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Celestina_Shepherd
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 Celestina_Shepherd Verfasst am: 30. März 2024 11:42 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Super, damit hast du gezeigt, dass die Lösung zum freien Fall für die nicht-rotierende Erde zugleich eine bzgl. der Zeit extremale Lösung ist.
Jetzt die Frage, wie du deine Vermutung für die rotierende Erde erweitern möchtest.
Die anderen von dir betrachteten Kurven sind sicher keine Lösungen zum freien Fall. Andersherum könnte man natürlich untersuchen, ob die Lösungen zum freien Fall auch bzgl. der Zeit extremale Lösungen sind; dafür sehe ich zwar weder offensichtliche physikalische noch mathematische Anhaltspunkte, aber das muss ja nichts heißen.
Oder lassen wir’s damit gut sein? |
Ich möchte es mal so ausdrücken, die von mir vorgestellte Hypothese ist nun mittels der Drehtransformation der Gleichungen des harmonischen Oszillators glücklicherweise bestätigt worden. So sehe ich das.
D.h., sämtliche Freie-Fall-Szenarien bzgl. meiner Problemstellung sind identisch zu den Bahnkurven (=Hypozykloide) aus dem Problem vom „Gravity-Train“, mit dem Unterschied, dass bei meinem Problem der freie Parameter  ist und beim „Gravity-Train“ der Parameter b. Darin besteht die Analogie, dass nämlich mit der Umdeutung von b in
 )
beide Problemstellung ineinander überführt werden können, was die Bahnformen anbelangt. Auch wenn im „Gravity-Train-Problem“  gesetzt wird, ändert das nichts an der Analogie der Bahnformen. Das war ja die Fragestellung, auf die ich hinaus wollte.
Es gibt lediglich ein einziges Szenario, also wenn in meinem Problem vorliegt, dass dann die Analogie nur noch zweitrangig ist, weil in diesem Fall beide Problemstellungen physikalisch absolut identisch sind.
Ich glaube, dass anfangs vielleicht auch ein Missverständnis durch den Gebrauch des Begriffes „Brachistochrone“ entstanden sein kann. Daher möchte ich die Formulierung jetzt so wählen, dass die Bahnkurven des freien Fall (als Funktion von ) im „Gravity-Train-Problem“ jenen Hypozykloiden entsprechen, die aber nur auf die dortige Problemstellung als wahre Brachistochronen anzusehen sind. Der freie Fall bewegt sich nicht auf einer Brachistochrone, sondern auf einer Bahn, die jedoch im Analogiebeispiel als Weg der kürzesten Zeit gewertet wird.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
...
Die Aufgabe ist demnach, beliebige kleine Variationen der gefundenen Lösung für den freien Fall zu parametrisieren, das Integral bis in erster Ordnung in diesen Variationen zu entwickeln und zu prüfen, ob diese erste Ordnung verschwindet.
Das ist exakt die selbe Vorgehensweise wie im verlinkten Paper, außer dass wir nicht die Funktion r von phi selbst betrachten, sondern die bekannte Funktion mit kleinen Variationen. |
Wow! Vielen Dank, dass du die beiden Probleme nun auch formal zusammengeführt hast!!! - Ich hätte nicht gedacht, dass mein anfängliches Anliegen noch so vertiefend betrachtet wird. Für mich hat sich dieser Erkenntnisgewinn wirklich sehr gelohnt!
Grüße von
Celestina
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 30. März 2024 12:15 Titel: |
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Mein Ansatz ist zwar korrekt, führt aber rechentechnisch in die Hölle.
Ich bin mir bzgl. deiner Hypothese zu
noch nicht vollständig sicher, ich kann mein Problem jedoch noch nicht genau fassen.
Ich versuch's mal wie folgt: Die Mathematik in dem PDF weiß an vielen Stellen nichts von einer Erdrotation. Insbs. sind (13) und (19) bis auf andere Konstanten immer noch gültig, damit auch (20) und (21), wiederum bis auf andere Konstanten.
Die für
zu (20*) und (21*) zu modifizierenden Gleichungen müssten aber für die zuerst ermittelten Lösungen des freien Falls gelten, damit diese auch extremale Lösungen bzgl. der Zeit darstellen.
(20) und (21) liefern für die im PDF ermittelten Lösungen Kurven für beliebig vorgegebene Winkelabweichungen. Für die Lösungen des freien Falls müssten jedoch diese (20*) und (21*) gelten, nun jedoch für immer feste Winkelabweichung
 = \text{const})
Wie gesagt, ich grüble noch, ob der Beweis logisch schlüssig ist, oder ob implizit noch ein Schritt enthalten ist, der für
nicht durchgeht.
Nochmal anders formuliert: im PDF werden die Kurven als Lösungen des Problems der extremalen Zeit im nicht-rotierenden Bezugsystem aufgefasst; du interpretierst sie erstens als solche der extremalen Zeit, und möchtest sie außerdem als transformierte Lösungen der Bewegungsgleichung für den freien Fall interpretieren. Aber dazu müsstest du mehr tun als nur die Form zu vergleichen; du müsstest zeigen, dass es sich um Lösungen der transformierten Bewegungsgleichungen handelt. Insbs. müsstest du das Linienelement und die Energie entlang der Bahn betrachten, da im PDF beides im nicht-rotierenden Bezugsystem verwendet wird. D.h. du hast gezeigt, dass die Formen übereinstimmen, ich sehe jedoch noch nicht, dass damit auch die anderen Interpretationen durchgehen – ich sehe aber auch nicht, dass sie falsch wären.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 31. März 2024 13:01 Titel: |
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Nochetwas: Ich werde mir ansehen, wie die Kurven aussehen, wenn man die DGLs unter allgemeineren Anfangsbedingungen löst.
1) Bisher ist für den freien Fall im ruhenden System die Anfangsgeschwindigkeit tangential zum Kreis, im rotierenden System entsprechend Null.
2) Der Gravity Train im ruhenden System wurde unter der Bedingung hergeleitet, dass die Anfangsgeschwindigkeit Null ist.
Nun kann man beide Probleme variieren, d.h.
1*) für den freien Fall im ruhenden System eine beliebige Anfangsgeschwindigkeit zulassen.
2*) für den Gravity Train im ruhenden System eine beliebige Anfangsgeschwindigkeit zulassen.
In beiden Fällen erhält man sicher keine Hypozykloide, da diese sich dadurch auszeichnet, dass sie an ihren Spitzen senkrecht auf dem Kreis steht.
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Celestina_Shepherd
Gast
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| Celestina_Shepherd Verfasst am: 01. Apr 2024 00:08 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: | ... dann schmilzt diese Gleichung zusammen zu
^2 }\cdot \tau )
Und da beim „Gravity-Train“  gilt, zeigt sich somit
womit die … Aussage bzgl. der transformierten Gleichungen ebenfalls überprüft wäre. |
Nur für Spezialfall
"isochron" ist übrigens nicht der richtige korrekte Begriff.
//en.m.wikipedia.org/wiki/Tautochrone_curve
| Zitat: | | [An] … isochrone curve is the curve for which the time taken by an object sliding without friction in uniform gravity to its lowest point is independent of its starting point on the curve. |
Was wir gezeigt haben, siehst du im Anhang. |
Hallo,
erst einmal vielen Dank für die Aufklärung der Begriffe "Tautochrone" und "Isochrone". Man lernt nie aus. Die Isochronen findet man also bei Zykloidenpendel, die Tautochronen dagegen bei den Freien-Fall-Situationen meines Problems.
Ansonsten versuche ich für mich selbst noch einmal zu rekapitulieren, wo wir jetzt stehen und führe kurzerhand folgende Problem-Abkürzungen ein.
Freier-Fall-Szenarien:
\text{ für } 0\leq \omega<\Omega)
Gravity-Train-Brachistochronen:
\text{ für } 0< b\leq \frac{R}{2} )
Mit der Drehtransformation ergab sich:
\text{ mit DT(} -\omega \cdot t) \Rightarrow GTB\left(b^*\right) )
wobei
 \text{ ist.} )
Die Transformation bezieht sich nur auf die Bahnformen, denn die Weg-Zeit-Gesetzmäßigkeiten sind zwischen FFS und GTB unterschiedlich, mit einer Ausnahme:
=GTB\left(b^*=b=\frac{R}{2} \right) )
Bis auf diese eine Schnittstelle bekommen wir FFS & GTB nicht miteinander zusammengenäht.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
...
Mein Ansatz ist zwar korrekt, führt aber rechentechnisch in die Hölle.
...
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Wenn man sich das Ziel setzt, für GTB die realen Bahnformen einer sich drehenden Erde  ) herzuleiten, dann führt das, wenn ich mal deine Wortwahl zitiere, sicherlich "rechentechnisch in die Hölle". Die Frage ist also, ob man innerhalb des GTB-Problems analytisch zu einer Lösung kommen kann, ohne sich mathematisch zu sehr abzuquälen?
Für GTB ) musste minimiert werden:
 }{\Omega^2 \, R^2 - \Omega^2 \left(x^2+y^2\right) }} )
Für GTB muss minimiert werden:
 }{\Omega^2 \, \left(R\cdot \sqrt{1+\frac{\omega^2}{\Omega^2} } \right)^2 - \Omega^2 \left(x^2+y^2\right) }} )
 }{\Omega^2 \, (R^*)^2 - \Omega^2 \left(x^2+y^2\right) }} )
mit dem gestreckten Radius:
Jetzt könnte man doch einfach annehmen, dass die Lösungen hierzu ebenfalls die Hypozykloiden-Gleichungen aus der GTB sind, nur bezogen auf einen gestreckten Radius R*.
Um für die Lösungen von x* und y* jedoch wieder die Randbedingungen erfüllen zu können (bzgl. der Orte A und B), müsste der b-Parameter ebenfalls um den Faktor gestreckt und die Gleichungen insgesamt wieder re-skaliert werden.
 )
=(R^*-b^*)\cdot cos(\theta)+b^*\cdot cos\left(\frac{R^*-b^*}{b^*} \cdot \theta\right) \cdot \left(\sqrt{1+\frac{\omega^2}{\Omega^2} } \right) ^{-1} )
=(R^*-b^*)\cdot sin(\theta)-b^*\cdot sin\left(\frac{R^*-b^*}{b^*} \cdot \theta\right) \cdot \left(\sqrt{1+\frac{\omega^2}{\Omega^2} } \right) ^{-1} )
Jetzt wird jeder sofort aufschreien: "Moment mal! Das ist doch ein billiger Taschenspielertrick. Da kommen ja wieder dieselben Gleichungen wie zuvor im Fall  heraus!!!
Möglich wäre es ja (?). Doch ganz dasselbe ist es doch nicht, weil ja die Zeitgleichung (32) aus der GTB jetzt etwas anderes aussagt. Hier muss ja nun R* eingesetzt werden und somit folgt:
wobei sich im zweiten Wurzelausdruck die Streckfaktoren herauskürzen zu:
 \cdot \left(1+\frac{\omega^2}{\Omega^2} \right)^{1/4} )
^{1/4} )
Das bedeutet demnach, dass sich bei  die Reisezeit verlängert. Erklärbar wäre das, weil die Anfangsgeschwindigkeit sich im Laufe der Zeit durch das rotierende Koordinatensystem zu einem bremsenden Effekt entwickelt bzw. der Bewegung entgegenwirkt.
Ich weiß, was ich hier gerade vom Stapel lasse, kann so ziemlicher Unfug sein. Und wenn es so ist, dann nimmt mir das bitte nicht krumm, sondern als vorweggenommen APRILSCHERZ war!!!
Habt einen angenehmen und erholsamen Oster-Montag!!!
Grüße von
Celestina
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 01. Apr 2024 08:03 Titel: |
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| Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: | | Bis auf diese eine Schnittstelle bekommen wir FFS & GTB nicht miteinander zusammengenäht. |
Zumindest nicht, wenn wir nicht allgemeinere *) Bedingungen zulassen.
| Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: | | Wenn man sich das Ziel setzt, für GTB die realen Bahnformen einer sich drehenden Erde herzuleiten, dann führt das, wenn ich mal deine Wortwahl zitiere, sicherlich "rechentechnisch in die Hölle". |
Nein, das ist nicht das Problem.
Meine Idee war es, zu zeigen, dass die allgemeine *) Bahnkurve des freien Falls i.A. kein Extremum bzgl. der Zeit darstellt.
| Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: | | Die Frage ist also, ob man innerhalb des GTB-Problems analytisch zu einer Lösung kommen kann, ohne sich mathematisch zu sehr abzuquälen? |
Das könnte in die Richtung gehen, die du vorschlägst, allerdings sollten wir vor der konkreten Berechnung klären, welche Hypothese wir zeigen wollen.
| Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: | Für GTB muss minimiert werden:
 }{\color{red}\Omega^2 \, \left(R\cdot \sqrt{1+\frac{\omega^2}{\Omega^2} } \right)^2 - \Omega^2 \left(x^2+y^2\right) }} )
mit dem gestreckten Radius:
|
Das geht in die richtige Richtung, allerdings sehe ich die Probleme, dass erstens der Nenner Integral nicht passt, und zweitens das hier
| Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: |
wobei sich im zweiten Wurzelausdruck die Streckfaktoren herauskürzen zu:
Das bedeutet demnach, dass sich bei die Reisezeit verlängert. |
nicht sein kann.
Betrachten wir eine Bahnkurve C sowie die beiden Invarianten b (minimaler Radius) sowie t (Dauer von Radius R zu Radius R).
b = b[C]
Nun betrachten wir
1) die Transformation vom inertialen in ein rotierendes System:
2) die Änderung der Anfangsbedingung im inertialen System:
(1) ändert nicht die physikalische Bewegung sondern lediglich das verwendete Bezugspunkt; daher bleiben invariante Größen b[C] und t[C] unverändert. (2) ändert die Bahnkurve, d.h. man ändert die Anfangsbedingungen in ein und dem selben System, daraus resultieren andere Bahnkurven sowie andere Größen b und t im selben System. Das vermengst du irgendwie.
Was deine frühere Herleitung zeigt ist, dass die Bahnkurve des freien Falls im Inertialsystem unter geeigneter Transformation (1) im rotierenden Bezugsystem als Hypozykloide erscheint.
Was das PDF tut ist, zu zeigen, dass alle Minimalkurven Hypozykloiden im ruhenden Bezugsystem sind.
Dein letzter Ansatz tut wieder etwas anderes – wenn er durchgeht: er untersucht, wie die Minimalkurve, jetzt hergeleitet in einem rotierenden Bezugsystem, in diesem erscheint. Dazu musst du nicht durch die Lösung der DGL durch, du könntest auch unmittelbar die im PDF gefunden Lösungen transformieren, so wie du das vorher getan hast. Dabei sehe ich keinen Grund, warum wieder Hypozykloiden entstehen sollten; sicher ist jedoch, dass (1) die Größen b und t nicht ändern darf. Ich glaube übrigens, dass der Nenner nicht korrekt ist, aber das können wir verschieben.
Zurück zur ursprünglichen …
| Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: | | … Annahme …, dass ein fallender Körper, der sich von A nach B bewegt und bei dem nur die Gravitation als Gewichtskraft wirkt (es wirken also keine Reaktionskräfte durch die Tunnelwandführung ein!), sich entlang einer Brachistochrone bewegt. Und wenn das zutreffen sollte, dann ist man schnell bei den Hypozykloiden als Lösung für den Tunnelverlauf. |
Nach den bisherigen Ergebnissen:
a) lass uns bitte zunächst alles im Inertialsystem betrachten
b) lass uns zuletzt untersuchen, ob eine geeignete Transformation in ein rotierendes System vorliegt, so dass die Bahnkurve als Hypozykloide erscheint
c) wenn ich "Brachistochrone" als Extremalkurve bzgl. der Zeit auffasse, dann ist die Annahme sinnlos, denn die Bahnkurve für den freien Fall ist bei gegebenen Anfangsbedingungen eindeutig, die für die Bestimmung der Brachistochrone untersuchten Bahnkurven für die selben Anfangsbedingungen nicht; letztere – ggf. auch die Lösung der Brachistochrone – dürfen den Drehimpulssatz verletzen, sie dürfen bzw. müssen deiner Forderung "es wirken also keine Reaktionskräfte durch die Tunnelwandführung" widersprechen
d) nun zu (*) und einer m.M.n. sinnvollen Annahme, dass ein fallender Körper, der sich von A nach B bewegt und bei dem nur die Gravitation als Gewichtskraft wirkt (es wirken also keine Reaktionskräfte durch die Tunnelwandführung ein!), sich – betrachtet in einem geeigneten Bezugsystem – entlang einer Hypozykloiden bewegt.
Das wäre aus meiner Sicht eine lohnende Fragestellung.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 01. Apr 2024 09:06, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Celestina_Shepherd
Gast
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| Celestina_Shepherd Verfasst am: 01. Apr 2024 09:02 Titel: |
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| Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: |
...
| Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: | | Die Frage ist also, ob man innerhalb des GTB-Problems analytisch zu einer Lösung kommen kann, ohne sich mathematisch zu sehr abzuquälen? |
Das könnte in die Richtung gehen, die du vorschlägst, allerdings sollten wir vor der konkreten Berechnung klären, welche Hypothese wir zeigen wollen.
| Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: | Für GTB muss minimiert werden:
mit dem gestreckten Radius:
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Das geht in die richtige Richtung, allerdings sehe ich die Probleme, dass erstens dein Integral nicht passt, und zweitens das hier ... |
Tja, dann war dieser Gedankenanstoß doch mehr eine "Beltracci-Fälschung" als eine Betrami-Identität gewesen.
Also führen wahrscheinlich die Bahnformen von GTB(  ) zu keinen Hypozykloiden, dann wären sie auch auf jeden Fall unterschiedlich zu den Bahnen von FFS( ) und müssen somit zeitlich kürzer ausfallen als die Bahnen des freien Falles. Das wäre die daraus folgende Konsequenz, denke ich mal.
Grüße von
Celestina
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 01. Apr 2024 09:08 Titel: |
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Vergiss mal dieses Konsequenzen.
Wie bist du denn auf den Nenner gekommen?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 01. Apr 2024 09:32 Titel: |
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Das hier
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
d) nun zu (*) und einer m.M.n. sinnvollen Annahme, dass ein fallender Körper, der sich von A nach B bewegt und bei dem nur die Gravitation als Gewichtskraft wirkt, sich – betrachtet in einem geeigneten Bezugsystem – entlang einer Hypozykloiden bewegt. |
bedeutet konkret,
i) allgemeine Anfangsbedingungen zuzulassen;
ii) damit die allgemeinen Lösungen
 = a_i \, \cos\Omega t + b_i \, \sin\Omega t)
zu betrachten;
iii) speziell
festzulegen, wobei ersteres einfach einen Startpunkt A definiert, und letzteres dafür sorgt, dass der Geschwindigkeitsvektor in die Erde hineinweist;
iv) sodann
 + y^2(t) = R^2)
zu lösen und daraus die Falldauer zu bestimmen; minimiert man diesen Ausdruck, findet man außerdem b
v) nun mittels der so gefunden Zeit den Zielpunkt B zu berechnen;
vi) und zuletzt die von dir oben betrachtete Rotation anzuwenden, um ggf. Hypozykloiden zu identifizieren.
Bei (v) ist zunächst mal interessant, welche Punkte B wie erreicht werden können.
Bei (iv) ist die Rotationsfrequenz eindeutig definiert, wenn man voraussetzt, dass die an der Erdoberfläche tangentiale Geschwindigkeitskomponente bei Hypozykloiden verschwinden muss; allerdings verliert man dadurch evtl. Lösungen, denn mathematisch ist es ohne weiteres zulässig, dass die Hypozykloiden zu
gehören; ich würde das zulassen.
Klingt nach einem Plan, oder? Wird aber ohne Mathematica wahrscheinlich kein Spaß. Wenn ich Zeit habe, schaue ich mit mal eine numerische Lösung an.
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Celestina_Shepherd
Gast
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| Celestina_Shepherd Verfasst am: 01. Apr 2024 13:05 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
...
Da wir die Endpunkte festhalten wollen und man sinnvollerweise die Kurve C und damit r mittels des Winkels parametrisiert, bietet sich die Winkeldarstellung an
)
Die Energieerhaltung halten wir aufrecht (die Drehimpulserhaltung nicht; wir verwenden sie einfach nicht, andernfalls erhalten wir immer nur die eine bereits bekannte Lösung)
 \, R^2)
und damit
 \, R^2 - \Omega^2 r^2 )
Einsetzen liefert
 \, R^2 - \Omega r^2}})
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Ich habe deine Gleichung für  in kartesische Koordinaten umgeformt, wobei ich  noch ins Quadrat gesetzt habe, damit die Einheiten konsistent bleiben. War dann wohl nicht OK (?).
Grüße von
Celestina
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 01. Apr 2024 13:54 Titel: |
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Die Gleichungen gelten nicht in einem rotierenden Bezugsystem.
r, v und omega bezeichnen jetzt Vektoren; r und v liegen in der xy-Ebene, omega weist in z-Richtung. Damit gilt:
Der Energie-Term im Nenner führt auf
^2)
und das muss man mittels Vektoralgebra auswerten.
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Celestina_Shepherd
Gast
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| Celestina_Shepherd Verfasst am: 02. Apr 2024 08:55 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Das hier bedeutet konkret,
i) allgemeine Anfangsbedingungen zuzulassen;
ii) damit die allgemeinen Lösungen
zu betrachten;
iii) speziell
festzulegen, wobei ersteres einfach einen Startpunkt A definiert, und letzteres dafür sorgt, dass der Geschwindigkeitsvektor in die Erde hineinweist;
iv) sodann
zu lösen und daraus die Falldauer zu bestimmen; minimiert man diesen Ausdruck, findet man außerdem b
...
...
...
Klingt nach einem Plan, oder? Wird aber ohne Mathematica wahrscheinlich kein Spaß. Wenn ich Zeit habe, schaue ich mit mal eine numerische Lösung an. |
Ich glaube auch, dass sich das ziemlich aufbauschen wird und schnell unhandlich wird. Im Zusammenhang mit dem harmonischen Oszillator ist mir aber noch ein anderer Gedanke gekommen.
Der harmonische Oszillator führt zu Ellipsenbahnen und somit kann man sie quasi auch als Keplerbahnen auffassen. In diesem Fall muss man die Gesamtmasse der Erde nur in einen der Brennpunkte vereinen und betrachtet ein Zweikörperproblem, wobei M>>m ist.
Die Brennpunktgleichung der Keplerbahn würde dann so aussehen:
=R\cdot \frac{\frac{\omega^2}{\Omega^2} }{1+\sqrt{1-\frac{\omega^2}{\Omega^2} }\cdot cos(\psi) } )
wobei sich der Winkel Psi auf einen Brennpunkt bezieht, der bei
liegt, sich also um den halben F1/F2-Brennpunkte-Abstand vom Ursprung verschoben befindet.
Zwar gilt dann:
\neq \psi(t))
nur in den Perihel/Aphel-Positionen A und A' gilt:
Im Perihel-Punkt A befindet sich auch unser Startpunkt A.
Eine "allgemeine Beliebigkeit" kann ich auf diese Bahnkurve setzen, indem ich schreibe:
=r(\psi)\cdot \sum\limits_{n=1}^{N} b_n\cdot sin\left(\frac{n}{2}\psi \right) )
womit der Startpunkt weiterhin unverändert bleibt. Möchte man auch den gegenüberliegenden Punkt A' festhalten, dann erreicht man das mit:
Vielleicht wäre es mit dieser Vorgehensweise ja auch möglich?
Vielleicht wird aber alles noch komplizierter, da die Winkel-Zeitfunktionen in Theta und Psi nicht gleich sind? Man müsste dann sicherlich Psi(t) kennen. - Ist eben nur so eine Idee.
Grüße von
Celestina
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Celestina_Shepherd
Gast
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| Celestina_Shepherd Verfasst am: 02. Apr 2024 09:03 Titel: |
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| Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: |
...
Eine "allgemeine Beliebigkeit" kann ich auf diese Bahnkurve setzen, indem ich schreibe:
...
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Ich meinte eher: (jetzt korrigiert)
=r(\psi) + \sum\limits_{n=1}^{N} b_n\cdot sin\left(\frac{n}{2}\psi \right) )
Grüße von
Celestina
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 02. Apr 2024 09:48 Titel: |
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Das wäre einer der möglichen nächsten Schritte auf dem Weg in die von mir o.g. Hölle 😉
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 02. Apr 2024 16:07 Titel: |
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Ich habe mir das nochmal angesehen und bin inzwischen der Meinung, dass wir dank deiner Lösung zumindest bzgl. der Form ohne Betrachtung der Zeitabhängigkeit bereit fertig sind.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | i) allgemeine Anfangsbedingungen zuzulassen;
ii) damit die allgemeinen Lösungen
zu betrachten |
Das folgende reicht aus, da man alles weitere lediglich eine Skalierung oder Rotation der Ellipsen bedeutet; dadurch wird's komplizierter, jedoch nicht allgemeiner.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | iii) speziell
festzulegen, wobei ersteres einfach einen Startpunkt A definiert, und letzteres dafür sorgt, dass der Geschwindigkeitsvektor in die Erde hineinweist. |
OK.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Bei (iv) ist die Rotationsfrequenz eindeutig definiert, wenn man voraussetzt, dass die an der Erdoberfläche tangentiale Geschwindigkeitskomponente bei Hypozykloiden verschwinden muss; allerdings verliert man dadurch evtl. Lösungen, denn mathematisch ist es ohne weiteres zulässig, dass die Hypozykloiden zu
gehören; ich würde das zulassen. |
Das ist nicht notwendig. Wenn man sich auf den o.g. Spezialfall der an den x- und y-Achsen ausgerichteten Halbachsen der Ellipsen orientiert, dann erkennt man, dass dies die korrekten Anfangsbedingungen für diesen Spezialfall liefert.
Anbei ein paar numeruische Berechnungen. Das vollständig zu automatisieren ist ziemlich aufwändig, aber das Prinzip sollte klar sein.
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Celestina_Shepherd
Gast
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| Celestina_Shepherd Verfasst am: 03. Apr 2024 08:36 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
...
Anbei ein paar numerische Berechnungen. Das vollständig zu automatisieren ist ziemlich aufwändig, aber das Prinzip sollte klar sein. |
Vielen Dank für deine Bemühungen, die Randbedingungen in einer Simulation zu variieren!!! Schon im Plot C erkennt man beim Aufzoomen, dass sich eine saubere "Spitze" nur bei der unvariierten Form ausbildet. Die anderen Kurven starten entweder mit einer Schleife oder einer leicht ausgerundeten "Spitze".
Grüße von
Celestina
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 03. Apr 2024 08:54 Titel: |
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Ich habe nicht die Randbedingungen variiert, sondern die Rotationsfrequenz.
Die Idee lautet wie folgt: im Inertialsystem liefert jede Bahnkurve zum freien Fall eine Ellipse. Variationen der Anfangsbedingungen liefern demnach Ellipsen unterschiedlicher Form und Ausrichtung. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man sich daher auf Ellipsen festlegen, deren Anfangsgeschwindigkeit man im fernsten Punkt, d.h. bei der großen Halbachse und senkrecht zu dieser festlegt; alle anderen Anfangbedingungen führen lediglich zu rotierten Ellipsen unterschiedlicher Verhältnisse der Halbachsen.
Anstatt nun die Bedingung für die Rotation der Ellipse zur Hypozykloide aus den obigen Berechnungen zu übernehmen, habe ich die Rotationsfrequenz variiert und die Abweichungen zu einer fest vorgegebenen Hypozykloide minimiert. Inputparameter für die Hypozykloide war der minimale Bahnradius, den ich wiederum aus der Ellipse numerisch bestimmt habe. Man erkennt, dass bei geeigneter Rotationsfrequenz die rotierte Ellipse gegen die entsprechende Hypozykloide konvergiert .
Was ich noch nicht betrachtet habe, ist, ob und wie man durch Variieren der Anfangsbedingung für die Ellipse des freien Falls alle Zielpunkte auf der rotierenden Erde erreichen kann; für die Hypozykloide im Inertialsystem (nicht kräftefrei!!) ist das möglich (siehe PDF), für den Spezialfall des freien Falls (Betrachtung im rotierenden Bezugsystem, kräftefrei) muss man das untersuchen.
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Celestina_Shepherd
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| Celestina_Shepherd Verfasst am: 08. Apr 2024 20:05 Titel: |
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Hallo,
die Lösungsgleichungen der Brachistochronen aus dem Problem GTB wurden ja bisher nur für ein stillstehendes Koordinatensystem hergeleitet. Der Grund wird wohl darin liegen, dass man bei den Geschwindigkeitsvektor in die Berechnungen einbeziehen müsste.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
...
Der Energie-Term im Nenner führt auf
und das muss man mittels Vektoralgebra auswerten. |
Aber nur mal so ein Gedankenspiel: Wenn man sich die Energie-Gleichung anschaut, dann muss die Summe aus potenzieller und kinetischer Energie stets an allen Bahnpunkten erhalten bleiben. Dem Term für die kinetische Energie interessiert dabei nur die betragsmäßige Größe der Geschwindigkeit, nicht aber, dass diese tangential an der Bahnkurve entlangführt. Deshalb schaut man sich am besten die Vektorgrößen gar nicht an und berechnet das v (entlang des Bahnstückes ds) direkt über die potenziellen Energien aus, wobei man sich als Beobachter im Mittelpunkt des rotierenden Systems befindet, so als würde man sich vom Erdmittelpunkt aus alles anschauen.
1) Die Radialbeschleunigung beim freien Fall:
Verfolgt man die sich entlang einer Bahnkurve r(t) bewegende Masse m, dann sähe es aus, als würde diese im momentanen Abstand r mit folgender Kraft angezogen:
= m\cdot g^*(r)=m\cdot \left(g_0\cdot \frac{r}{R} -r\cdot \omega^2\right) )
Denn in einem rotierenden System wäre die radiale Komponente der Beschleunigung, so als würde sich die Masse in einer drehenden Röhre Richtung Zentrum bewegen:
 )
=r\cdot \left(\omega^2-\frac{g_0}{R} \right) )
Es hätte den Anschein, als würde statt g(r) eine Fallbeschleunigung g*(r) wirken.
=r\cdot \left(\frac{g_0}{R}-\omega^2 \right) )
mit
womit g*(r) dann so geschrieben werden kann:
=r\cdot\frac{g_0}{R}\cdot \left(1-\frac{\omega^2}{\Omega^2} \right) = g(r)\cdot\left(1-\frac{\omega^2}{\Omega^2} \right)} )
Das wäre nichts anderes, als wenn die reale Fallbeschleunigung um diesen konstanten Faktor kleiner ausfiele.
2) Übertragung der Situation g(r) => g*(r) bei der Betrachtung des GTB-Problems:
Als mitrotierender Beobachter, der sich im Erdmittelpunkt befindet, könnte man nun der Idee verfallen, die Beschleunigung g*(r) zu betrachten, um ergänzend behaupten zu können, man befände sich dann ersatzweise in einem stillstehenden System. Wenn diese waghalsige Idee mit dieser Behauptung zulässig wäre, dann könnten im GTB-Problem alle hergeleiteten Gleichungen für die Hypozykloiden direkt als Lösung übernommen werden, denn an all den gegebenen Parametern R, M, b, … hat sich ja nichts geändert. Allein die Zeitgleichung (19) bzw. (32) im Paper muss angepasst werden, da dort die Fallbeschleunigung g durch g* zu ersetzen ist!
somit
 } } )
Das bedeutet, die Reisezeit t wird dadurch auf t* gestreckt.
}}} )
Die Brachistochronen (Hypozykloiden) würden somit auch in einem drehenden Koordinatensystem dieselben bleiben wie im Fall  , aber mit geändertem Weg-Zeit-Gesetz. Im Beispiel der sich drehenden Erde läge der (geringe) zeitliche Unterschied dann bei:
also bei einer relativen Abweichung von + 1,72 Promille.
Doch wenn das wirklich zuträfe, dann müsste die Fallzeit zwischen einem Punkt A und B genauso groß sein wie die Reisezeit entlang der Brachistochronen zwischen A und B!!! Und da die Hypozykloiden des freien Falls dann genau jenen Brachistochronen entsprechen würden, wäre die Reise durch den Verbindungstunnel im GTB-Problem  ) kräftefrei.
Überprüfung der Reisezeit für  :
Bisher galt bei  :
Im freien Fall gilt für :
 )
 \cdot \frac{b}{g}}\cdot 2\pi )
\cdot \frac{R}{2}\cdot \left(1-\frac{\omega}{\Omega} \right)\cdot \frac{1}{g} }\cdot 2\pi )
 } \cdot 2\pi )
somit
 } )
Durch die Substitution von g durch g* erhalten wir dann die Zeit t* für die sich drehende Erde:
 } \right)^{-1} =\pi \cdot \sqrt{\frac{R}{g} } )
und das ist genau die Fallzeit eines Körpers von A nach B, wenn sich die Erde mit  dreht. Fallzeit und Reisezeit wären demnach bestätigt, wenn alles seine Richtigkeit hat.
Fehlt abschließend noch das Weg-Zeit-Gesetz der Hypozykloiden.
Bisher galt bei :
=\Omega\cdot t )
Jetzt würde bei gelten :
=\Omega^*\cdot t )
=\Omega\cdot \left(t\cdot \sqrt{1-\frac{\omega^2}{\Omega^2} } \right) } )
D.h., der Winkel Theta läuft in einem sich drehenden System etwas nach, weshalb die Reisedauer dann in reziproker Weise länger ausfällt. Das entspräche meiner einst vermuteten Aussage, dass die Erddrehung einen «bremsenden Effekt» entlang der Bahnkurve hätte. Wenn das alles bisher noch stimmig ist, dann könnte ich meine anfängliche Vermutung sogar wieder verschärfen.
>> Die Bahn des freien Falls bei der sich mit drehenden Erde von Punkt A nach B ist eine Hypozykloide und sogleich eine Brachistochrone. Die Führungsbahn (Tunnel) ist in diesem Fall kräftefrei. Eine davon abweichende Führungskurve zwischen A und B benötigt eine längere Reisezeit und wäre nicht mehr kräftefrei.<<
ABER, kann das so einfach gemacht werden??? Einführen einer gekünstelten Fallbeschleunigung g*, um die „Rechenhölle“ zu umgehen? Irgendwo muss ich wahrscheinlich einen fatal groben Denkfehler gemacht haben und unzulässiger Weise etwas unter den Teppich gekehrt haben. ODER?
Grüße von
Celestina
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Celestina_Shepherd
Gast
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| Celestina_Shepherd Verfasst am: 14. Apr 2024 20:31 Titel: |
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Hallo,
um zumindest hinsichtlich meiner anfänglichen Eingangsfrage einen Deckel auf das Thema zu setzen, habe ich mir noch das Fallbeschleunigungsprofil vom geophysikalischen Referenzmodell PREM angeschaut. Hier kann man angenähert sagen, dass in etwa folgende Beschleunigungswerte in Abhängigkeit vom Radius vorliegen:
Linearer Anstieg von 0 bis 10,75 m/s²
Linearer Abfall von 10,75 m/s² bis 10,0 m/s²
Linearer Abfall von 10,0 m/s² bis 9,8 m/s²
Setze ich dieses Profil in meine schlichte Simulation ein, dann erhalte ich einen Mindestradius von  bei einer gesamten Fallzeit (einmal Hin-und Herpendeln) von ca. 4594 Sekunden, wobei die Winkeldifferenz zwischen Startort und Zielort bei ca. 14,7° liegt. Die errechnete Fallzeit ist somit schon ganz in der Nähe vom numerisch ermittelten Wert von 4582 Sekunden, wie sie für PREM prognostiziert wurde. Siehe dazu die Arbeit von:
#1
„The Gravity Tunnel in a Non-Uniform Earth“
Alexander R. Klotz∗
Department of Physics, McGill Universit
und
#2
„Falling down a Hole through the Earth“
ANDREW J. SIMOSON
King College
Bristol, Tennessee 37620
Berechnet man den Mindestradius direkt über die Energie-Gleichung, dann liefert die Biquadratische Gleichung sogar einen Wert von r_min = 297875 Meter. Großartig näher würde ein frei fallender Körper am Erdmittelpunkt kaum noch vorbeisausen. Insofern ist für mich bzw. für meine Simulation auch das absolute Ende der Fahnenstange erreicht.
Hinsichtlich des freien Falles durch eine Erde mit homogener Massenverteilung kann ich noch auf folgende Arbeit #3 verweisen, deren Hypozykloiden über die Parameter r(t) und  ) beschrieben werden. (siehe aber auch #5 – Gleichung (8.15 / 8.16)
#3
„Terrestrial Brachistochrone“
Giulio Venezian
Citation: American Journal of Physics 34, 701 (1966); doi: 10.1119/1.1973207
Was das Bewegungsproblem in einem rotierenden System (bei sich drehender Erde!) anbelangt, so bin ich zumindest bei einem artverwandten Problem fündig geworden, das Aleksander Simonic in seiner Arbeit beschreibt. Hier handelt es sich nicht um Hypozykloide, die betrachtet werden, sondern um gerade Pfade durch die Erde (Sehnen).
#4
„A note on a straight gravity tunnel through a rotating body“
Aleksander Simonic
School of Science, The University of New South Wales (Canberra), ACT, Australia
Interessanterweise bin ich hier im Kapitel IV-A auf eine Zeitgleichung gestoßen, die so aussieht:
Um die Reisezeit-Situation für den Äquator zu betrachten, ist a=1 zu setzen. Ansonsten ist
und führt zu:
Und das wäre genau die von mir (nur als Idee) aufgezeigte Zeitverlängerung, die ich bei dem Brachistochronen-Problem ins Spiel gebracht habe.
| Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: |
...
Allein die Zeitgleichung (19) bzw. (32) im Paper muss angepasst werden, da dort die Fallbeschleunigung g durch g* zu ersetzen ist!
somit
Das bedeutet, die Reisezeit t wird dadurch auf t* gestreckt.
Die Brachistochronen (Hypozykloiden) würden somit auch in einem drehenden Koordinatensystem dieselben bleiben wie im Fall , aber mit geändertem Weg-Zeit-Gesetz. Im Beispiel der sich drehenden Erde läge der (geringe) zeitliche Unterschied dann bei:
also bei einer relativen Abweichung von + 1,72 Promille. ...
|
Hierin sehe ich zumindest eine ganz kleine Bestätigung bzw. eine wichtige Parallele für die beiden unterschiedlichen Probleme. Auch die folgenden Aussagen von A.Simonic: „For the Earth, this value is […], slightly more than for a non-rotating Earth.“ sowie „Therefore, the only fictitious acceleration which plays a role here is the centrifugal acceleration.“ deckt sich somit mit meiner Vermutung, dass dies auch im rotierenden GTB-Problem gelten könnte, sofern  ist. (nichtsdestotrotz kann ich mich trotzdem irren!) – Damit soll es von meiner Seite dann auch getan sein. Ich werde das Problem nicht lösen können!!!
Abschließend kann ich noch auf eine weitere kosmologische Analogie verweisen, auf die ich jetzt gestoßen bin. Sie könnte eventuell bei den Astrophysikern durchaus ein gesteigertes Interesse wecken. Zu finden ist sie unter:
#5
„Cosmic analogues of classic variational problems“
Valerio Faraoni
Department of Physics & Astronomy, Bishop’s University
Sherbrooke, Québec, Canada J1M 1Z7
Hier zeigt sich, dass die Problemstellungen im Kapitel „7 - Gravity tunnel“ und im Kapitel „8 - The terrestrial brachistochrone“ sogar auf die Einstein-Friedmann-Gleichungen übertragen werden können.
„… This minimum value of a is the analogue of the minimum radius r_min that can be reached, but not passed, by a particle in motion on the terrestrial brachistochrone (this curve does not pass through the centre of the Earth) [67, 70].
The static universe with \equiv a_{min} ) ; a_min is an exact solution of the Einstein-Friedmann equations, corresponding to a balance between  < 0 (which is attractive) and ( +3P) < 0, which is repulsive in the acceleration equation (1.5), where these terms appear with opposite sign and compete.“
Ich hätte nie im Traum daran gedacht, dass der Skalenfaktor der Friedmann-Gleichungen und der Mindestradius-Abstand im Gravity-Train-Problem über eine Analogie zusammengebracht werden können. Wenn das mal kein Ausblick ist!
Letztendlich sind die Friedmann-Weltmodelle aber nur für ein nichtrotierendes Universum zugeschnitten. Wahrscheinlich wäre ein „rotierendes Universum“ im Hinblick auf unsere Existenz nicht sehr sinnvoll, denn dann würde es uns sicherlich nicht geben. Aber denkbar wäre es. Wenn es schon einen gewaltigen Bruch zwischen sichtbarer Materie und kaum existierender Anti-Materie gibt, warum sollte der Drehimpulssatz im Gesamt-Universum dann zwingend ein Nullsummenspiel sein? Darüber werde ich mir den Kopf aber nicht zerbrechen! 
Für mich betrachtet war dieser kleine Ausflug in die Physik und in die Dynamik der rotierenden Systeme ausgesprochen inspirierend und lehrreich. Und alles hat damit angefangen, dass ich mit einer recht einfachen Excel-Tabelle nur einen frei fallenden Körper berechnen wollte. Damit will ich das Thema für mich abschließen und bedanke mich sehr bei „TomS“ und „Myon“ für die erstklassige Unterstützung!
Grüße von
Celestina
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