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Nixda
Anmeldungsdatum: 26.11.2010
Beiträge: 49
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 Nixda Verfasst am: 23. Feb 2011 00:40 Titel: Klassische Poisson-Klammern berechnen |
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Servus,
für eine anstehende Klausur muss ich klassische Poisson-Klammern berechnen koennen. Ich möchte gerne folgendes Beispiel mit euch besprechen.
)
Kann ich davon ausgehen, dass es sich bei  um eine generalisierte Koordinate handelt? Wenn ja, müsste es so weitergehen:
 = \sum\limits_{i=1}^n (\frac{\partial L_1}{\partial x_i} \frac{\partial x_2}{\partial p_i} - \frac{\partial L_1}{\partial p_i} \frac{\partial x_2}{\partial x_i}))
Kann ich nun einfach  setzen? Falls ja, sollte es so aussehen:
 = \frac{\partial L_1}{\partial x_1} \frac{\partial x_2}{\partial p_1} - \frac{\partial L_1}{\partial p_1} \frac{\partial x_2}{\partial x_1} + \frac{\partial L_1}{\partial x_2} \frac{\partial x_2}{\partial p_2} - \frac{\partial L_1}{\partial p_2} \frac{\partial x_2}{\partial x_2} + \frac{\partial L_1}{\partial x_3} \frac{\partial x_2}{\partial p_3} - \frac{\partial L_1}{\partial p_3} \frac{\partial x_2}{\partial x_3})
Nun wird fast überall ein Faktor 0 und das Ergebnis ist:
 = - \frac{\partial L_1}{\partial p_2})
Falls das nun alles stimmt, muss oder koennte ich das Ergebnis noch vereinfachen?
Wie lassen sich Poisson-Klammern mittels Epsilon-Tensor und Delta-Distribution berechnen?
Ich bin fuer jede Hilfe dankbar. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18108
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| TomS Verfasst am: 23. Feb 2011 01:07 Titel: Re: Klassische Poisson-Klammern berechnen |
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Zunächst mal die geschweifte Klammer in LaTeX mittels "\{" und "\}", also
Der Ansatz ist zunächst richtig.
)
Nun ist die Ableitung der generalisierten Koordinate nach dem Impuls sicher Null, d.h.
)
Als nächstes schreibt man mittels des Kronecker-Deltas
Nur wenn i=2 ist, ergibt die Ableitung der Koordinate Eins, sonst Null. Jetzt kann man die Summe über i ausführen, es trägt lediglich i=2 bei:
 = - \frac{\partial L_1}{\partial p_2} )
soweit warst du auch schon :-)
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Jetzt brauchen wir die Darstellung des Drehimpulses (ich vermute, dass L das sein soll) mittels des Epsilon-Tensors
In deinem Fall für i=1 gilt
Nun ist klar, dass aufgrund der Antisymmetrie die einzige nicht-verschwindende Komponente für k=3 vorliegt, d.h.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Nixda
Anmeldungsdatum: 26.11.2010
Beiträge: 49
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| Nixda Verfasst am: 23. Feb 2011 02:13 Titel: Re: Klassische Poisson-Klammern berechnen |
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Vielen, lieben Dank für die ausführliche und schnelle Antwort, das hat mir schon sehr geholfen. 
Gibt es einen besonderen Grund warum mit Kronecker-Delta und Epsilon-Tensor gearbeitet wird?
Aus Kreuzprodukt zwischen Ortsvektor  und Impuls  folgt direkt:
 , 
Und somit, dass:
Bis morgen, gute Nacht. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18108
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| TomS Verfasst am: 23. Feb 2011 07:15 Titel: Re: Klassische Poisson-Klammern berechnen |
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| Nixda hat Folgendes geschrieben: | | Gibt es einen besonderen Grund warum mit Kronecker-Delta und Epsilon-Tensor gearbeitet wird? |
Der Vorteil ist, dass man damit allgemein recht beliebige Terme darstellen und mit ihnen rechnen kann, ohne doie verschiedenen Regeln für Kreuz- und Skalarprodukte auswendig zu kennen. Außerdem kann man den Epsilon-Tensor sowie das Kronecker-Delta auf höhere Dimensioen verallgemeinern (das Kronecker-Delta hat immer zwei Indizes, der Epsilon-Tensor immer soviele wie man Dimensionen hat).
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Nixda
Anmeldungsdatum: 26.11.2010
Beiträge: 49
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| Nixda Verfasst am: 23. Feb 2011 13:49 Titel: |
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Vielen Dank, zweierlei noch:
Was genau sagt das Ergebnis nun aus? Bzw. wie kommt man auf die 'Idee' (Der Kontext / Nutzen) die Poisson-Klammer von  und berechnen zu wollen?
Kann man mir vll. noch weitere Beispiele zur Uebung nennen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18108
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| TomS Verfasst am: 23. Feb 2011 14:41 Titel: |
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Die Poissonklammern einer Größe A mit der Hamiltonfunktion H ergeben die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen; man interpretiert das so, dass H der Generator der Zeitentwicklung ist. Wenn H nicht explizit von der Zeit abhäng ist, ist insbs. dH/dt=0 und damit die Energie E erhalten.
Genauso kann man andere Größen als Generatoren auffassen. So erzeugt der Impuls P Translation, der Drehimpuls L Rotationen. Wiederum gilt, dass bei Vorliegen einer Symmetrie (Translationsinvarianz, Rotationsinvarianz) die entsprechenden Generatoren P und L Erhaltungsgrößen entsprechen, d.h. dP/dt=0 und dL/dt=0; die kanonischen Bewegungsgleichungen dieser Größen folgen aber wieder aus den Poissonklammern {P,H} und {L,H}. D.h. die Poissonklammern sind die zentralen Objekte bei der Übersetzung von Dynamik, Symmetrien / Invarianzen sowie Erhaltungsgrößen in die Hamiltonsche Formulierung.
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