Stabilitätskriterium Ruhelage Pendel [Theoretische Physik]

Herbststurm · Anmeldungsdatum: 05.09.2008 Beiträge: 412 Wohnort: Freiburg i. Brsg.

Hallo,

ich scheiter am mathematischen Pendel traurig

Konkret dem Stabilitätskriterium. Die Aussage ist:

ist Ruhelage und stabil, wenn A reel quadratisch ist und

Den Beweis zur obigen Aussage über das Eigenwertproblem verstehe ich prinzipiell. Es wird jedoch ein Argument genutzt, das ich nicht kapier unglücklich

Es wird behauptet, dass die stabile Ruhelage immer ein lokales minimum einer Ljapunow-Funktion sei. Den Beweis zu genau dieser Aussage hat eine Seltsame Tücke, konkret bei der Zeit. unglücklich

Also man hat eine offene Menge

und ein lokal Lipschitz-stetiges Vektorfeld

und den besagten Ruhepunkt des Pendel

von

. Die Ljapunow-Funktion für

ist definiert als:

. Wenn also nun

Ruhelage von

ist und

in

ein striktes lokales Minimum, dann ist

stabil.

Wenn man nun eine Umgebung

um den Punkt

hat und diese schrittweise verkleinert, findet man im Fall von Stabilität eine neue Umgebung

für die gilt:

gilt die Lösung

des Anfangswertsproblems

, die Relation

Weil

an

ein striktes Minimum besitzen soll, gibt es eine Umgebung

von

mit der Eigenschaft:

Sei nun

so klein, dass

gilt.

Da die Ljapunow-Funktion V stetig ist, nimmt sie auf der kompakten Menge

ihr Minimum an. Deswegen ist das Minimum

Wegen der Stetigkeit von

ist

eine offene Menge, die

enthät, also eine Umgebung von

Zu zeigen bleibt nun noch, dass die für alle Zeiten gilt.

Hier hat es bei diesem Schritt bei mir ausgeschalten unglücklich

Was ist da passiert? Wieso bildet man plötzlich die Komposition aus V und Phi? Hilfe

Das er es nach der Zeit ableitet ist ja klar, aber warum diese Verkettung... grübelnd

Danke für Hilfe smile

Grüsse

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich muss gestehen, dass sich das ganze für mich ziemlich mathematisch anfühlt, und dass ich beim Lesen dieser mathematischen Ausdrücke ständig nach Bildern wie "wenn ich eine Murmel innerhalb einer Mulde starten lasse, (unter gewissen Anfangsbedingungen?), dann bleibt sie drin" gesucht habe Augenzwinkern

aVague · Anmeldungsdatum: 04.10.2008 Beiträge: 186

Groblich zu sagen , ist

fur

Losung, dann wird

,aber

und dann bekommst du

Herbststurm · Anmeldungsdatum: 05.09.2008 Beiträge: 412 Wohnort: Freiburg i. Brsg.

Danke für die Antworten.

Ich muss die Thematik leider neben einigen anderen bis zur nächsten vorlesungsfreien Zeit auf Eis legen...

Die Vorlesungen haben wieder begonnen was den Vorteil hat mit ganz neuem Stoff endlich wieder so richtig überfordert und in Zeitdruck zu sein, (mittlerweile habe ich fast Spaß drann), aber lernen in eigener Sache geht jetzt wieder nicht mehr unglücklich

Aber das Thema bleibt mit Sicherheit im Hinterkopf Thumbs up!

Gruß