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Nachricht |
Tunnler
Gast
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 Tunnler Verfasst am: 24. Aug 2020 22:00 Titel: Gravitationstunnel |
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Meine Frage:
Hallo,
ich habe die Aufgabe zu berechnen, wie lange Fall einer Kugel der Masse  durch die Erde entlang einer Geraden der Lände  durch den Erdmittelpunkt dauert.
Meine Berechnungen sind:
Die Beschleunigung kann man so ausdrücken
Jetzt benutze ich, dass die Kugel am Anfang die Geschwindigkeit 0 hat, also bei  gilt  , also:
gilt für den Weg von der Oberfläche bis zum Zentrum. Umgtestellt:
und mit  eingesetzt kommt heraus:
Und für die gesamte Zeit muss man es nur mit 2 multiplizieren und erhält:
 .
Ich habe im Internet die Lösung nachgeschaut und überall kommt diese Lösung heraus:
 .
Die Herleitung davon verstehe ich, aber ich verstehe nicht, wieso mein Ergebnis falsch sein sollte?
Auf Wikipedia steht, dass die Lösung, die ich erhalten habe für eine inhomogene Massenverteilung gilt. Das verstehe ich nicht, da ich ja  angesetzt habe, was einer homogenen Massenverteilung entsprechen sollte.
Wortwörtlich steht dort:
"Inhomogene Massenverteilung
Die reale Massenverteilung der Erde beschreibt das PREM. Da der Erdkern eine weit höhere Dichte hat als der Mantel, ist die Näherung konstanter Dichte unrealistisch, siehe Abbildung. Die Näherung konstanter Fallbeschleunigung (nicht eingezeichnet) ist offensichtlich besser. Damit ergibt sich eine Reisezeit von:
 ."
Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Gravitationstunnel
Kann mir jemand den Unterschied zwischen meinem Ergebnis und dem der Musterlösung erklären?
Danke!
Meine Ideen:
Mein Lösungsansatz steht oben! |
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Tunnler
Gast
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| Tunnler Verfasst am: 24. Aug 2020 22:02 Titel: |
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Da ich mich beim Latex vertippt habe:
Die ungültigen Bereiche sind:
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A.T.
Anmeldungsdatum: 06.02.2010
Beiträge: 343
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| A.T. Verfasst am: 24. Aug 2020 22:16 Titel: Re: Gravitationstunnel |
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| Tunnler hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
gilt für den Weg von der Oberfläche bis zum Zentrum.
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Ist  konstant? |
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Tunnler
Gast
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| Tunnler Verfasst am: 24. Aug 2020 22:19 Titel: Re: Gravitationstunnel |
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| A.T. hat Folgendes geschrieben: | | Tunnler hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
gilt für den Weg von der Oberfläche bis zum Zentrum.
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Ist konstant? |
Sorry, nein da habe ich mich bei Latex vertippt!
. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18049
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| TomS Verfasst am: 24. Aug 2020 22:23 Titel: Re: Gravitationstunnel |
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| Tunnler hat Folgendes geschrieben: | Die Beschleunigung kann man so ausdrücken
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Das entspricht einer linearen Gravitationskraft
Eine zur Auslenkung proportionalen Kraft kennst du vom Pendel, d.h. es wird hier eine harmonische Schwingung um r = 0 vorliegen.
| Tunnler hat Folgendes geschrieben: | Jetzt benutze ich ...also:
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Erstens ist die Kraft nach unten gerichtet, d.h. r(t) nimmt ab, nicht zu.
Und zweitens ist dies ein Ansatz für eine konstante Kaft. Kraft und Beschleunigung sind jedoch nicht konstant, sondern r-abhängig. Du musst das also entweder über eine Differentialgleichung lösen, oder über geschickte Integration mittels Energiesatz.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Tunnler
Gast
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| Tunnler Verfasst am: 24. Aug 2020 22:38 Titel: |
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TomS: Das war genau was ich gebraucht habe, danke!
Das "geschickte Integrieren" sehe ich gerade leider nicht. Die DGL lösen ist kein Problem! Aber für's Integrieren kann man ja keine Trennung der Veränderlichen benutzen, da es eine DGL 2. Ordnung ist, oder?
Danke! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18049
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| TomS Verfasst am: 24. Aug 2020 22:43 Titel: |
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Die Dgl. 2. Ordnung liefert eine Schwingung, also „Lösen der Hinschauen“; Trennung der Variablen funktioniert für 1. Ordnung.
Geschicktes Integrieren funktioniert über den Energiesatz mit
V folgt durch Integration der Kraft. Dann nach v(r) als Funktion von r auflösen.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Tunnler
Gast
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| Tunnler Verfasst am: 24. Aug 2020 23:03 Titel: |
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Okay, das Integral habe ich mal versucht:
Mit der Integration der Kraft folgt für das Potential:
Also:
Das haut noch nicht so ganz hin leider. Könntest du mir da noch helfen?
Danke!!!! |
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Tunnler
Gast
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| Tunnler Verfasst am: 24. Aug 2020 23:04 Titel: |
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Habe mich bei Latex vertippt für das Potential:
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Tunnler
Gast
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| Tunnler Verfasst am: 24. Aug 2020 23:06 Titel: |
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Ohjemine, ich hab das mit Latex noch nicht so drauf, sorry:
Und
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18049
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| TomS Verfasst am: 25. Aug 2020 06:19 Titel: |
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Auch das Potential ist eine Funktion der Radialkoordinate r
 = \int_0^r dr^\prime F(r^\prime))
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