Herleitung für das Weg-Zeit-Gesetz

planck1858 · Anmeldungsdatum: 06.09.2008 Beiträge: 4542 Wohnort: Nrw

Hallo,

ich möchte das Weg-Zeit-Gesetz herleiten.

Aber wie kann ich das machen?

Brauch ich dazu nicht erst die Herleitung für das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz?

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Das Weg-Zeit-Gesetz, wofür genau? Ausgangspunkt wird allgemein wohl in der Regel eine Bewegungsgleichung sein.

planck1858 · Anmeldungsdatum: 06.09.2008 Beiträge: 4542 Wohnort: Nrw

Der Link hilft mir jetzt eher weniger weiter, ich möchte einfach nur wissen, wie ich mir das schon genannte Gesetz welber herleiten kann. Tanzen

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

geschwindigkeit ist definiert als:

Damit ist

Da gibt es nicht viel herzuleiten, es ergibt sich aus der Definition von v.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

ich glaube eher das sich v aus der Definition des Weg Zeit Gesetzes ergibt.
Das Weg Zeit gesetz wie schon schnudel sagt kann man nicht herleiten das ergibt sich aus dem fundamentalen Gedanken der Multiplikation in der Mathematik.

Wenn ich pro Mädchen 2 Arschbacken habe. dann hab ich bei 10 Mädchen
10*2 = 20 Arschbacken bei 15 Mädchen 30 Arschbacken.

Der Grundgedanke beim weg zeit gesetz war einfach.

Wenn ich in jeder Sekunde das gleiche zurücklege, dann muß ich nur das was ich in einer Sekunde zurücklege mit dem Multiplizieren wieviel Sekunden ich mich bewegt habe.
das was ich in einer Sekunde zurücklege hat man v genannt, die Geschwindigkeit
und dann einfach hingeschrieben s=v*t und das ganze dann Weg Zeit Gesetz genannt
Eine ganz simple Muliplikation.
Alles weitere ergibt sich aus diesem Gesetz.

planck1858 · Anmeldungsdatum: 06.09.2008 Beiträge: 4542 Wohnort: Nrw

Das Weg-Zeit-Gesetz ist ja:

s=v_0*t+0,5*a*t²+s_0

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Hättest du das schon im ersten Beitrag geschrieben hätten wir wesentlich schneller zum Ziel kommen können. Es gibt nicht das Weg-Zeit-Gesetz. Darauf wollte ich in meinem Beitrag oben hinaus. Augenzwinkern

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Nein das Weg Zeit gesetz ist s=v*t es beschreibt die Abläufe bei konstanter Steigung (Geschwindigkeit) also wenn ich jede Sekunde das gleiche zurücklege.
Den Grundgedanken der Multiplikation.
Pro Einheit immer dasselbe.

Dein Gesetz beschreibt die Beschleunigte Bewegung

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Wir haben eigentlich zu allem was die Form s(t) hatte Weg-Zeit-Gesetz gesagt (eben mit Nachsatz: der gleichmäßig beschleunigten Bewegung, der harmonischen Schwingung, etc.). Gibt es dazu eine "richtige" Definition (rein aus eigenem Interesse)?

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Weg-Zeit-Gesetz der konstanten Beschleunigung? gg

Es ist ja eben einfach das Basis Weg Zeit gesetz angewandt auf kleine Zeiträume dt->0 in denen man die Geschwindigkeit wieder als konstant annehmen kann, sonst könnt ma gar nix berechnen.
Alles beruht darauf für einen kleinen Zeitraum alles als konstant anzusehen.um dann mit unseren simplen multipaktions Methoden zu rechnen. 10 Kühe pro Bauer 10 Bauern 100 kühe Augenzwinkern

. sonst könnt ma gar nix berechnen. keine Integration keine Differenzierung und unser Glück dabei ist das der Fehler minimal ist.

Steel93 · Anmeldungsdatum: 30.03.2009 Beiträge: 166

Also, wenn du weißt doch, dass für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung für die Geshwindigkeit das Gesetz v=at gilt. Wenn du jetzt noch eine bestimmte Anfangsgeschwindigkeit v0 hast, dann ergibt sich ja, was auch logisch ist:
v=at+v0
Zu dieser Art von Bewegung kannst du dir ja ein t-v-Diagramm skizzieren (eine Gerade, die an dem Punkt v0 (nicht mit dem Koordinatenursprung verwecheln!) die v-Achse schneidet).
Nun kannst du (wie wir es in unserer Klasse bei der gleichförmigen Bewegung etc. gemacht haben) überlegen, dass der zurückgelegte Weg, der Fläche zwischen der t-Achse und der v(t)-Funktion entspricht. Diese Fläche kannst du auf zwei Varianten ermitteln:
1.) Mithilfe der Integralrechnung.
oder
2.) einfach in deiner Skizze deine Fläche mithilfe von Variablen bezeichnen.

Zu 1.)
Hierzu muss man wissen, dass die Geschwindigkeit die Ableitung des Weges nach der Zeit ist, d.h. also:
v=ds/dt
Umgeformt nach ds ergibt das also:
ds=v*dt
An dieser Stelle muss man integrieren (da die Summe aller unendlich kleiner Wegstücke den gesamten zurücklegten Weg ergibt) und setzt für v dann das oben gefundene Gesetz ein ("int" steht für das Integralzeichen):
s=int(ds)=int(v*dt)=int((a*t+v0)*dt)=int(a*t*dt)+int(v0*dt)=0,5*a*t^2+v0*t + C
wobei C ein bestimmter (unbekannter) Wert ist, der generell bei jeder Integration angefügt werden muss. In diesem Fall ist es der Anfangsweg, also sozusagen der Weg den man bereits zur Zeit t=0 besitzt (=> y-Achsenabschnitt).

Zu 2.)
Aus deiner Skizze sollte man erkennen, dass die Fläche zwischen Funktion und t-Achse aus einem Rechteck und einem Dreieck (halben Rechteck) besteht. Das untere Rechteck hat die Seitenlängen v0 und t, also den Flächeninhalt A_1=v0*t.
Das obere Rechteck besitzt die Seiten von (v-v0) und t. Folglich besitzt die Hälfte davon den Flächeninhalt A_2=(v-v0)*t/2
Es ergibt sich also für den zurückgelegten Weg/der Gesamtfläche:
s=A_ges=A_1+A_2=v0*t+(v-v0)*t/2
An dieser Stelle benötigen wir noch einmal das v-t-Gesetz von oben, denn wir möchten für (v-v0) einen anderen Ausdruck finden:
v=a*t+v0 <=> v-v0=a*t
Also setzen wir das in die Gleichung für den zurücklegten Weg ein:
s=v0*t+a*t*t/2=0,5*a*t^2+v0*t
Nun erscheint es logisch, dass wenn wir noch einen zusätzlichen Anfangsweg (=s0) besitzen, dass die einfach hinzuaddiert werden muss, also kommt man zu:
s=0,5*a*t^2+v0*t+s0

Ich hoffe, du kannst mindestens eine Herleitung gebrauchen Augenzwinkern

Mfg,
Steel93

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Um das mal etwas zusammenzufassen: Wenn die Geschwindigkeit definiert ist als die erste Ableitung und die Beschleunigung als die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit, dann ist umgekehrt die Geschwindigkeit das Zeitintegral der Beschleunigung und der Weg das Zeitintegral der Geschwindigkeit.

v = int(a*dt) + K (K aus Anfangsbedingung)

Für den Fall, dass a = const, ergibt sich

v = a*t + v0

s = int(v*dt)

s = 0,5*a*t² + v*t + s0