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thurisaz
Anmeldungsdatum: 13.10.2010
Beiträge: 7
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 thurisaz Verfasst am: 13. Okt 2010 15:50 Titel: Metrik in ART und Physik hinter ko/kontravarianten Ausdrücke |
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Hallo,
ich würde egrn wissen ob es einen physikalischen Unterschied zwischen kovarianten und kontravarianten Ausdrücken (vorallem Vektoren) gibt, oder sind diese wirklich nur Definitionen aufgrund ihres unterschiedlichen Transformationsverhaltens?
Außerdem habe ich noch einige Fragen zur Metrik:
1. Man sagt ja, dass der Abstand zwischen 2 Punkten gegeben ist durch:
Dies ist ja denk ich die Definition der Metrik, woran sehe ich dann, dass ich Indizes mit Hilfe der Metrik heben und senken kann? Dies ist immer in den Büchern irgentwie als Tatsache dargestellt. Aber woher weiß man, dass das resultierende Objekt gerade auf die richtige Weise mit meinem Ausgangsobjekt verbunden ist? (sry weiß nich genau wie ichs ausdrücken soll)
Aber man könnte ja z.B. jeden anderen kovarianten Tensor 2. Stufe nehmen, um aus einem kontravarianten Vektor einen kovarianten zu machen (oder nich?)
2. Es gilt ja
Was ist der Grund dafür? Ich habe mir überlegt, dass wenn ich mit der Metrik Indizes heben und senken kann, müsste ja durch einmal heben und einmal senken gerade wieder mein Ausgangsobjekt herauskommen, also desshalb die obere Gleichung gelten. Liege ich da richtig, oder gibt es noch eine andere Erklärung?
3. In meinem ART Buch, dass ich gerade lese steht: "Jedes symmetrische kovariante Tensorfeld zweiter Stufe definiert eine Metrik"
Ist diese Behauptung offensichtlich, weil es steht nichts weiter dazu geschrieben? Ich denke mir, dass es symmetrisch sein muss, weil ja wenn ich den Abstand zweier Punkte berechne dieser gleich sein muss (also in beide Richtungen). Oder ist es eher so, dass sich zu solchem Tensorfeld ein Koordinatensystem finden kann, indem das Tensorfeld die Eigenschaften einer Metrik hat?
Wie ihr seht bin ich da überall ein bisschen verwirrt mit Metriken,Koordinatensystemen und Tensoren/ -feldern 
Danke schonma im Vorraus
thurisaz |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18109
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| TomS Verfasst am: 13. Okt 2010 20:37 Titel: Re: Metrik in ART und Physik hinter ko/kontravarianten Ausdr |
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Hallo,
Zu 1)
definiert nicht den Abstand zweier Punkte, sondern die "Länge" von 
Der "Abstand" zweier Punkte wäre duch die Bogenlänge einer sie verbindenden Geodäten definiert, d.h.
 = \text{min}_C \int_C ds)
Im Falle einer Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit funktioniert das nicht ganz so einfach, denn da kann der Abstand auch negativ sein, d.h. man muss je nach raumartigem oder zeitartigem Abstand eine Fallunterscheidung bzgl. Vorzeichen und min bzw. max. machen.
Zu 2)
Es gilt
Damit ist
Zu 3. "Jedes symmetrische kovariante Tensorfeld zweiter Stufe definiert eine Metrik".
Na ja, man muss sich überlegen, was für eine Metrik im mathematischen Sinne gelten muss (positiv definit - enfällt im Pseudo-Riemannschen Fall, symmetrisch, invertierbar!); insofern ist die Definition einigermaßen nachvollziehbar, aber der letzte Punkt fehlt m.E. in der Definition.
Aber in der ART hat man es mit Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten zu tun und da gilt m.W.n immer die kovariante Konstanz der Metrik (Metrik-Kompatibilität des Zusammenhangs), d.h.
_a = 0)
Dabei ist  die bzgl. g (mittels der Christoffelsymbole) definierte kovariante Ableitung.
Welches Buch ist das denn?[/latex]
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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thurisaz
Anmeldungsdatum: 13.10.2010
Beiträge: 7
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| thurisaz Verfasst am: 13. Okt 2010 22:52 Titel: |
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also danke schonmal für die Antwort
zu 1. ja stimmt, dass habe ich etwas falsch formuliert, aber mit das mit dem Heben und Senken beantwortet es ja auch nicht
zu 2. diese Gleichung gilt ja denk ich, weil  das Inverse von  ist, aber warum ist das Inverse dann gerade der kontravariante Tensor?
zu3. das buch ist: ray d'inverno "Einführung in die Relativitätstheorie"
aber ich sehe nich wieso jedes Kovariante Vektorfeld die Gleichung erfüllen sollte
sie folgt jedoch meiner meinung nach nur aus anderem und sollte desshalb nich als begründung gelten |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18109
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| TomS Verfasst am: 14. Okt 2010 00:28 Titel: |
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| thurisaz hat Folgendes geschrieben: | | zu3. ... aber ich sehe nich wieso jedes Kovariante Vektorfeld die Gleichung erfüllen sollte |
Diese Gleichung ist eine Verallgemeinerung der Vektorgleichung "div v = 0" auf krummlinige Koordinaten und für Tensorfelder. Die Eigenschaft der Metrik ist die sogenannte "kovariante Konstanz".
Es ist gerade so wie du sagst, dass nämlich nicht jedes beliebige Tensorfeld diese Gleichung erfüllt (der Energie-Impuls-Tensor erfüllt die Gleichung; dies entspricht der lokalen Energie-Impuls-Erhaltung). Aber deiner Aussage zufolge kann man mittels eines zweistufigen Tensorfeldes immer eine Metrik definieren. Ich behaupte aber, dass dies i.A. nicht stimmt, sondern dass noch Zusatzeigenschaften gelten müssen.
Die komplizierteste ist diese sogenannte kovariante Konstanz. Sie muss m.W.n. nicht zwingend gelten, aber sie gilt immer in der ART; soweit ich weiß liegt dies daran, dass man sich in der ART auf den Spezialfall der Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten bechränkt. Das bedeutet, dass in der ART eben nicht jedes beliebige Tensorfeld als Metrik herhakten kann.
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