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HorMone
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 14
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 HorMone Verfasst am: 24. Feb 2007 16:07 Titel: Rollpendel |
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Hallo! Brauche Hilfe bei folgender Aufgabe, wobei ich schon die Lösung habe, diese aber nicht deuten kann...
Also ein Schwungrad das an beiden Fäden aufgerollt ist.
Die Masse von diesem, m=10kg
Der Faden rolle auf Länge von l=1m ab
Die Achse hat Durchmesser von d=1cm
Das Rad hat Außendurchmesser von D=1m
Nach dem Abrollen hat Rad eine Umlaufzeit von T=1s
Welche Translationsenergie hat das Rad am untersten Punkt, d.h. nach abrollen des Fadens?
Ich habe hier=
E(pot)=E(kin)+E(rot)
mgl=0,5mv²+0,5Iw²
nach w aufgelöst kann dieses Ergebnis in die Gleichung E(kin)=0,5mv² eingesetzt werden.
Die umsetztung, also das Berechnen verstehe ich, aber die Energiezusammenstellung versteh ich nicht so. beim Rollpendel gilt doch
wenn es unabgerollt ist E(pot)=mgl, also muss die anschließend in andere Energieformen umgewandelte Energie immer gleich E(pot) sein, dass ist verständlich. Aber wiso E(kin) + E(rot)??
Und ist E(kin)=E(trans)? Weil ja anschließend w in E(kin) eingesetzt wird.... Aber E(kin) ist doch eigentlich E(trans)+E(rot) 
Und wie kann man das Trägheitsmoment berechnen?Hier wurde das per volumenintegral gemacht. Wie man das eigentlich handhabt, ist mir bekannt aber wenn ich das Integral ausführe, welche "Strecken" setze ich ein? |
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as_string
Moderator
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| as_string Verfasst am: 24. Feb 2007 21:57 Titel: |
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Hallo!
| HorMOne hat Folgendes geschrieben: | Aber wiso E(kin) + E(rot)??
Und ist E(kin)=E(trans)? |
Ja, hier ist mit  nur die Translationsenergie gemeint. Deine Auffassung, dass nämlich die kinetische Energie Rotationsenergie und Translationsenergie zusammen ist, ist eigentlich korrekter und damit die Aufgabenstellung eher etwas "ungenau", aber leider wird das häufig so verwendet. Wenn von kinetischer Energie die Rede ist, musst Du also immer sehr genau schauen, ob denn jetzt wirklich die gesamte kinetische Energie oder nur die Translationsenergie gemeint ist. Ist doof, aber leider die Regel...
Man kann hier auch für die Translationsenergie das  verwenden, weil ein fester Zusammenhang besteht zwischen der Winkelgeschwindigkeit und der Translationsgeschwindigkeit. Der Faden ist ja über die Achse gewickelt und die hat einen festen Radius. Dann muss immer  sein. Auch hier ist immer Vorsicht angesagt: Der Radius ist nicht immer so leicht zu finden. Bei einem Rad (oder Walze oder so...), das auf dem Boden rollt, ist es der Außenradius. In diesem Beispiel eben die Achse, auf der der Faden aufgewickelt ist. Man hat natürlich nicht unbedingt immer einen so festen Zusammenhang zwischen Rotation und Translation.
Das mit dem Trägheitsmoment verstehe ich jetzt nicht so ganz. Wie kann man das aus der Geometrie des Rades überhaupt genau berechnen? Die ist ja gar nicht so genau definiert in der Aufgabe. Ist da noch ein zusätzlicher Text? Oder soll man einfach annehmen, dass die ganzen 10kg auf dem äußeren Radius von 0,5m verteilt sind?
Gruß
Marco |
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HorMone
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 14
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| HorMone Verfasst am: 25. Feb 2007 08:34 Titel: |
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Vielen Dank erstmal für deine Antwort, du hast mir schon sehr weitergeholfen!!!
Ich habe die Aufgabe nochmal gerechnet, indem ich einfach E(pot)=E(kin) gesetzt habe, also ohne das ich in E(rot) und E(trans) unterteilt hab. Anschließend habe ich, so wie in meiner Musterlösung w in E(kin) eingesetzt. Dabei kam ich aufs selbe Ergebnis, kann man das auch so machen?
Zum Trägheitsmoment sind da jetzt nicht mehr angaben. In der lösung, die ich habe sind als Integrationsgrenzen h, 2pi und R eingesetzt, wobei mir nicht wirklich der Zusammenhang klar wird.. Ist auf jeden Fall mit Volumenintegral gemacht worden. Dabei teilt man ja eigentlich immer in die einzelnen Flächen auf, oder? |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 25. Feb 2007 12:44 Titel: |
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Hallo!
| HorMone hat Folgendes geschrieben: | | Ich habe die Aufgabe nochmal gerechnet, indem ich einfach E(pot)=E(kin) gesetzt habe, also ohne das ich in E(rot) und E(trans) unterteilt hab. Anschließend habe ich, so wie in meiner Musterlösung w in E(kin) eingesetzt. Dabei kam ich aufs selbe Ergebnis, kann man das auch so machen? |
So, wie ich Dich verstanden hatte, ist das doch genau das selbe, oder? Wenn bei Dir E(kin) = E(trans) + E(rot) ist, dass muss es doch die selbe Rechnung sein. Verstehe jetzt nicht ganz, wie Du das meinst, glaube ich. 
| HorMone hat Folgendes geschrieben: | | Zum Trägheitsmoment sind da jetzt nicht mehr angaben. In der lösung, die ich habe sind als Integrationsgrenzen h, 2pi und R eingesetzt, wobei mir nicht wirklich der Zusammenhang klar wird.. Ist auf jeden Fall mit Volumenintegral gemacht worden. Dabei teilt man ja eigentlich immer in die einzelnen Flächen auf, oder? |
Das hast Du jetzt nicht besonders genau angegeben... Grenzen müssen es ja für jede Dimension zwei sein, also insgesamt 6. Ich gehe mal davon aus, dass die alle bei 0 anfangen, bin mir aber gerade bei dem mit R nicht ganz sicher. Wenn ja, wäre das dann das Trägheitsmoment eines homogenen Zylinders. Er integriert nur über den Bereich, in dem Masse vorhanden ist, und das ganze streng genommen in Zylinder-Koordinaten.
Gruß
Marco |
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HorMone
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
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| HorMone Verfasst am: 25. Feb 2007 13:42 Titel: |
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Ich hab E(kin)=0,5*I*w²
mit E(pot)= mgl gleichgesetzt und nicht wie in meiner Lösung
E(kin)=0,5m*v²+0,5*Iw²=mgl
Also im Prinzip dasselbe....merk ich grad, na irgendwann hat man ein Brett vorm Kopf 
Das mit den Zylinderkoordinaten hab ich jetzt nachgelesen, ist mir zwar nicht so wirklich einleuchtend, also auf einen Zylinder wäre ich nicht gekommen, aber viiiielen Dank, dass du das herausgefunden hast!!!  |
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as_string
Moderator
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| as_string Verfasst am: 25. Feb 2007 14:42 Titel: |
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Hallo!
| HorMone hat Folgendes geschrieben: | Ich hab E(kin)=0,5*I*w²
mit E(pot)= mgl gleichgesetzt und nicht wie in meiner Lösung
E(kin)=0,5m*v²+0,5*Iw²=mgl
Also im Prinzip dasselbe....merk ich grad, na irgendwann hat man ein Brett vorm Kopf |
Das wäre jetzt wieder gerade nicht das selbe, weil Du ja bei Deiner E(kin) irgendwie nur die Rotationsenergie aufgeschrieben hast. Ich nehme an, dass Du den anderen Summanden einfach vergessen hast und eigentlich das selbe wie unten dastehen sollte, oder?
Gruß
Marco |
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HorMone
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
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| HorMone Verfasst am: 26. Feb 2007 09:44 Titel: |
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Na jetzt bin ich doch etwas verwirrt...
In meinem Skript hab ich zum Rollpendel gefunden:
Untere Position:Faden abgerollt, maximale Kreisfrequenz:
E(rot)=0,5Iw²
Obere Position, System hat nur potentielle Energie
E(pot)=mgl
Energiesatz:
0,5Iw²=mgl
Also hier ist die Translationsenergie nicht mit einbezogen, also wurde hier zur berechnung nicht komplettes E(kin) mit E(pot) gleichgesetzt sondern nur die Rotationsenergie... |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 26. Feb 2007 21:31 Titel: |
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Hallo!
Ja, das ist ziemlich merkwürdig...
Allerdings müsste es doch nicht unbedingt falsch sein. Man geht in solchen Fällen manchmal von einer "momentanen Drehachse" aus. Wenn man sich das Abrollen so vorstellt, dass der Punkt der Achse, an der sich der Faden gerade abwickelt, immer für einen Moment in Ruhe ist, kann man die Translationsenergie weg lassen und muss dann aber ein größeres Trägheitsmoment nehmen. Diese momentane Rotationsachse ist dann nämlich nicht mehr im Schwerpunkt, sondern eben mit dem Radius der Achse von diesem entfernt. So wird dann auch mit dem Steinerschen Satz das Trägheitsmoment größer.
Letztendlich möchte ich Dich aber nicht damit noch verwirren. Das ist meines Erachtens eine Sichtweise, die man nicht so zwingend wissen muss. Mit dem Ansatz: "Rotationsenergie aus Drehung um den Schwerpunkt plus Translationsenergie" kommt man auf jeden Fall auf das selbe Ergebnis, wie mit diesem Ansatz "Rotationsenergie um die momentane Rotationsachse (oft um den Aufliegepunkt) und keine Translationsenergie". Die Rechnung wird dadurch auch nicht wirklich so viel einfacher, denke ich.
Gruß
Marco |
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HorMone
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
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| HorMone Verfasst am: 27. Feb 2007 09:13 Titel: |
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Hab noch eine letzte Frage
| Zitat: | "Rotationsenergie um die momentane Rotationsachse (oft um den Aufliegepunkt) und keine Translationsenergie". Die Rechnung wird dadurch auch nicht wirklich so viel einfacher, denke ich.
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Meinst du damit, dass was in meinem Skript steht (das von mir zuletzt geschilderte-das man E(trans) weglässt) mit Anwendung des Steinerschen Satzes? |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 27. Feb 2007 22:31 Titel: |
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Hallo!
Ja, so in der Art.
Du hast ja das hier:
Nur die kinetische Energie also:
Wenn Du jetzt den Zusammenhang benutzt:
und oben einsetzt, dann erhälst Du:
 \omega^2)
Wenn Du jetzt ein neues Trägheitsmoment nimmst mit:
Dann kannst Du die gesamte kinetische Energie nur noch als eine Rotationsenergie schreiben:
Das ist erstmal nur eine Art mathematische Spielerei. Wenn Du Dir allerdings die Formel für das neue Trägheitsmoment genauer anschaust, dass entspricht das gerade dem Trägheitsmoment um eine Drehachse, die um  vom Schwerpunkt entfernt ist, eben nach dem Steinerschen Satz. Diese Drehachse nennt man dann gerne "momentane Drehachse".
Wenn Du Dir eine Momentaufnahme vorstellst, dann dreht sich für einen ganz kurzen Augenblick das ganze Gebilde um den Punkt, an dem der Faden die Achse berührt, also im Abstand von r. Das ist aber zu jedem Zeitpunkt so, auch wenn die Achse an sich auf dem Kreis mit dem Radius r um den Mittelpunkt wandert. Weil aber der Abstand immer gleich ist zum Schwerpunkt (eben r), ist für alle diese momentanen Rotationsachsen das Trägheitsmoment auch gleich und kann mit dem Steinerschen Satz berechnet werden.
Bei vielen Beispielen (z. B. auch rollender Zylinder oder so) kannst Du auf diese Art quasi die Translation weg bekommen und rein von der Energie her mit zur Rotation dazu stecken. Aber wie gesagt: So wahnsinnig große Vorteile bringt das alles nicht, so dass ich der Meinung bin, dass man das nicht unbedingt wissen muss. Allerdings bin ich ja auch nicht der, der Dir nachher die Note gibt! 
Gruß
Marco |
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HorMone
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
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| HorMone Verfasst am: 28. Feb 2007 10:40 Titel: |
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Nochmals vielen Dank für deine Mühe!!!
Auf das die Klausur gelinge 
Ich habe übrigens des Rätsels lösung zu der Sache in meinem Skript ein paar Threads vorher | Zitat: | In meinem Skript hab ich zum Rollpendel gefunden:
Untere Position:Faden abgerollt, maximale Kreisfrequenz:
E(rot)=0,5Iw²
Obere Position, System hat nur potentielle Energie
E(pot)=mgl
Energiesatz:
0,5Iw²=mgl
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Dabei steht nämlich:
Wenn Durchmesser der Drehachse klein ist, hat die Rolle nur Rotationsenergie, die Translationsenergie ist vernachlässigbar.
Ich bin mir sehr sicher, dass das vor ein paar Tagen noch nicht in meinem Skript stand
Aber deine Erläuterungen waren echt einleuchtend! |
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