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Nima93
Anmeldungsdatum: 08.01.2012
Beiträge: 221
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 Nima93 Verfasst am: 03. Mai 2012 13:50 Titel: Lagrange-Mechanik |
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Hallo,
Ich habe ein ziemliches Verständnisproblem was die Lagrangeformalitäten angeht. Klar ist mir bisher, dass die Zwangskräfte immer senkrecht zur Bewegungsrichtung zeigen müssen und in linearer Abhängigkeit zum Gradienten stehen. Trotzdem blicke ich bei konkreteren Beispielen nicht durch und habe daher einige teils grundlegende Fragen:
- in meinem Skript werden die Zwangsbedingungen immer mit so einem komischen A angegeben. z.B.
 = x²+z²-l²=0 )
Was soll dann aber A sein? Alles was hinter dem A steht ist mir klar, das ist ja die Zwangsbedingung.
- An einer anderen Stelle wird
 =0 )
nach dr entwickelt. Was soll das denn heißen und warum kommt
 + \vec{\nabla} A \cdot d\vec{r} + O((d\vec{r})²) =0 )
raus? Und was soll dieses O sein?
- Um die Bewegungsgleichungen zu bestimmen, wird der Gradient von diesem A bestimmt. Warum kann man das so machen?
Wäre echt toll wenn mir jemand diese Fragen beantworten könnte, bin schon am verzweifeln...
viele Grüße
nima93 |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18121
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| TomS Verfasst am: 03. Mai 2012 14:28 Titel: |
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Mal ganz generell zur Lagrange-Mechanik: gegeben sei eine Lagrangefunktion L in den (generalisierten) Koordinaten und Geschwindigkeiten, also
Daraus folgen die Bewegungsgleichunegn als Euler-Lagrange-Gleichungen gemäß
L ist häufig, aber keinesfalls immer, von der Form L = T - V.
Nun zu den Zwangsbedingungen A: Wir gehen aus von einem System beschrieben durch eine Lagrangefunktion L (z.B. ein Teilchen in einem Potential). Nun erlegen wir dem Teilchen Zwangsbedingungen auf, und zwar n Stück, d.h. wir definieren n Funktionen
(z.B. dass sich ein Teilchen statt in drei Dimensionen nur auf einer zweidimensionalen Kugeloberfläche bewegen darf)
Nun erweitern wir die Lagrangefunktion um die Zwangsbedingungen versehen mit entsprechenden Lagrangemultiplikatoren, d.h.
Die Bewegungsleichungen folgen wieder als Euler-Lagrange-Gleichungen gemäß, jedoch haben wir nun zwei Sätze von Bewegungsgleichungen
1) die Gleichungen bzgl. q jetzt abgeleitet aus L'
2) die zu den Lagrangemultiplikatoren gehörigen Gleichungen; da für letztere keine Zeitableitung existiert, ist
und die Gleichungen
reduzieren sich einfach auf die Zwangsbedingungen
Die Idee ist also recht einfach: anstatt gleich die richtigen Koordinaten für das reduzierte System zu finden, nimmt man die ursprünglichen, berücksichtigt jedoch die Zwangsbedingungen, in dem man sie 2) als Gleichung der Form A=0 zusätzlich (!) fordert, und in dem man ihren Einfluss auf die aus L abgeleiteten Bewegungsgleichungen mittels der erweiterten Lagranmgefunktion L' berücksichtigt.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Nima93
Anmeldungsdatum: 08.01.2012
Beiträge: 221
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| Nima93 Verfasst am: 03. Mai 2012 14:38 Titel: |
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Hallo und vielen Dank für die ausführliche Antwort! Die Geschichte wird mir allmählich klarer, aber so ganz schnall ichs noch nicht. Das heißt diese Lagrange-Gleichung kann ich auch aufstellen ohne Zwangsbedingungen? Und ich muss die Ableitungen trotzdem in kartesischen Koordinaten machen? Ich werde jetzt am besten nochmal meine Lektüren durchlesen und mit deinen Erklärungen ergänzen, vll versteh ichs dann endlich... |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 03. Mai 2012 14:41 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Nun erweitern wir die Lagrangefunktion um die Zwangsbedingungen versehen mit entsprechenden Lagrangemultiplikatoren |
Es ist sicher eine Geschmackssache. Mir scheint der Zugang über das d'Alembert-Prinzip etwas überzeugender. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18121
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| TomS Verfasst am: 03. Mai 2012 15:50 Titel: |
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| Nima93 hat Folgendes geschrieben: | | Das heißt diese Lagrange-Gleichung kann ich auch aufstellen ohne Zwangsbedingungen? |
Ja. Zwangsbedingungen sind additive Zusätze.
| Nima93 hat Folgendes geschrieben: | | Und ich muss die Ableitungen trotzdem in kartesischen Koordinaten machen? |
Du kannst die Ableitungen in kartesischen Koordinaten bilden. Generell kannst du den Lagrangeformalismu in beliebigen (!) Koordinatensystemen anwenden. Und die Einführung von Zwangsbedingungen ändert nichts an der Wahl des Koordinatensystems. Du wirst also das Koordinatensystemen jeweils "geschickt" wählen.
Mach dir doch mal folgenden Spaß:
1) Aufstellung von Lagrangefunktion sowie Berechnung und Lösung der Euler-Lagrange-Gleichungen für ein Teilchen auf einem Kreis (dynamische Koordinate ist der Winkel phi)
2) Aufstellung von Lagrangefunktion sowie Berechnung und Lösung der Euler-Lagrange-Gleichungen für ein Teilchen auf einer Ebene (dynamische Koordinaten sind x und y)
3) wie 2) jedoch unter Hinzunahme einer Bedingung r² = (x² + y²) = const.; du müsstest sehen, dass sich 3) auf 1) reduzieren lässt.
Aber letztlich ist das ja in etwa die von dir genannten Aufgabe
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 03. Mai 2012 16:02, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18121
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| TomS Verfasst am: 03. Mai 2012 15:57 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Nun erweitern wir die Lagrangefunktion um die Zwangsbedingungen versehen mit entsprechenden Lagrangemultiplikatoren |
Es ist sicher eine Geschmackssache. Mir scheint der Zugang über das d'Alembert-Prinzip etwas überzeugender. |
Es ist für den Einstieg und im Rahmen der Newtonschen Mechanik gut, die Äquivalenz der Wege die Verstehen sowie die Abweichungen zu diskutieren.
Aber es gibt Fälle, in denen hilft dir kein d'Alembert-Prinzip und du musst wissen, wie der von mir genannte Weg funktioniert.
Insbs. gibt es dynamische Systeme, in denen die Zwangsbedingung bereits implizit enthalten ist (also sozusagen versteckt ist). Ein Beispiel ist die Beschreibung von Eichtheorien (QED, QCD).
Außerdem denke ich, dass das d'Alembert-Prinzip dann gut geeignet ist, wenn du auf der Ebene der Kräfte argumentieren kannst. Der von mir vorgeschlagene Weg ist aber einfacher, wenn du diese Kräfte sowie die unterlagerte Geometrie gar nicht so einfach hinschreiben kannst.
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 03. Mai 2012 16:59 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Insbs. gibt es dynamische Systeme, in denen die Zwangsbedingung bereits implizit enthalten ist (also sozusagen versteckt ist). Ein Beispiel ist die Beschreibung von Eichtheorien (QED, QCD) |
Mir neu & interessant; danke!  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18121
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| TomS Verfasst am: 03. Mai 2012 17:39 Titel: |
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Kennst du die klassische Elektrodynamik, also Lagrangdichte, Ableitung der Maxwellgleichungen, verschiedene Eichfixierungen (Coulomb, Lorentz, Weil, ...), physikalische Freiheitsgrade = zwei transversale Polarisationen trotz vier elementaren Feldern, ...? Evtl. auch die kanonische = hamiltonsche Formulierung?
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Nima93
Anmeldungsdatum: 08.01.2012
Beiträge: 221
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| Nima93 Verfasst am: 03. Mai 2012 18:08 Titel: |
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Also nochmals vielen Dank für die Tipps, allerdings hänge ich immer noch in der Luft 
Hier mal konkret meine Aufgabe:
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Eine kleine durchbohrte Perle (Masse m) gleite im Schwerefeld (g) reibungsfrei längs eines geraden (masselos gedachten) Drahtes, dessen eines Ende im Koordinatennullpunkt fixiert sei, und der sich unter festem Winkel  zur z-Achse mit konstanter Winkelgeschwindigkeit 
um diese Achse drehe.
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Die Zwangsbedingungen habe ich hoffentlich noch hingekriegt:
 , z= \frac{\sqrt{x²+y²}}{tan(\theta)} )
Die erste ist rheonom (zeitabhängig), die zweite skleronom.
Die Perle hat nur einen Freiheitsgrad, nämlich entlang des Drahtes.
Als generalisierte Koordinaten würde ich Kugelkoordinaten (r/phi/theta) nehmen, wobei theta konstant bleibt.
Aber wie komme ich davon jetzt auf die Zwangskraft und die Lagrangegleichungen 1. und 2. Art in meinen gewählten Größen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18121
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| TomS Verfasst am: 03. Mai 2012 22:22 Titel: |
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Bitte mach mal eine Zeichnung mit Beschriftung
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 03. Mai 2012 22:45 Titel: |
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Denkbar auch Zylinderkoordinaten. Und wegen der Bewegung in einer "Dimension" würde ich mit zwei Zwangsbedingungen rechnen. |
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Nima93
Anmeldungsdatum: 08.01.2012
Beiträge: 221
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| Nima93 Verfasst am: 04. Mai 2012 00:39 Titel: |
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Ich hab doch zwei Zwangsbedingungen, einmal für x und einmal für z, oder seh ich das falsch? Eine Skizze kann ich vll demnächst noch reinstellen, muss das Blatt allerdings in 9 Stunden schon abgegeben haben und hoffe mal, dass sich die Sache bis dahin erledigt hat^^ |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 04. Mai 2012 01:09 Titel: |
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In Zylinderkoordinaten
=r+z\ tan\alpha=0)
=\varphi-\omega t = 0)
-mgz) |
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