Spinoperator

Markus2309 · Anmeldungsdatum: 01.09.2022 Beiträge: 48 Wohnort: Karlsruhe

Meine Frage:
Hi zusammen,

ich habe ein paar Fragen, welche den Spinoperator betreffen. Zunächst kann man diesen ja mit den Paulimatrizen darstellen. Was für ein mathematisches Konstrukt ist dann S, dass die Komponenten von S Matrizen sind?

Dann geht es noch um die Spin Spin Wechselwirkung. In meinem Skript wird eine Hamilton Operator betrachtet:

Was ist der Unterschied zwischen S_1 und S_2? Wenn ich die Definition über die Pauli Matrizen einfügen würde, würde ja S_1 gleich S_2 sein, weil die Pauli Matrizen ja nur konstante Komponenten haben.

Wieso kommutieren S_1 und S_2?

Dann heißt es: Der Hilbert Zustand hat 4 Dimensionen und man kann folgende Basis wählen:

4 Dimensionen, weil für jedes Teilchen zwei Zustände möglich sind?

Dann heißt es: " Wir untersuchen die Wirkung von S_z auf die Basis" (Da H mit dem Gesamtspin kommutiert, ist es sinnvoll eine gemeinsame Basis an Eigenzuständen zu suchen)

Die Wirkung von S_z auf die obigen Basiszustände weiß ich, weil ich sie für ein einzelnes ELektron weiß? Also

und jetzt halt für jeden Pfeil nach oben + h/2 und für jeden Pfeil nach unten - h/2? Gibt es da ne bessere Erklärung? Man könnte ja auch vermuten, dass für jeden Pfeil nach oben mit h/2 multipliziert und nicht addiert werden muss.

Dann geht es weiter, es wird das quadrat des Gesamtspins berechnet, zu:

Hier verstehe ich den 2. Schritt nicht. Nach meiner Rechnung steht auf der rechten Seite:

Aber keine Ahnung wie es hier weitergehen soll.

Meine Ideen:
stehen oben.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18027

Versuch's mal ohne Matrizendarstellung.

Für die Spins zweier Teilchen i = 1,2 lauten die Basiszustände

wobei du letztlich noch symmetrisieren oder antisymmetrisieren musst.

Die Werte der z-Komponenten laufen wie üblich über

Ein Operator

wie in deinem Hamiltonian (ich lasse die Pfeile weg) wirkt auf einen Basiszustand gemäß

Die beiden Spinoperatoren kommutieren, weil sie auf unterschiedlichen Räumen definiert sind, jeweils für ein Teilchen. Wenn du nur am Spin des ersten (zweiten) Teilchens interessiert bist, betrachtest du nur dessen Spinoperator. Da das erste (zweite) Teilchen jedoch zusammen mit dem zweiten (ersten) in einem gemeinsamen Zustand steckt, benötigst du dafür den Operator

bzw.

Diese Operatoren kommutieren wegen

Das siehst du der komplizierten Rechnerei mit Matrizen eher nicht an.

Markus2309 · Anmeldungsdatum: 01.09.2022 Beiträge: 48 Wohnort: Karlsruhe

Danke dir.

Das Operatoren, welche auf unterschiedliche Räume wirken, kommutieren, habe ich in einem Beitrag von die auf matheplanet gesehen, deswegen ist das erstmal geklärt.

Den unteren Teil, mit dem Quadrat des Gesamtspins hab ich selbst zeigen können. Zunächst ist der Kommutator rechts 0. Die 3/2 h^2 kommen einfach aus der Definition über die Pauli Matrizen, wenn man das Quadrat berechnet, bekommt man eben 3 mal 1/4 h^2 mal die Einheitsmatrix, und eben noch mal 2 weil zwei Spin System (bzw. auch aus der Eigenwertgleichung von S^2). Super, dann hab ich das verstanden!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18027