrt{\frac{\displaystyle \cos^2\phi}{\displaystyle a^2}+\frac{\displaystyle\sin^2\phi}{\displaystyle b^2}}}.
<br />
)
Und jetzt kann ReinhardY mit Hilfe dieser Formel
 + r\,\dot\phi\left( \begin{array}{c} -\sin\phi \\ \cos\phi \end{array}\right)
<br />
)
die Geschwindigkeit berechnen und uns mal zeigen was herauskommt.
Vielleicht erkennt er ja jetzt seinen Fehler? Kleiner Tip:
Wo hat
)
lokale Extrema und was gilt dort für
und insbesondere für
Das ist doch anschaulich klar, oder?
So kann man sich die Bildung der komplizierten Ableitungen ersparen!
Falls Du von Hand die Ableitung berechnen (Ableitungsrechner:  ) kannst, verwende die umgeformte Variante
=(\frac{1}{a^2}+(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2})\sin^2\phi)^{-\frac{1}{2}}.
<br />
)
Und wieder: Wie man sofort sieht 
r^3\sin\phi\cos\phi
<br />
)
Gruß von Bruce
Zuletzt bearbeitet von Bruce am 11. Aug 2013 08:49, insgesamt 4-mal bearbeitet |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 05. Aug 2013 14:32 Titel: |
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Du rechnest das Falsche! Und da dir nicht bewusst ist, dass du das Falsche rechnest, hast du auch den Hinweis von alterHund nicht verstanden.
Die Bahnkurve eines Körpers in der Ebene kann in Parameterform dargestellt werden als
 \quad y=y(p))
mit einem Parameter p. Wenn der Parameter p identisch mit der Zeit ist (p = t), dann ergibt
^2+(\frac {dy}{dp})^2}=\sqrt {\dot x^2+\dot y^2})
die Geschwindigkeit des Körpers. Wenn aber der Parameter p nicht identisch mit der Zeit ist, dann ist
^2+(\frac {dy}{dp})^2} \neq \sqrt {\dot x^2+\dot y^2})
und daher
^2+(\frac {dy}{dp})^2})
Da liegt dein Problem. Dein Parameter ist der Winkel  . Der ist aber nicht identisch mit der Zeit und auch nicht proportional zur Zeit, wenn der Körper sich mit konstanter Bahngeschwindigkeit auf einer Ellipse bewegt.
Das Problem liesse sich beheben, wenn man ) kennen würde. Dann liessen sich  und  nach der Kettenregel berechnen.
Wenn der Körper sich mit konstanter Bahngeschwindigkeit auf der Ellipse bewegt, dann ist der zurückgelegte Weg s (= die Bogenlänge auf der Ellipse) proportional zur Zeit:
=vt)
Man bräuchte also für die Ellipse den Zusammenhang zwischen Bogenlänge  und Winkel und hätte damit auch ) . Und da weist alterHund darauf hin, dass sich die Bogenlänge der Ellipse bekanntlich nicht in geschlossener Form darstellen lässt. Der Versuch führt auf ein elliptisches Integral, woher selbige ihren Namen haben. Deshalb ist dein Vorhaben zum Scheitern verurteilt. |
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ReinhardY
Anmeldungsdatum: 09.02.2011
Beiträge: 34
Wohnort: Jülich
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| ReinhardY Verfasst am: 05. Aug 2013 15:23 Titel: |
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Hallo
an alle Danke für die ausführlichen Antworten. Die muß ich jetzt erst mal verdauen.
Gruß a todos
R. |
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ReinhardY
Anmeldungsdatum: 09.02.2011
Beiträge: 34
Wohnort: Jülich
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| ReinhardY Verfasst am: 09. Aug 2013 20:22 Titel: Ellipse 2.0 |
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Hallo Freunde der Ellipse
ich hoffe, ich nerve nicht, aber die Ellipse liegt trotz Eurer Bemühungen (gruce an Bruce ! und co) noch nicht zur Gänze verdaut in meinem oberen Jejunum.
In Änderung meiner früheren Frage habe ich folgende (vermeintliche) Vereinfachungen vorgenommen. Achse der Ellipse a=2; Achse b=1. Die Bahngeschwindigkeit soll nicht mehr konstant sein sondern  =1 .
Damit ergibt sich zunächst
=\frac{2}{\sqrt{4\cdot \sin(\varphi )^2+ \cos(\varphi )^2 } })
und
=\frac{6\cdot \sin(\varphi ) \cdot \cos(\varphi ) }{\sqrt{(4\cdot \sin(\varphi )^2+ \cos(\varphi )^2 })^3 })
und
 =\frac{6[4\cdot \sin(\varphi ) ^4+ 6\cdot \cos(\varphi ) ^2\cdot \sin(\varphi ) ^2- \cos(\varphi ) ^4]}{\sqrt {4\cdot \sin(\varphi ) ^2+ \cos(\varphi ) ^2)}^3} )
Für phi=0° ist r =2 und für 90°=1
dr/d phi: für 0 und 90° =0
Dann bekomme ich für die Geschwindigkeit v (bei 0°): 2 und für 90° : 1 heraus nach der Formel für die Geschwindigkeit in Polarkoordinaten. ???
Ist das die richtige Bahngeschwindigkeit ??
Gemäß der Formel für die Radialbeschleunigung bekomme ich für 0° den Wert 4; für 90° den Wert 2 heraus. (????)
Wenn ich aber die Radialbeschleunigung nach der Formel v²/rho mit rho(0°) =b²/a (=0.5) und rho(90°) =a²/b( =4) ausrechne, und die obigen Werte für die Bahngeschwindigkeit einsetze, kommt für die Radialbeschl. bei 0° 8 und bei 90° 0,25 heraus.
Wo mache ich einen (oder mehrere) Denkfehler.
p.s. bitte bei die Erklärungen if possible auf Abitur- und Seniorenniveau.!!
Danke im Voraus
Reinhard |
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Bruce
Anmeldungsdatum: 20.07.2004
Beiträge: 537
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| Bruce Verfasst am: 09. Aug 2013 23:32 Titel: |
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Du darfst nicht
schreiben! Es gilt:
Wenn Du  setzt, ist das zwar zufällig richtig, aber für den Leser ziemlich verwirrend.
Was soll  sein? Die zweite Ableitung von r nach der Zeit oder nach phi?
Soweit ich das hier überblicke, liegt dein Fehler darin, daß Du nur den Betrag des Ortsvektors
nach der Zeit differenziert hast aber nicht die Richtung. Ich vermute, Du wendest zur Berechnung
der Geschwindigkeit die falsche Formel an.
Wenn Du die korrekte Formel für die Geschwindigkeit
 + r \,\dot\phi\left( \begin{array}{c} -\sin\phi \\ \cos\phi \end{array}\right)
<br />
)
verwendest, dann siehst Du, daß der erste Vektor in radialer Richtung wegen
an den von dir gewählten Stellen verschwindet und der zweite den Betrag
hat und für die Punkte (x=a,y=0) (d.h. phi=0°) bzw. (x=0, y=b) (d.h. phi=90°) tangential zur Ellipse
verläuft, so wie man es anschaulich erwarten würde.
Gruß von Bruce |
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Physikgast
Gast
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| Physikgast Verfasst am: 10. Aug 2013 10:44 Titel: |
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Hallo
Hier muß ein Minus davor
=-\frac{6\cdot \sin(\varphi ) \cdot \cos(\varphi ) }{\sqrt{(4\cdot \sin(\varphi )^2+ \cos(\varphi )^2 })^3 })
und
die Ableitung stimmt nicht
VG |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 10. Aug 2013 10:49 Titel: |
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Ich bin ehrlich, ich sehe momentan das eigentliche Problem nicht mehr. Das sieht alles viel zu kompliziert aus. Was ist die grundlegende Fragestellung?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Physikgast
Gast
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| Physikgast Verfasst am: 10. Aug 2013 11:17 Titel: |
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Hallo
ReinhardY will die Beschleunigung an 2 Stellen der Ellipse berechnen
Be 0° und bei 90° (also die Radialbeschleunigung)
Dazu wählt er 2 richtige Wege
1. v^2/Krümmungsradius
Da rechnet er richtig
2. 
Da stimmt seine Ableitung nicht
VG |
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ReinhardY
Anmeldungsdatum: 09.02.2011
Beiträge: 34
Wohnort: Jülich
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| ReinhardY Verfasst am: 10. Aug 2013 15:39 Titel: |
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Hallo Freunde der Ellipse,
Physikgast hat recht: Ich wollte die Beschleunigung eines Punktes an verschiedenen Orten einer Ellipse ausrechnen. Am Anfang stand eine Aufgabe, in der anhand einer Kurve (y= kx²) und vorgegebener Bahngeschwindigkeit die Beschleunigungen an einem Punkt P berechnet werden sollte. Dies wurde zunächst mithilfe von v und dem lokalen Krümmungskreis rho bewerkstelligt. Dann wurde aber gezeigt, daß man auch über die zweimalige (implizite) Ableitung des Funktionsterms nach der Zeit zur gleichen Lösung kommt. Das hat mich so fasziniert, daß ich das auf die Ellipse anwenden wollte, aber das war wohl (für mich) etwas weit gegriffen.
Dennoch versuche ich mithilfe Eurer Anmerkungen das Ganze zu einem guten Ende zu bringen.
Das heißt: Die Beschleunigungen an den Scheitelpunkten der Ellipse durch Ableitung des Ellipsenterms einmal in kartes.Koordinaten und einmal in Polarkoordinaten zu bekommen.
Die einfache Kontrolle durch v²/rho ist hier nicht mehr möglich, wenn die Winkelgeschwindigkeit konstant ist.
Gruß
Reinhard |
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Bruce
Anmeldungsdatum: 20.07.2004
Beiträge: 537
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| Bruce Verfasst am: 10. Aug 2013 16:31 Titel: |
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Also, jetzt noch mal ganz langsam zum mitschreiben 
Wir setzen
<br />
)
und
<br />
)
Dann gilt
\,\vec{e_r}
<br />
)
Damit folgt für Bahngeschwindigkeit und Bahnbeschleunigung:
\vec{e_r}+(2\dot r\dot \phi+r\ddot \phi)\vec{e_{\phi}}\qquad Gl.\,1.2
<br />
)
Speziell für deinen Fall gilt noch
und
Außerdem gilt in den Scheitelpunkten (Minimum bzw. Maximum von r)
Wenn ich das verwurste erhalte ich aus Gl.1.1 und Gl.1.2 in den Scheitelpunkten:
und
\,\omega^2\,\vec{e_r}\qquad Gl.\,2.2
<br />
)
Frühestens hier macht es Sinn, die konkrete Gleichung für ) zu verwenden.
Die Gleichungen 2.1 und 2.2 gelten ausschließlich in den Scheitelpunkten
wohingegen 1.1 und 1.2 in jedem Punkt der Ellipse verwendet werden können!
Gruß von Bruce |
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ReinhardY
Anmeldungsdatum: 09.02.2011
Beiträge: 34
Wohnort: Jülich
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| ReinhardY Verfasst am: 10. Aug 2013 18:36 Titel: |
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Hallo Bruce,
vielen Dank für die ausführliche Darstellung.
Die Gleichung Gl 2.2 enthält (nur) einen Vektor in Richtung des Leitstrahls [e(r) ].
Aber müßte es bei kontanter Winkelgeschwindigkeit für die Ellipse nicht auch noch einen Beschleunigungsanteil in Richtung Tangente geben?
In Erwartung eines Verweises .....;-(
Hallo Physikgast,
könntest Du mir die richtige zweite Ableitung für r geben, damit ich diese in Brucens Formel eisetzen kann. Ich bin auf einen Ableitungsrechner (matheguru) angewiesen.
Wie bestimmst Du diese Ableitung ? (per pedes apostulorum ???)
Hallo Alle,
Gibt es hier auch die Möglichkeit, wie in der oben von mir angeführten Ausgangsaufgabe, die Beschleunigung aus der Ellipsengleichung in Kart.Koordinaten zu gewinnen ?
Bei der Aufgabe mit der Kurve: y= kx² war aber eine konstante Bahngeschwindigkeit v angegeben, sodaß  und  hierüber verbunden waren und das geht ja hier (?) nicht. ? |
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Bruce
Anmeldungsdatum: 20.07.2004
Beiträge: 537
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| Bruce Verfasst am: 10. Aug 2013 19:20 Titel: |
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| Zitat: |
Die Gleichung Gl 2.2 enthält (nur) einen Vektor in Richtung des Leitstrahls [e(r) ].
Aber müßte es bei kontanter Winkelgeschwindigkeit für die Ellipse nicht auch noch einen Beschleunigungsanteil in Richtung Tangente geben?
In Erwartung eines Verweises .....;-(
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Im allgemeinen gibt es den Tangentialanteil aber speziell in den Scheitelpunkten
für  nicht.
Allgemein gilt in den Scheitelpunkten der Ellipse:
\vec{e_r}+r\,\ddot \phi\,\vec{e_{\phi}}
<br />
)
weil hier
(größter bzw. kleinster Radius) ist.
Gruß von Bruce |
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Bruce
Anmeldungsdatum: 20.07.2004
Beiträge: 537
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| Bruce Verfasst am: 10. Aug 2013 20:56 Titel: |
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Für die zweite Ableitung brauchst Du auch kein Computerprogramm.
Für die Rechnung "per pedes apostulorum" ist
=\frac{d^2r}{d\phi^2}\,\dot{\phi}^2+\frac{dr}{d\phi}\ddot\phi
<br />
)
hilfreich. Bis auf
kennen wir schon alles, was da vorkommt.
Gehen wir also aus von
r^3\sin\phi\cos\phi=-\frac{1}{2}(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2})r^3\sin(2\phi)
<br />
)
und differenzieren das mal nach  :
(3r^2\frac{dr}{d\phi}\sin(2\phi)+2r^3\cos(2\phi))
<br />
)
Fertig! Jetzt mußt Du nur noch einsetzen und richtig zu Ende rechnen.
Gruß von Bruce |
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Bruce
Anmeldungsdatum: 20.07.2004
Beiträge: 537
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| Bruce Verfasst am: 11. Aug 2013 09:51 Titel: |
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Man kann tatsächlich für die Bewegung auf dem Ellipsenbogen
bei konstant gehaltenem Geschwindigkeitsbetrag v die Beschleunigung in
kartesischen Koordinaten analytisch exakt durch die Koordinaten
x und y ausdrücken.
Das ist zwar äußerst lästig und nur für die Galerie, aber es geht
"per pedes apostulorum"  .
Zur Berechnung der Beschleunigung in kartesischen Koordinaten
würde ich ausgehen von der Ellipsengleichung
^2+(\frac{y}{b})^2\Rightarrow \frac{\dot y}{\dot x}=-(\frac{b}{a})^2\frac{x}{y}\qquad Gl.\,1
<br />
)
und
^2}
<br />
)
Hier setzen ich Gl.1 ein und erhalte
^2}} \qquad Gl.\,2
<br />
)
mit
Daraus folgt dann wegen v=const.
^2}{\sqrt{1+k^2(\frac{x}{y})^2}^3}=k^2\,v\,\frac{x}{y}\,\frac{x\dot y - y\dot x}{y^2}\,\frac{1}{\sqrt{1+k^2(\frac{x}{y})^2}^3}
<br />
)
und damit schließlich
\,\frac{1}{\sqrt{y^2+k^2x^2}^3}
<br />
)
Da (Gl.2) und  (Gl.1) schon bekannt sind, kann das hier verwendet werden und
damit die Rechnung munter weiter getrieben werden.
Für  schlage ich vor
Damit ergibt sich dann:
\,\frac{1}{\sqrt{y^2+k^2x^2}^3}
<br />
)
Gruß von Bruce |
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ReinhardY
Anmeldungsdatum: 09.02.2011
Beiträge: 34
Wohnort: Jülich
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| ReinhardY Verfasst am: 11. Aug 2013 18:10 Titel: |
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Hallo Bruce [spezieller gruce ;-) ] et alii,
ich bin begeistert. Vielen Dank für die ausführlichen Lösungen und Erklärungen, sodaß ich das Ganze jetzt "rund" habe und wieder schlafen kann!
Dennoch bleibt das Gefühl, daß ich Eure Zeit in Anspruch nehme und keine Gegenleistung setzen kann.
Ich möchte deshalb nochmals auf mein Schreiben im Forum "off-topic" mit dem Titel "bezahlter Tutor" hinweisen. Es geht um die ausführliche Lösung von (für mich) schwierigen Aufgaben gegen Honorar. Das wäre nicht "unkorrekt", da ich (fast) am Ende eines Berufslebens (in einem völlig physikfernen) Beruf stehe und das alles nur aus Interesse mache.
Also, wie wär's ???
Viele Grüße und Dank
Reinhard |
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ReinhardY
Anmeldungsdatum: 09.02.2011
Beiträge: 34
Wohnort: Jülich
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| ReinhardY Verfasst am: 15. Aug 2013 11:35 Titel: Bruce help ;-8 |
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Leider tauchen weitere Fragen auf
zu Brucens Beitrag vom10.08. 16:31 :
wenn dr/d phi = 0 ist, müßte doch auch die 2. Ableitung hiervon = 0 sein
und das hieße doch: die 2.Ableitung des Vektors r nach der Zeit wäre in Gleichung 2.2 = -r x omega² ??
Dann käme in meiner Ellipse (a=2 b=1 omega=1) heraus:
v (0°) =2 ;
v(90°) =1
a(0°) =-2
a(90°) =-1
wenn ich aber dieses v für v²/ rho (mit rho= 0,5 für 0° und 4 für 90°) verwende, bekomme ich
a(0°) = 8
a(90°) = 0,25 heraus.
und
wenn ich in die Formel für d²r/d phi² im Beitrag Bruce vom 10.08. 20;56
die Werte für die Achsenabschnitte bei 0 und 90° sowie die jew. Winkel selbst einsetze, bekomme ich
-6 für 0°
6/8 für 90°
hier müßte aber doch (s.o.) 0 herauskommen. (???)
Wo sind meine (erneuten) Denkfehler ??
Gruce an Bruce et alii
Reinhard |
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Bruce
Anmeldungsdatum: 20.07.2004
Beiträge: 537
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| Bruce Verfasst am: 15. Aug 2013 12:25 Titel: |
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Ein Denkfehler liegt darin, zu glauben, daß
gilt. Diese Folgerung ist einfach falsch!
In der Nähe der Scheitelpunkte kann so approximiert werden:
 \approx a+\frac{1}{2}\,k_a\phi^2 \qquad |\phi| \ll 1
<br />
)
bzw.
 \approx b+\frac{1}{2}\,k_b(\phi-\frac{\pi}{2})^2 \qquad |\phi-\frac{\pi}{2}| \ll 1
<br />
)
Hier sind  die zweiten Ableitungen 
für  bzw.  .
Wenn ich
aus dem von dir zitierten Beitrag verwende, erhalte ich:
\,2a^3= a(1-\frac{a^2}{b^2})=-6<0
<br />
)
und
\,2b^3 = b(1-\frac{b^2}{a^2})=\frac{3}{4}>0
<br />
)
Das ist das gleiche, was Du für a=2 und b=1 heraus bekommen hast.
Plausibel ist das Ergebnis, weil der Radius beim Durchgang durch
nur kleiner werden kann, d.h. dort liegt ein Maximum der Radiusfunktion
und deswegen darf dort die zweite Ableitung negativ sein. Falsch wäre es, wenn die zweite
Ableitung dort positiv wäre wie bei . Dann hätten wir dort ein
Minimum und das ist nur bei oder  korrekt.
Sind deine Fragen geklärt oder gibt es hier noch weitere Schwierigkeiten?
Gruß von Bruce
Zuletzt bearbeitet von Bruce am 15. Aug 2013 17:32, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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ReinhardY
Anmeldungsdatum: 09.02.2011
Beiträge: 34
Wohnort: Jülich
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| ReinhardY Verfasst am: 15. Aug 2013 12:39 Titel: |
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Danke Bruce
erstmal wieder verdauen ;-O
Reinhard |
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