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WhiteRussian
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 56
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 WhiteRussian Verfasst am: 01. Jun 2011 11:56 Titel: Brachistochrone Herleitung der DGL |
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Hallo ihr Lieben,
zum bekannten Brachistochronen-Problem findet man ja so einiges im Netz. Leider finde ich darunter nicht ganz das passende, da viele Lösungen da aufhören wo ich jetzt stecke. Ich habe die Aufgabe schon halb gelöst.
Die Aufgabe findet sich hier: http://www.quantum.uni-freiburg.de/images/stories/course_material/tpII_ss11/Blatt4.pdf (Aufgabe 16d)
Ich bin ganz ehrlich, Teil c habe ich übersprungen, kein Problem dank Zwischenergebnis 
Ich habe jetzt den Ausdruck
}{4 g \alpha^2})
Nur weiß ich jetzt weder, wie ich das Alpha loswerde, noch ob ich das Plus oder Minus nehmen soll. Und wie bestimmt man s_max?
Fragen über Fragen  |
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Keplerfan
Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252
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| Keplerfan Verfasst am: 01. Jun 2011 22:22 Titel: |
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Tach!
Erstmal: Die c) ist lösbar. Man muss die beim Einsetzen in die Gleichung aus Aufgabe 15 entstehende Gleichung nur nochmal mit der Wurzel multiplizieren, so dass nur noch beim  eine Wurzel stehen bleibt, dann kommt es innerhalb von ein paar Zeilen (9 bei mir) raus.
Beim Rest muss ich noch etwas nachdenken. Gibt es vielleicht Erhaltungsgrößen aus der Variationsrechnung, die man zum Bestimmen von bestimmen kann? |
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WhiteRussian
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 56
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| WhiteRussian Verfasst am: 01. Jun 2011 23:42 Titel: |
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Ok, werde mich morgen nochmals an der c) versuchen...
Variationsrechnung habe ich noch nicht so kapiert, deswegen stehe ich da ziemlich auf dem Schlauch. |
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Keplerfan
Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252
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| Keplerfan Verfasst am: 02. Jun 2011 03:50 Titel: |
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Ich denke nun, dass man eigentlich Offensichtliches zur Bestimmung des bzw.  nutzen kann.
Irgendwie muss man aber trotzdem erstmal drauf kommen. 
Du hast ja Gleichungen für x(s) und z(s), also die Koordinaten deines Massenpunktes in Abhängigkeit von der auf der Rutschbahn zurückgelegten Strecke (bzw. deren Parametrisierung) s erhalten. Am Ende der Bewegung, wenn die maximale Strecke(n-Parametrisierung) auf der Rutschbahn gerutscht wurde, gilt
 = x_0 ) . Daraus erhältst du eine Gleichung, aus der sich im Prinzip  ) bestimmen lässt. Das so gewonnene kannst du dann als bekannt vorraussetzen und als zweite Gleichung  = z_0 ) aufstellen. Diese Gleichung enthält neben dem bereits bekannten noch das , das sich so bestimmen lassen sollte. Das Vorzeichen beim x ergibt sich schließlich einfach aus dem Vorzeichen von  , nehme ich an. Für negative muss man natürlich auch die negative x-Achse entlang rutschen, wenn man jemals ankommen will.
Der entscheidende Tipp war für mich die Kurvendarstellung (man soll ja noch die Kurve zeichnen), bei der ich erst richtig realisiert hatte, was die ganzen ausgerechneten Funktionen und vor allem das s jetzt eigentlich bedeuten - nämlich einerseits einfach die Koordinaten x,z und andererseits die Strecke auf der Rutschbahn. Eigentlich ja klar, andererseits auch nicht.
Bleibt noch die Frage, ob man eine solche Rutschbahn auf Spielplätzen aufbauen sollte. Mit welcher Geschwindigkeit würden die Kinder eigentlich am Ende 'rausschießen?  Achso, das hängt ja gar nicht von der Rutschbahn ab? 
PS: Sehe gerade, dass das in deinem x auch noch vorkommt - sinngemäß müssten die beiden Gleichungen trotzdem richtig sein. |
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WhiteRussian
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 56
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| WhiteRussian Verfasst am: 02. Jun 2011 16:38 Titel: |
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Puh, mir ist leider schleierhaft, was man von 16 in 15 einsetzen soll... das L?
Könntest du mir mal zeigen, wie diese Einsetzung aussehen soll, dann käme ich sicher auch drauf...
Die d) kriege ich wohl nicht mehr fertig, ich habe einfach keine Zeit mehr... |
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Keplerfan
Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252
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| Keplerfan Verfasst am: 02. Jun 2011 17:37 Titel: |
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 = \sqrt \frac{1+{f'}^2}{2gf} )
Zwei f'² Terme heben sich nun weg. Dann quadrieren usw, dann kommt es raus. |
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Keplerfan
Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252
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| Keplerfan Verfasst am: 02. Jun 2011 17:51 Titel: |
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Nochmal zur d: Deine beiden Gleichungen sind mE einfach nur die Bedingung, dass das Teilchen am Ende (also beim Erreichen von ) im Punkt (x0,z0) ankommt. Wo es ja ankommen muss, da die Rutschbahn dort endet (Grafik). |
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Keplerfan
Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252
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| Keplerfan Verfasst am: 02. Jun 2011 18:08 Titel: Re: Brachistochrone Herleitung der DGL |
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| Zitat: |
Nur weiß ich jetzt weder, wie ich das Alpha loswerde, noch ob ich das Plus oder Minus nehmen soll. Und wie bestimmt man s_max?
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Wenn dein x so stimmt muesste die Gleichung für lauten
}{4 g \alpha^2} )
Das Vorzeichen muss man dann so wählen, dass z.B. beim neg. auch die rechte Seite negativ wird. Entsprechend für =f(s_{max})=z_0 ) . |
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WhiteRussian
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 56
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| WhiteRussian Verfasst am: 02. Jun 2011 18:44 Titel: |
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Danke für deine Hilfe! Ohne dich wäre ich wohl verloren
Ok, ich habs es nachvollzogen und es passt mit kleinen ungenauigkeiten, aber ich denke das liegt an mir ^^
Ein "Fehler" ist mir noch aufgefallen, bei der inneren Ableitung hast du oben kein Quadrat, weiter unten aber schon. Woher kommt das? |
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Keplerfan
Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252
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| Keplerfan Verfasst am: 02. Jun 2011 18:54 Titel: |
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Das kommt vom zusaetzlichen f' in der Gleichung von Aufgabe 15. |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 02. Jun 2011 18:54 Titel: |
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Bin an dem selben Problem: Habe in der (c) die DG hergeleitet. Und nu? Wie verfahr' ich weiter? |
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WhiteRussian
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 56
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| WhiteRussian Verfasst am: 02. Jun 2011 19:28 Titel: |
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DGL lösen... das hatten wir doch in Theo 1. Du musst im prinzip nichts anderes machen, als die Gleichung so aufzulösen, dass auf einer Seite die Wurzel und df steht und auf der anderen Seite plusminus 1 und dx. Der Rest wurde ja ausführlich hier diskutiert.
Wenn du fertig bist, poste mal die Skizze, ich bekomme die irgendwie nicht hin |
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Keplerfan
Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252
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| Keplerfan Verfasst am: 02. Jun 2011 20:14 Titel: |
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Es gibt jedenfalls in der Skizze zwei Fälle: Einmal läuft die Rutschbahn stetig abwärts bis zum Endpunkt, einmal läuft sie unter den Endpunkt und schießt dann wieder hinauf, um ihn zu erreichen. |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 02. Jun 2011 20:16 Titel: |
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Du meinst wohl die Methode der getrennten Variablen verwenden. Du hast es ja anscheinend schon gemacht, könntest Du deine Lösung nicht posten? Das wär' nett. Hast Du die (15)? Können uns ja austauschen, hab' allerdings bisher nichts ausser die (16) (a) - (c) und sehr wenig Zeit, da ich morgen sehr früh raus muss. eMail: truenemy[at]t-online[punkt]de |
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WhiteRussian
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 56
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| WhiteRussian Verfasst am: 03. Jun 2011 10:45 Titel: |
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Sorry, ich tippe das jetzt nicht nochmal alles ab und einen Scanner habe ich leider nicht.
Wir können uns aber beim nächsten Blatt mal zusammentun. |
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