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Final-Hope
Gast
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 Final-Hope Verfasst am: 15. Okt 2007 20:50 Titel: Michelson-Morley-Experiment |
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Hallo!
Es geht um das MM-Experiment.
Ich verstehe nicht, wie ich mit diesen zwei Termen:
 und
auf die Zeitdifferenz von
komme.
Gruß
Final-Hope
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t.t.
Anmeldungsdatum: 04.10.2007
Beiträge: 113
Wohnort: Konstanz
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| t.t. Verfasst am: 16. Okt 2007 12:31 Titel: |
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Hi Final-Hope,
ich kann leider mit den angebenen Formeln nichts anfangen (und komme auch ohne Wüste näherungen nicht auf das "geforderte" Ergebnis).
Wenn mich nicht alles Täuscht stellt Deine zweite Formel die Zeit dar, die ein Lichtstrahl benötigt um bei einer Bewegung paralell zum Strahlverlauf die Strecke  zweimal zu durchlaufen. Das ist nachvollziebar und richtig:
Ein Problem habe ich mit der ersten Formel, die vermutlich die Laufzeit des Lichtstahls senkrecht zur bewegung darstellen soll. Meines Wissens ist diese Zeit durch
gegeben. Aber auch mit diesen Formeln komm ich nicht auf die gesuchte Lösung... 
Gruß T.T.
_________________
Steter Tropfen höhlt den Stein....
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5789
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| as_string Verfasst am: 16. Okt 2007 13:47 Titel: |
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Ich denke, das soll eher die Zeit sein, die das Licht ganz ohne "Ätherwind" bzw. in Ruhe für eine der Strecken braucht.
Für die Differenz aus beiden komme ich übrigens dann auf den selben Zähler, nur im Nenner steht dann eben ein c³-c·v², das ja definitiv etwas anderes ist. Ich kann mir das nur so erklären, dass man hier den zweiten Summanden vielleicht weglassen kann, wenn die Geschwindigkeit v viel kleiner als c ist. Ich habe aber keine Ahnung, ob das sinnvoll ist...
Gruß
Marco
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Final-Hope
Gast
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| Final-Hope Verfasst am: 16. Okt 2007 14:03 Titel: |
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Hi T.T., Hi Marco!
Danke für Eure Antworten!
Ich kann mir das nur so erklären, dass mein Buch schon wieder einen Fehler gemacht hat. Auch bei meiner Internetrecherche bin ich nicht auf dieses Ergebnis gestossen. Ich hab die Seite einfach hier mal mit eingescannt, vielleicht könnt Ihr dann nach voll ziehen, was die schon wieder meinen; ich hab keine Ahnung. Vielleicht, hab ich auch einfach nur einen Denkfehler gemacht.
PS: Ja T.T., ich hab den c+v bzw. c-v Bruch schon zusammen gefasst; im Buch steht das noch in 2 Summanden.
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5789
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| as_string Verfasst am: 16. Okt 2007 15:22 Titel: |
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Hallo!
Da kann ich Dir nur raten: Nimm ein anderes Buch! Wie t.t. schon geschrieben hat: Der zur Flugrichtung der Erde senkrechte Strahl bräuchte mit Äther länger als die 2L/c. Man muss da noch den Pythagoras rein bringen. 2L/c bräuchte das Licht, wenn kein Ätherwind vorhanden wäre (oder eben in der SRT, weil dort eben die Lichtgeschwindigkeit auch auf der bewegten Erde c und isotrop ist).
Wenn dann noch die Endformel falsch ist... ich weiß nicht. Was ist das denn für ein Buch, bei dem in einer doch eher einfachen Herleitung zum MM-Experiment gleich zwei Fehler rein drin sind?
Gruß
Marco
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Final-Hope
Gast
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| Final-Hope Verfasst am: 16. Okt 2007 20:03 Titel: |
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Hallo Marco!
Das Buch heißt: Physik verstehen und ist vom Verlag Facultas (UTB).
Das war leider nicht der einzige Fehler im Buch; sogar die Bedingung für die Formel des Massenmittelpunkts war falsch:
http://www.physikerboard.de/topic,9530,-herleitung-der-formel-des-massenmittelpunkts.html
Ich habe mir dieses Buch nur gekauft, weil das Chemiebuch aus der Reihe so gut ist (Chemie verstehen). Da ich absolut keinen Plan von Chemie und Physik habe, habe ich mir diese Anfängerbücher geholt, in dem alles von Anfang an für Idioten erklärt ist. Mit dem Chemiebuch bin ich sehr zufrieden, aber das Physikbuch ist sehr schlecht. Nicht nur wegen der Fehler, sondern auch weil es sehr miserabel erklärt, vor allem, wenn man keine Ahnung von Physik hat.
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t.t.
Anmeldungsdatum: 04.10.2007
Beiträge: 113
Wohnort: Konstanz
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| t.t. Verfasst am: 17. Okt 2007 08:55 Titel: |
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Morgen Final-Hope, as_string
ich hab jetzt nochmal ein bisschen runprobiert und komme mit einer Näherung aus den korrekten Formeln auf das geforderte Ergebnis.
Klar sollte sein, dass sich die Laufzeitdifferenz ergibt als:
Jetzt hilft eine Taylorentwicklung von  für kleines <<1) .
Wir definieren nun mal  und substituieren dieses im Ausdruck und können nun relativ gut die Taylor komponenten ausrechnen, denn es ist:
Eingesetzt in die Taylorentwicklung
+\left.\frac{\dd}{\dd x}\Delta T\right|_{x=0}\cdot x+\frac{1}{2}\left.\frac{\dd^2}{\dd x^2}\Delta T\right|_{x=0}\cdot x^2+\frac{1}{6}\left.\frac{\dd^3}{\dd x^3}\Delta T\right|_{x=0}\cdot x^3+O(x^4)\\&=&\frac{1}{2}\frac{2L}{c}x^2+O(x^4)=\frac{Lv^2}{c^3}+O\left(\frac{v^4}{c^4}\right))
Der letzte Term besagt , dass dieser Teil der Taylorreihe mit  "abfällt". Da wir fordern  kann dieser vernachlässigt werden, und wir finden das gesuchte Ergebniss.
Wäre blos schön, wenn in einem Lehrbuch zumindest davon gesprochen würde, dass dies nur das näherungsweise Ergebnis ist oder vielleicht sogar gezeigt würde wie man auf ein solchiges kommt. 
Ich hoffe ich konnte helfen
Gruß T.T.
PS: Jetzt weiß man wenigstens welches Buch nicht zu empfehlen ist 
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Final-Hope
Gast
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| Final-Hope Verfasst am: 17. Okt 2007 11:17 Titel: |
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Hey T.T. , vielen Dank für Deine Hilfe und dafür, dass Du Dir extra so viel Mühe gemacht hast!!!
Leider kann ich Deine Rechnung nicht nach voll ziehen, da mir die Rechenoperationen mit der Taylorreihe unbekannt sind. Aber ich glaube verstanden zu haben, dass sie dazu dient komplizierte Terme als Potenzreihen dar zu stellen und somit vereinfacht. Allerdings kriegt man ungenauere Ergebnisse als zuvor.
Aber es ist erfreulich zu hören, dass mein Buch in diesem Falle wenigstens mal keinen Fehler gemacht hat! : )
Was ich noch nicht ganz verstehe, sind die Terme die Du für die Bestimmung der Zeitdifferenz angibst. Ich dachte, dass für den 1. Lichtstrahl gilt:
und den zweiten:
Du hast aber irgendwie ganz andere Terme benutzt.
Den Term
dachte ich, bekäm man als Verhältnis, wenn man die beiden Lichtstrahlenzeiten dividiert. Und ich habe angenommen, dass man sie nur subtrahieren muss, um die Differenz zu erhalten. 
Gruß
Cornelius
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t.t.
Anmeldungsdatum: 04.10.2007
Beiträge: 113
Wohnort: Konstanz
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| t.t. Verfasst am: 17. Okt 2007 12:25 Titel: |
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Ist ja auch nur subtrahiert..
\\ &=&2L\left(\frac{c-c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{c^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}\right)\\ &=&\frac{2L}{c}\frac{1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{v^2}{c^2}})
Und noch was zur Taylorreihe:
Eine differenzierbare Funktion f(x) kann in der Umgebung eines Funktionswertes x_0 durch die Taylor-Reihe dargestellt werden:
=\sum_{n}\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n)
Dabei bedeutet }) die n-te Ableitung der Funktion.
Je nach dem wie "genau" man eine Funktion approximieren möchte bricht man in der Praxis die Taylorreihe ab und sagt der Fehler der Approximation ist in der Ordung ^n) (soll bedeuten der Fehler lässt dich durch eine Funktion  abschätzen).
In meiner Rechnung ist der Punkt der Entwicklung  . Man interessiert sich ja in erster Linie für die kleine Geschwindigkeitsverhältnisse .
Gruß T.T.
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Final-Hope
Gast
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| Final-Hope Verfasst am: 17. Okt 2007 20:14 Titel: |
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Guten Abend T.T.!
Tut mir leid, ich hab noch meine Probleme mit Termumformungen....
Und vielen Dank dafür, dass Du es mir noch einmal Schritt für Schritt erklärt hast. : )
Nur kann ich die Rechenoperationen mit der Taylorreihe immer noch nicht nach vollziehen (bzw. wie man die Taylorreihe durchführt, anwendet).
Du hast paar x se in die Gleichung eingebaut und mit manchen hast Du Terme ersetzt und durch andere nicht hmm... Du hast für v/c x einegsetzt, aber warum hast Du dann hinter den 2L noch x se zusätslich eingefügt, obwohl da kein v/c war? Und das Du x dann einfach null gesetzt hast versteh ich auch nicht. : ( Und woher man weiß, welches Glied des Terms man einfach x setzen darf.
Aber ich denke, dass wäre wohl etwas zuviel verlangt, mir hier die Taylorrechnung bei zu bringen.
Ach, und kann es sein, dass das Ergebnis ca. 20% Abweichung hat, wenn man es mit der Formel von der Taylorreihe ausrechnet?
Gruß
Cornelius
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t.t.
Anmeldungsdatum: 04.10.2007
Beiträge: 113
Wohnort: Konstanz
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| t.t. Verfasst am: 18. Okt 2007 14:56 Titel: |
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Hi Final-Hope
zu der Taylor-Entwicklung hab ich in diesem Thread ein bisschen was geschrieben.
Gruß T.T.
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Final-Hope
Gast
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| Final-Hope Verfasst am: 18. Okt 2007 17:07 Titel: |
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Hey, cool, danke!!! : ) : ) : )
Ich werde das durcharbeiten bzw. versuchen zu verstehen! : )
Und kann das sein, dass in unserem Fall eine 20%ige Abweichung des Ergebnis stattfindet?
Und noch eine Frage zur Lichtgeschwindigkeit:
Das MM-Experiment hat gezeigt, dass die LG die Grenzgeschwindigkeit ist, sprich es sind keine höheren Geschwindigkeiten erreichbar. Die Geschwindigkeit der Erddrehung erhöht bzw. beeinflusst die LG nicht. Das dies gilt, wenn der Lichtstrahl sich mit der Erddrehung bewegt, ist mir klar, aber warum kann das Licht nicht abgebremst werden, wenn es sich gegen die Erddrehung bewegt??? Theoretisch, wirkt doch eine Kraft auf den Lichtstrahl, der ihn eigentlich abbremsen müsste, wie ist das zu erklären, dass dies nicht geschieht?
Gruß
Cornelius
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t.t.
Anmeldungsdatum: 04.10.2007
Beiträge: 113
Wohnort: Konstanz
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| t.t. Verfasst am: 18. Okt 2007 19:34 Titel: |
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Abend Cornelius,
wie kommst du auf eine Abweichung von 20%. Wenn mich nicht alles täuscht müsste diese um einiges weniger sein.
So, dann mal zum MM-Experiment. Der Sinn des Experiments war nicht die Lichtgeschwindigkeit als höchst mögliche Geschwindigkeit nachzuweißen. (Wüsste auch nicht wie das durch den Versuch möglich sein sollte...) Es wurde lediglich gezeigt, dass das Licht kein Medium besitzt in dem es sich ausbreitet. Vor dem Experiment dachte man Licht bewege sich im Äther forwärts.
Jetzt zum Licht: Vorsicht mit der Aussage "Kraft auf den Lichtstrahl". Um nicht in die philosophische Frage was Licht nun ist abzurutschen, nur soviel. Manchmal verhällt sich Licht wie eine Welle (genauer gesagt ist Licht eine elektromagnetische Welle), allerdings verhällt sich das Licht auch manchmal wie Teilchen (Photonen). Zwar kann man diesen einen Impuls (aufgrund ihrer Energie zuordenen) aber eine Masse haben sie nicht und sie reagieren nicht (oder nur im geringem Maße) auf Kraftfelder wie das Gravitationsfeld oder elektrische/magnetische Felder.
Jetzt kam Einstein und postullierte die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in jedem Intertialsystem, also egal ob man sich entgegen oder mit dem Licht bewegt, das Licht hat in deinem System immer die gleiche Geschwindigkeit. Weshalb sich das Licht so verhällt ist mir leider nicht bekannt, aber man kann viele Phänomene damit erklären (und das ist ja der Sinn der Physik).
Hoffe ich konnte Deine Frage damit beantworten....
Ansonsten einfach noch mal Fragen
Gruß T.T.
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Final-Hope
Gast
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| Final-Hope Verfasst am: 18. Okt 2007 20:20 Titel: |
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Ja danke! : )
Wenn ich das richtig verstehe, ist das Licht schon durch äußere Einflüsse beinflussbar, aber nur so gering, dass es von keiner Relevanz ist, bzw. dass man es messen könnte.
Ich hab in die beiden Formeln einfach mal x-beliebige Zahlen eingesetzt (auch für c!) und deshalb bin ich wohl auf so unterschiedliche Ergebnisse gekommen, da man wohl c als LG nehmen muss, sonst funktioniert es nicht.
Gruß
Cornelius
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t.t.
Anmeldungsdatum: 04.10.2007
Beiträge: 113
Wohnort: Konstanz
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| t.t. Verfasst am: 18. Okt 2007 20:58 Titel: |
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| Final-Hope hat Folgendes geschrieben: |
Wenn ich das richtig verstehe, ist das Licht schon durch äußere Einflüsse beinflussbar, aber nur so gering, dass es von keiner Relevanz ist, bzw. dass man es messen könnte.
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Ja, man kann Licht durch "äußere" Einflüsse beeinflussen. Beispielweise durch sehr hohe Graviation (schwarzes Loch), das spielt aber hier keine Rolle. Was man nicht beeinflussen kann ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, die ist konstant.
| Final-Hope hat Folgendes geschrieben: |
Ich hab in die beiden Formeln einfach mal x-beliebige Zahlen eingesetzt (auch für c!) und deshalb bin ich wohl auf so unterschiedliche Ergebnisse gekommen, da man wohl c als LG nehmen muss, sonst funktioniert es nicht.
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Den Fehler musst du schon mit realistischen Werten rechnen. Lichtgeschwindigkeit bei ca  , die Geschwindigkeit der Erde ist ungefähr  . Porbiers mal damit.
Gruß T.T.
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Final-Hope
Gast
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| Final-Hope Verfasst am: 19. Okt 2007 11:27 Titel: |
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Hi T.T.!
Leider krieg ich das nicht hin. : ( Die Zahlen sind mir zu hoch, ich hab keine Ahnung wie ich das in den Taschenrechner eingeben soll. Ich bekomme dauernd andere Ergebnisse bzw. SYNTAX ERROR. Nach einer halben Stunde hab ich aufgegeben.
Egal, ich weiß ja dass es stimmt! : )
Gruß
Cornelius
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L (Ryuzaki)
Anmeldungsdatum: 16.02.2008
Beiträge: 22
Wohnort: Duisburg
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| L (Ryuzaki) Verfasst am: 16. Feb 2008 22:34 Titel: |
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| t.t. hat Folgendes geschrieben: |
Ist ja auch nur subtrahiert..
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Kann mir jemand bitte nochmal den Schritt von Zeile 2 in Zeile 3 erklären? Da komme Ich nicht ganz mit :S Und Zeile 3 bis Zeile 4 merk Ich auch gerade, dass Ich da nicht ganz hintersteig :S
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mitschelll
Anmeldungsdatum: 06.12.2007
Beiträge: 362
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| mitschelll Verfasst am: 16. Feb 2008 23:06 Titel: |
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2 auf 3: Auf einen Nenner bringen, im Zähler  und im Nenner  ausklammern.
3 auf 4:
Aus der großen Klammer wird vom Zähler das vorher ausgeklammerte  und aus dem Nenner das  ausgeklammert. Dann steht vor der großen Klammer 
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L (Ryuzaki)
Anmeldungsdatum: 16.02.2008
Beiträge: 22
Wohnort: Duisburg
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| L (Ryuzaki) Verfasst am: 16. Feb 2008 23:14 Titel: |
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Ah, danke, jetzt bin Ich auch hintergestiegen ^^ 
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L (Ryuzaki)
Anmeldungsdatum: 16.02.2008
Beiträge: 22
Wohnort: Duisburg
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| L (Ryuzaki) Verfasst am: 17. Feb 2008 13:08 Titel: |
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| t.t. hat Folgendes geschrieben: |
Wir definieren nun mal und substituieren dieses im Ausdruck und können nun relativ gut die Taylor komponenten ausrechnen, denn es ist:
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Wie kommt man auf die Ableitung?
Ich bekomme raus, dass die Ableitung
}{(1-x^2)^2}])
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 17. Feb 2008 14:16 Titel: |
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^2} \left [ \frac{2x}{2\sqrt{1-x^2}} (1-x^2) + 2x (1-\sqrt{1-x^2})\right ] =)
^4} \left [ \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} + 2x - 2x \sqrt{1-x^2} \right ] =)
^5} \left [ x - x^3 + 2x \sqrt{1-x^2} - 2x (1-x^2) \right ]=)
^5} \left [ 1 - x^2 + 2 \sqrt{1-x^2} - 2 + 2x^2 \right ] = )
^5} )
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L (Ryuzaki)
Anmeldungsdatum: 16.02.2008
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| L (Ryuzaki) Verfasst am: 17. Feb 2008 14:26 Titel: |
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Ah, danke ^^
Aber dann hab Ich noch ein Problemchen:
Warum steht in der 1. Zeile meiner Quotierung Dieser Term = 0?
Und warum fällt bei quadrieren des ganzen der ganze Rechte Teil weg und beim Exponenten 3 alles?
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 17. Feb 2008 14:35 Titel: |
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Nicht dieser Term ist Null, sondern er ist für x=0 Null.
Auch ist das kein Quadrat sondern die 2. bzw. 3. Ableitung.
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L (Ryuzaki)
Anmeldungsdatum: 16.02.2008
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| L (Ryuzaki) Verfasst am: 17. Feb 2008 14:41 Titel: |
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Achso ^^ Und wir nehmen den Zeitpunkt x = 0, weil uns die Umgebung des Punktes 0 interessiert, da die efektive Armlänge in Bezug auf c sehr klein ist, oder wie argumentiert man das?
Also, wenn man Zeile 2 ableitet so soll alles wegfallen ausser  ?
Oder benutzt man hier den Trick, das man den rechten Bruch einfach mit seinem Kehrwert multipliziert, da auf der rechten Seite 0 steht ändert sich nichts, man leitet ab, das einzelne x fällt weg und wir haben unser Ergebnis?
Zuletzt bearbeitet von L (Ryuzaki) am 17. Feb 2008 15:14, insgesamt einmal bearbeitet |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 17. Feb 2008 14:56 Titel: |
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| L (Ryuzaki) hat Folgendes geschrieben: | | Achso ^^ Und wir nehmen den Zeitpunkt x = 0, weil uns die Umgebung des Punktes 0 interessiert, da die efektive Armlänge in Bezug auf c sehr klein ist, oder wie argumentiert man das? |
Es ist eine Nährung, die funktioniert weil die Geschwindigkeit v viel kleiner ist als die Lichtgeschwindigkeit:
| t.t hat Folgendes geschrieben: | | Jetzt hilft eine Taylorentwicklung von für kleines . |
| L (Ryuzaki) hat Folgendes geschrieben: | Also, wenn man Zeile 2 ableitet so soll alles wegfallen ausser  ? |
Nein, wenn man es zum zweiten mal ableitet und wieder für x = 0 ausrechnet kommt das raus... kurze Überschlagsrechnung:
^5}\right ] = \frac{2L}{c} \left [\frac{ x^2 -1 + 2 \sqrt{1-x^2} }{(\sqrt{1-x^2})^5}\right ] + \frac{2Lx}{c} \cdot \frac{d}{dx} \left [ \frac{ x^2 -1 + 2 \sqrt{1-x^2} }{(\sqrt{1-x^2})^5}\right ])
Man erkennt sofort, dass dieser Term für x = 0 ist. Bei der dritte Ableitung ist es ähnlich.
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L (Ryuzaki)
Anmeldungsdatum: 16.02.2008
Beiträge: 22
Wohnort: Duisburg
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| L (Ryuzaki) Verfasst am: 17. Feb 2008 15:12 Titel: |
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Ok, dass der Term bei einsetzen so wird, sehe Ich ein.
Aber was muss Ich jetzt effektiv ableiten? Den Term, in dem Ich nicht x=0 eingesetzt habe, also der extrem lange von dir ausformulierte, oder einfach nur '=\frac{2L}{c})
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 17. Feb 2008 15:21 Titel: |
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Du musst den Term in dem du nicht x=0 eingesetzt hast ableiten. Denn es geht ja darum die Taylorreihe in der Umgebung für x=0 zu berechnen. Dazu benötigt man die Ableitungen dieser Funktion (in diesem Fall bis zur 3.) an der Stelle x =0.
Das ist auch der Grund warum t.t in die Ableitungen später für x 0 eingesetzt hat.
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L (Ryuzaki)
Anmeldungsdatum: 16.02.2008
Beiträge: 22
Wohnort: Duisburg
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| L (Ryuzaki) Verfasst am: 17. Feb 2008 16:10 Titel: |
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Aso, Ok ^^
Nur noch ne klitzekleine Frage:
Wie sehen denn die 2. und 3. Ableitung genau aus? Herleitung brauche Ich nicht, das wird zuviel 
PS : Mir würden auch schon die Formulierungen sehen, in denen man sofort sieht, was herauskommt, wenn man 0 einsetzt.
Danke
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 17. Feb 2008 17:18 Titel: |
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Für die 2. Ableitung hast du ja dieser Formulierung....
Für die 3. Ableitung:
^5}\right ] = \frac{d}{dx}\left [\frac{2L}{c} \left [\frac{ x^2 -1 + 2 \sqrt{1-x^2} }{(\sqrt{1-x^2})^5}\right ] + \frac{2Lx}{c} \cdot \frac{d}{dx} \left [ \frac{ x^2 -1 + 2 \sqrt{1-x^2} }{(\sqrt{1-x^2})^5}\right ]\right ]=)
^5}\right ] + \frac{2L}{c} \cdot \frac{d}{dx}\left [\frac{ x^2 -1 + 2 \sqrt{1-x^2} }{(\sqrt{1-x^2})^5}\right ] + \underbrace{\frac{2Lx}{c} \cdot \frac{d^2}{dx^2}\left [\frac{ x^2 -1 + 2 \sqrt{1-x^2} }{(\sqrt{1-x^2})^5}\right ] }_{0 \text{ für } x = 0})
Wenn du dir das mal ansiehst ist, dann siehst du die 3. Ableitung dann 0 für x = 0 ist, wenn gilt:
^5}\right ] = 0 \text{ für } x = 0)
^5}\right ] = \frac{1}{(1-x^2)^5} \left [ 2x - \frac{2x}{\sqrt{1-x^2}} \cdot (\sqrt{1-x^2})^5 + (x^2 -1 + 2 \sqrt{1-x^2}) \cdot 10x \cdot (\sqrt{1-x2})^3 \right ])
Wie du siehst ist jeder Summand ein Produkt mit x, damit ist für x = 0 die Summe 0, also auch diese Ableitung, damit auch die 3. Ableitung.
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L (Ryuzaki)
Anmeldungsdatum: 16.02.2008
Beiträge: 22
Wohnort: Duisburg
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| L (Ryuzaki) Verfasst am: 17. Feb 2008 20:32 Titel: |
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Danke
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L (Ryuzaki)
Anmeldungsdatum: 16.02.2008
Beiträge: 22
Wohnort: Duisburg
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| L (Ryuzaki) Verfasst am: 17. Feb 2008 20:51 Titel: |
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| pressure hat Folgendes geschrieben: | Für die 2. Ableitung hast du ja dieser Formulierung....
Für die 3. Ableitung:
Wenn du dir das mal ansiehst ist, dann siehst du die 3. Ableitung dann 0 für x = 0 ist, wenn gilt:
Wie du siehst ist jeder Summand ein Produkt mit x, damit ist für x = 0 die Summe 0, also auch diese Ableitung, damit auch die 3. Ableitung. |
Also, den Gedankengang für die 3. Ableitung verstehe Ich, aber es wird ja nur der rechteste Teil 0. Der Rest wird zweimal eins von den beiden, da beide ja gleich groß sind. Aber das wird doch nicht 0, wenn man für x = 0 einsetzt
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L (Ryuzaki)
Anmeldungsdatum: 16.02.2008
Beiträge: 22
Wohnort: Duisburg
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| L (Ryuzaki) Verfasst am: 17. Feb 2008 20:54 Titel: |
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Ah, jetzt seh Ichs:
da steht vor den Klammern noch ein
 . Setzt man 0 ein, so steht in den Klammer auf jeden Fall iwas ohne 0, bzw genau genommen 1 ^^ Also wird alles abgeleitet 0.
Aber Ich steig nicht ganz dahinter, wie du auf deine Anfangsformel kommst, oder ist das einfach nur eine andere Formulierung von 2.te Ableitung der ersten Ableitung?
Und wie rechnest du da weiter?
Kannste ganz kurz noch in Worten sagen, was du ungefähr tust?
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 18. Feb 2008 16:08 Titel: |
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Ich glaube du verstehst nicht ganz, was hier eigentlich gerechnet wird. Also von vorne...
Du brauchst für die Taylorentwicklung, den Funktionswert an der Stelle 0, und die Werte der erste drei Ableitungen ebenfalls an dieser Stelle, also für x = 0. Dazu leitet man diese Funktion
 = \frac{2L}{c} \cdot\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{1-x^2})
nach x ab. Man schreibt für das Ableiten auch (Leibnitzsche Schreibweise) statt einen Strich oben (wie du es vielleicht kennst) dieses d durch dx. Dass besagt, dass man diese Funktion nach x ableitet. Die erste Ableitung ist also:
^5})
Für die Stelle x=0 ist diese dann:
Jetzt wird das ganze nochmal abgeleitet für die zweite Ableitung:
^5} \right])
Die zweite Ableitung ist also die Ableitung der Ableitung. Diese d durch dx bezeichnet also immer die Ableitung dessen, was dahinter steht nach x, also in dem Fall der ganzen Klammer. Da uns aber eh nur die Wert der Ableitung für x = 0 interessieren brauchen, wie diese nicht komplett ausrechen ( was wirklich sehr kompliziert wäre), sondern es reicht, wenn wir diese soweit ausrechen, dass wir erkennen, was rauskommt für x = 0. Also habe ich die Produktregel für diesen Term in der Klammer angewendet. Damit komme ich drauf, dass für diese zweite Ableitung gilt:
^5}\right ] = \frac{2L}{c} \left [\frac{ x^2 -1 + 2 \sqrt{1-x^2} }{(\sqrt{1-x^2})^5}\right ] + \frac{2Lx}{c} \cdot \frac{d}{dx} \left [ \frac{ x^2 -1 + 2 \sqrt{1-x^2} }{(\sqrt{1-x^2})^5}\right ])
d durch dx bezeichnet hier wieder die Ableitung der Klammer, diese muss ich aber nicht ausrechen, da ich weiß, dass sie wenn sie mit x malgenommen wird für x = 0, sowieso Null wird. Daher erkkene ich, dass gilt:
Jetzt muss ich diesen Ausdruck, also die zweite Ableitung nochmal ableiten um die dritte zu bekommen:
^5}\right ) + \frac{2Lx}{c} \cdot \frac{d}{dx} \left ( \frac{ x^2 -1 + 2 \sqrt{1-x^2} }{(\sqrt{1-x^2})^5}\right ) \right]=)
Jetzt wende ich wieder die Produktregel an, um den Term soweit zu vereinfachen, dass ich seh, was für x = 0 rauskommt, ohne die Ableitung vollständig zu brechnen. Das könntest du eigentlich mal machen, dann siehst du das es stimmt.
^5}\right ] + \frac{2L}{c} \cdot \frac{d}{dx}\left [\frac{ x^2 -1 + 2 \sqrt{1-x^2} }{(\sqrt{1-x^2})^5}\right ] + \frac{2Lx}{c} \cdot \frac{d^2}{dx^2}\left [\frac{ x^2 -1 + 2 \sqrt{1-x^2} }{(\sqrt{1-x^2})^5}\right ] )
^5}\right ]}_{0 \text{ wenn die Ableitung der Klammer für } x = 0 \text{ null ist}} + \underbrace{\frac{2Lx}{c} \cdot \frac{d^2}{dx^2}\left [\frac{ x^2 -1 + 2 \sqrt{1-x^2} }{(\sqrt{1-x^2})^5}\right ] }_{0 \text{ für } x = 0} )
Wenn ich also zeigen kann, dass die Ableitung dieser Klammer für x = 0 null ist, dann wird auch die dritte Ableitung an der Stelle 0 null sein. Dafür rechne ich die Ableitung dieser Klammer aus und setzte x ein....
^5}\right ]\right|_{x=0} = 0)
Damit ist die dritte Ableitung an der Stelle 0 ebenfalls null:
Anmerkung: Du musst erst ableiten, dann einstetzten, sonst bekommst du immer Null raus. Die Ableitung einer Zahl, also einer Konstanten, ist immer 0.
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