Lagrange-Gleichungen, 3-Körper-Problem

Harry Done · Anmeldungsdatum: 19.11.2006 Beiträge: 16

Hallo zusammen,
ich habe folgendes Problem:
Ich möchte für ein System aus drei Körpern (siehe Zeichung) bzw. aus drei Massen M,m1,m2 die Lagrangegleichungen aufstellen.
Ich stell mir das so vor, dass M die Masse der Sonne sein soll,m1 dann die der Erde und m2 die des Mondes.
Dann würden die Bewegungsgleichungen von 4 Veränderlichen abhängig sein:

Wenn ich nur M und m1 betrachte kommen die Lösungen ziemlich gut hin, mit den Werten für Erdmasse, Sonnenmasse, Abstand zur Sonne, Geschwindigkeit der Erde usw. erhalte ich eine Lösung für eine elliptische Bahn die tatsächlich nach ungefähr 365 Tagen wieder am Startpunkt ankommt.
Jetzt würde ich gerne wissen, ob mein Ansatz für drei Körper vom Prinzip her richtig ist, da die Lösungen bis jetzt nur unlogische Bewegungen für den Mond ergeben.

Also speziell interessieren mich die einzelnen potenziellen Energien V für die Lagrangegleichung L.

Ich beschreibe mal meine Überlegungen:
- auf m1 wirkt die Kraft:

- auf m2 wirkt die Kraft:

- die Anziehung von M auf m2 und umgekehrt wollte ich vernachlässigen.

Wenn jetzt das Kraftfeld konservativ ist gilt für die Potenzialfunktion:

Dann müsste für

dann ja folgendes gelten:

Wenn man jetzt die beiden Komponenten gleichsetzt, erhalte ich:

Analog würde ich dann für V2 gelten:

Bin so weit noch richtig oder haut dieser Ansatz nicht hin? Wie gesagt mit zwei Körpern scheint es so zu funktionieren.
Physikalisch weiß ich nur nicht, ob ich hier etwas Grundlegendes falsch vorraussetze.

Vielleicht kann mir ja jemand sagen, ob ich auf dem richtigen Weg bin.

Gruß Jan

Incognito · Anmeldungsdatum: 24.02.2007 Beiträge: 23

ich meine mich zu erinnern mein prof hätte gesagt 3 körperprobleme ließen sich nur numerisch lösen

bishop · Moderator Anmeldungsdatum: 19.07.2004 Beiträge: 1133 Wohnort: Heidelberg

ja, das ist auch richtig so.
Man kann für das Dreikörperproblem keine geschlossene Gleichung angeben, ohne einen riesigen Fehler zu machen. Und der Fehler in deinem Fall ist, dass du die Kraft der Sonne auf den Mond vernachlässigst, das darf man nämlich in keinem Fall tun! Wenn dus doch machst, dann hast du kein Dreikörperproblem, sondern zweimal ein Zweikörperproblem, nämlich Erde-Sonne und Erde-Mond. Und beides deckt sich nicht mit dem, was du beobachtest

gruß, bishop

Harry Done · Anmeldungsdatum: 19.11.2006 Beiträge: 16

@Incognito:
Ja ich berechne die Lösung der Bewegungsgleichungen mit Hilfe von Maple, ich mache keine Linearisierung. Maple kann die vier DGL so lösen, mit allen Inhomogenitäten und Nichtlinearitäten wie Sin- und Cos-Funktionen.

@bishop
Ich habe beim ersten Versuch auch die Anziehung der Sonne auf den Mond mit einbezogen, allerdings habe ich gemerkt, als ich versucht habe meinen Fehler zu finden, dass wenn ich sie außer Acht lasse, es keinen Unterschied an meiner Lösung hat, zumindest keinen den man sehen kann.
Kann es an meinen Randwerten liegen. Das habe ich für die Massen angenommen.
>m1:=5.97e24: (Erde)
>M:=m1*3.334e5: (Sonne)
>m2:=0.0123*m1: (Mond)
>G:=6.67e-11: (Gravitationskonstante)

Ich würde sonst noch die dritte potenzielle Energie einbinden:

mit den Komponenten für die Koordinaten der Masse m2

Mich macht nur stutzig,dass die Erde sich anscheinend richtig bewegt, der Mond haut nur überhaupt nicht hin.
Ich "lasse" Erde und Mond auf der x-Achse starten. Mit den Geschwindikeiten die ich im Internet gefunden habe.
> v1:=29.49e3: (Erde)
> v2:=1.02e3: (Mond)

Vielleicht liegt auch da der Fehler. Vom Winkel tue ich erstmal so als würden sie mit 90° starten, bzw. aus der letzten Umrundung herkommen.
Bei der Erde ergibt sich dann ein Kreis, der nach einem Jahr durchlaufen ist. Der Mond kommt nicht in die "Gänge", er läuft mit der verhältnissmäßig geringeren Geschwindigkeit weiter und wir nicht mit der Erde mitgezogen.

Bin ein bißchen ratlos, deutet das vielleicht schon auf einen bestimmten Fehler hin oder hat vielleicht jemand Maple und könnte da mal reingucken?

Gruß Jan

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Die Erde bewegt sich ja mit rasanter Geschwindigkeit um die Sonne; der Mund kreist zwar um die Erde, macht aber die Bewegung um die Sonne genauso mit. Daher muss man genauso wie für die Erde, die Sonnenanziehung berücksichtigen. Tust du dfas nicht, so entkoppelst Du das System der Differentialgleichungen unzulässigerweise.

Harry Done · Anmeldungsdatum: 19.11.2006 Beiträge: 16

Danke für die Tipps, ich denke es haut jetzt hin.
Ich habe die Gleichung für die potenzielle Energie von der Anziehung Mond/Sonne am Anfang zwar mit drin, aber es hat sich nichts geändert, das lag aber nur daran, dass ich einen Substitutionsbefehl vergessen habe.
Ihr hattet recht, ohne die Anziehung von der Sonne wird der Mond bei mir von der Erde erst mitgezogen und wenn die dann zu der krümmlichen Bewegung ansetzt, wir er quasi ins Weltall abgeschossen.
Außerdem habe ich den Fehler gemacht, dass ich bei der Anfangsgeschwindigkeit des Mondes nicht beachtet habe, dass er ja letztendlich wesentlich schneller sein muss, weil die Erde ihn ja mit ihrer Geschwindigkeit "mitzieht".
Damit braucht mein Mond jetzt ca.27 Tage damit er sich einmal um die Erde dreht. Ich Idiot habe mich erst immer gewundert, wieso nicht nach einem Tag Hammer

, bis ich dann mal die Simulation schrittweise verlängert habe und sich so bei 26.7 Tagen eine Umrundung ergibt, das Internet klärt mich dann auf, dass der Mond durch Eigenrotation auf und unter zu gehen scheint.Wieso sollten die Mon(d)ate denn sonst Monate heißen.

Okay hat sich also aufgeklärt, danke für eure Hilfe.