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Markus2309
Anmeldungsdatum: 01.09.2022
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 Markus2309 Verfasst am: 10. Okt 2022 18:35 Titel: Auf- und Absteigeoperator |
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Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich gehe gerade den 1D harmonischen Oszillator durch, und habe Verständnisschwieriegkeiten mit den Auf und Absteigeoperatoren und der Dirac Notation.
Es geht darum, dass der Besetzungszahloperator definiert wurde und die Frage nach seinen Eigenzuständen zu lösen ist. Es gilt:
soweit so gut, hieraus folgt, dass der Besetzungszahlenoperator nur positive Eigenwerte hat. Jetzt geht es darum den Eigenzustand zum Eigenwert 0 zu finden, setzt man 0 als Eigenwert ein, sieht man, dass der 0 Zustand der entsprechende Eigenzustand ist. Jetzt wird aber auch gefolgert, dass der Absteigeoperator auf den Nullzustand angewendet den Nullzustand ergibt, und das verstehe ich nicht. Sinn macht es schon, weil ja der Nullzustand der niedrigste sein soll. Also wieso gilt:
 Edit: Das wurde geklärt.
Später können dann damit die Wellenfunktionen im Ortsraum berechnet werden.
 = \left< x | 0 \right> )
Hier bin ich auch ein bisschen verwirrt. Wenn wir für n den Eigenzustand zum Eigenwert 0 bestimmen, so ist das tatsächlich der Nullzustand, also ein Vektor nur aus nullen bestehend. Hier in der Definition ist jetzt aber die Wellenfunktion als Skalarprodukt aus Nullzustand und bra x geschrieben, wieso ist das nicht direkt 0? Edit: das Wurde auch geklärt, die Zahl beschreibt nur um welchen Zustand es sich handelt, also 0 ist der Zustand niedrigster Energie und nicht der nullvektor)
Gut, akzeptiere ich das mal, dann lassen sich die näcsthöheren Zuständer berechnen, nach :
 = \left< x | 1 \right> = \left< x | a^\dagger 0 \right> = \sqrt{\frac{m\omega}{2 \hbar} } \left ( x - \frac{\hbar}{m\omega}\frac{\partial}{\partial x} \right) \psi_0 (x) )
Wenn ich aber am Ende, die obige Definition von  = \left< x | 0 \right> )
einsetze, dann steht ja mein Aufsteigeoperator, vor dem Bracket und nicht mehr drinnen, was ja auch nicht stimmt. Also irgendwie blicke ich das noch nicht. Wieso ich meine Wellenfunktion als  = \left< x | \psi \right> ) schreiben kann, verstehe ich auch nicht. Was ist denn der Unterschied zwischen dem Psi links und dem Psi im Ket?
Meine Ideen:
.
Zuletzt bearbeitet von Markus2309 am 10. Okt 2022 19:56, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 10. Okt 2022 19:10 Titel: Re: Auf- und Absteigeoperator |
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Zunächst mal
oder?
Es gilt
Der Grundzustand ist nicht der Nullvektor.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 10. Okt 2022 19:31 Titel: Re: Auf- und Absteigeoperator |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Zunächst mal
oder?
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So zeigst du ja nicht, daß alle Eigenwerte  sind.
ist schon richtig.
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It is just this lack of connection to a concern with truth -- this indifference to how things really are -- that I regard as of the essence of bullshit. -- Harry G. Frankfurt |
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Markus2309
Anmeldungsdatum: 01.09.2022
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| Markus2309 Verfasst am: 10. Okt 2022 19:46 Titel: |
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Zu 1.:
Eigentlich doch, oder? ganz links steht v und die norm von v, welche größer ist, rechts steht größergleich 0, also muss v größer gleich 0 sein.
Zu 2. (a ket0 = 0):
kannst du mir zeigen, warum das gitl?
Beziehungsweise meine Idee:
Eigenzustand zu Eigenwert 0 ist jetzt v_0, mich verwirrt das, wenn da nur Zahlen stehen. Dann gilt
Okay, das sollte Sinn ergeben. Dann ist das geklärt, dass die Zahlen dann nur die Nummer des Zustandes beschreiben, habe ich jetzt auch verstanden.
Dann geht es noch um die Wellenfunktion:
Ich habe in den Anhang mal den Ausschnitt aus meinem Script angefügt. Hier geht es um die Eigenzustände des Ortsoperators, wo wir am Ende beschreiben, wie wir die Wellenfunktion darstellen. Nur verstehe ich den letzten Schritt nicht, also wieso wir psi(x) als bracket aus x und psi schreiben, was ist denn das psi ket?
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Zuletzt bearbeitet von Markus2309 am 10. Okt 2022 20:06, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 10. Okt 2022 20:00 Titel: |
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Also ob im Ansatz v oder v² steht ist letztlich egal, damit hat man noch nichts vorausgesetzt, man will ja die Werte für v erst berechnen.
Ein Vektor im Hilbertraum, der ein quantenmechanisches System repräsentieren soll, ist per definitionem ein auf Eins normierter Vektor. Das gilt auch für den Grundzustand eines Systems.
Der Nullvektor ist dagegen ein Vektor der Norm 0. Für ihn gilt, dass
für alle Zahlen und Operatoren A.
Aus dem Nullvektor kannst du mit keinem Operator irgendwas erzeugen.
Mach dir das mal anhand der linearen Algebra, dem Nullvektor (0,0,0) und einer beliebigen 3*3 Matrix klar.
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Markus2309
Anmeldungsdatum: 01.09.2022
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| Markus2309 Verfasst am: 10. Okt 2022 20:04 Titel: |
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Ja das ergibt Sinn.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 10. Okt 2022 20:52 Titel: |
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| Markus2309 hat Folgendes geschrieben: | Zu 1.:
Eigentlich doch, oder? ganz links steht v und die norm von v, welche größer ist, rechts steht größergleich 0, also muss v größer gleich 0 sein. |
Ja, genau. Das ursprüngliche Argument ist vollkommen korrekt. Mit  kommt man erst mal nicht weiter.
| Zitat: |
Zu 2. (a ket0 = 0):
kannst du mir zeigen, warum das gitl?
Beziehungsweise meine Idee:
Eigenzustand zu Eigenwert 0 ist jetzt v_0, mich verwirrt das, wenn da nur Zahlen stehen. Dann gilt
|
Es gilt ja  . Für einen Vektor  mit  folgt also  . Wenn also  nicht verschwindet, dann wäre es ein Eigenvektor von  zu einem negativen Eigenwert. Du hast aber ganz zu Anfang beweisen, daß keiner dieser Eigenwerte negativ ist. Also ist  .
| Zitat: |
Dann geht es noch um die Wellenfunktion:
Ich habe in den Anhang mal den Ausschnitt aus meinem Script angefügt. Hier geht es um die Eigenzustände des Ortsoperators, wo wir am Ende beschreiben, wie wir die Wellenfunktion darstellen. Nur verstehe ich den letzten Schritt nicht, also wieso wir psi(x) als bracket aus x und psi schreiben, was ist denn das psi ket? |
Da gibt es auch nicht viel zu verstehen. Das sind nur formale Manipulationen, bei denen Mathematikern die Haare zu Berge stehen. Ich betrachte  = \langle x|\psi\rangle ) als die Definition von  als lineares Funktional angewendet auf die Wellenfunktion  .
P.S. Wenn du formal dem "Bra" die Wellenfunktion  zuordnest, dann wäre
 \psi(y) = \psi(x).)
Das bedeutet  = \delta(x-y)) was genau mit Gl. (150) gemeint ist.
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Markus2309
Anmeldungsdatum: 01.09.2022
Beiträge: 48
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| Markus2309 Verfasst am: 10. Okt 2022 21:33 Titel: |
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P.S. Wenn du formal dem "Bra" die Wellenfunktion zuordnest, dann wäre
Das bedeutet was genau mit Gl. (150) gemeint ist.[/quote]
Aber warum steht in deinem Bra dann x und im Integral dann etha und nicht x?
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 10. Okt 2022 21:50 Titel: |
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| Markus2309 hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | P.S. Wenn du formal dem "Bra" die Wellenfunktion zuordnest, dann wäre
Das bedeutet was genau mit Gl. (150) gemeint ist. |
Aber warum steht in deinem Bra dann x und im Integral dann etha und nicht x? |
Weil der Name "x" schon für das Argument in ) vergeben war. Also kann ich die "Wellenfunktion" nicht genauso nennen. Selbst wenn sie nur fiktiv ist.
Am besten wäre es natürlich nicht , sondern  zu schreiben. Dann ist ) eine vernünftige Definition für bestimmte Teilmengen quadratintegrabler Funktionen . Dem Bra  kann man dann die (immer noch fiktive) Wellenfuntion  = \delta(x-y)) zuordnen. Aber diese Notation wirst du in Physikbüchern selten finden, ist Standardnotation.
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Markus2309
Anmeldungsdatum: 01.09.2022
Beiträge: 48
Wohnort: Karlsruhe
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| Markus2309 Verfasst am: 11. Okt 2022 10:18 Titel: |
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Okay, dann habe ich es glaube ich verstanden. Da wir unsere Wellenfunktion als Vektor des Hilbert Raumes über den quadratintegrablen komplexwertigen Funktionen verstehen, gibt es zunächst keinen Unterschied zwischen diesen beiden Schreibweisen. Zustandsvektor undWellenfunkiont haben dieselbe Dimension:
 = \left| \psi(x) \right> )
Dann sei der Eigenzustand des Ortsoperators definiert als
)
und die Darstellung der Wellenfunktion als
 = \left< x | \psi \right> )
begründet sich durch:
 \right> = \psi(x) = \int \! \psi(\xi) \delta(x-\xi) \, \dd \xi = \left< \delta(x-\xi) | \psi(\xi) \right> \equiv \left< x | \psi \right> )
(im letzten Schritt, weil die Delta Funktion reell ist und somit  gilt
Okay, dann noch wie man beim harmonischen Oszillator die nächsthöheren Zustände berechnet. Es gilt dann:
 = \left< x | 1 \right> = \left< \delta(x-\xi) | a^\dagger 0 \right> = \int \! \delta(x-\xi) a^\dagger \psi_0(\xi) \, \dd \xi = a^\dagger \psi_0(x) )
Womit ich jetzt mein letztes Problem gelöst haben sollte, das der Aufsteigeoperator aus dem Bracket gezogen werden kann.
Wenn jemand mir diese Überlegungen bestätigen könnte, wäre ich überglücklich.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 11. Okt 2022 11:01 Titel: |
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| Markus2309 hat Folgendes geschrieben: | |
Du setzt Wellenfunktionen und Kets gleich. Das ist falsch.
Rechts kann kein x stehen; das x erhältst du aus dem linearen Funktional bzw. dem <x| von links.
Vergleiche mal mit einem normalen Ortsvektor in drei Dimensionen:
Die Komponente 'i" entsprechend dem "x" streckt keineswegs bereits in dem Vektor
Und daher
 \neq \left| \psi \right> )
| Markus2309 hat Folgendes geschrieben: | Dann sei der Eigenzustand des Ortsoperators definiert als
|
S.o.: du setzt Wellenfunktionen und Kets gleich.
Das ist kein Eigenzustand, denn dieser läge im Hilbertraum und wäre damit quadratintegrabel.
Die Deltafunktion ist gerade nicht quadratintegrabel und lieget daher nicht im Hilbertraum (sondern nur in dessen Abschluss).
| Markus2309 hat Folgendes geschrieben: | ... und die Darstellung der Wellenfunktion als
. |
Und genau deswegen darfst du Wellenfunktion und Ket nicht gleichsetzen.
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Markus2309
Anmeldungsdatum: 01.09.2022
Beiträge: 48
Wohnort: Karlsruhe
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| Markus2309 Verfasst am: 11. Okt 2022 11:12 Titel: |
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Okay TomS jetzt bin ich aber wieder komplett verwirrt. Bei mir im Script lautet das erste Postulat:
The state of the system is described by a wave function )
Wie ist das dann zu verstehen?
Weiterhin steht in meinem Script (siehe Bild was ich oben im Anhang habe) dass die delta Funktion der Eigenzustand des Ortsoperators ist.
Ich finde es einfach nur extremst verwirrend, dass jeder Prof und jede Quelle ander Konventionen hat und dann diese noch nicht einmal konsequent eingehalten werden. Ebenfalls in dem Bild was ich oben hochgeladen habe steht dann ja in Gliechung 154 links die Wellenfunktion und im ersten Integral ein Ket. Das stimmt ja dann auch nicht von der Dimension, wenn ich Wellenfunktion und ket nicht gleich haben darf.
WIe ist dann der Eigenzustand von dem Ortsoperator zu schreiben?
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 11. Okt 2022 12:03 Titel: |
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| Markus2309 hat Folgendes geschrieben: | Okay TomS jetzt bin ich aber wieder komplett verwirrt. Bei mir im Script lautet das erste Postulat:
The state of the system is described by a wave function
Wie ist das dann zu verstehen?
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Ich glaube das Problem betrifft im Augenblick nur noch die Notation. Physiker bezeichnen oft als die Funktion. Die Funktion ist aber und ist ihr Wert an der Stelle x (sofern der definiert ist). Die Formeln im Skript sind voll von diesen Ungenauigkeiten. Keinen Fehler machst du, wenn du die Funktion mit dem "Ket" identifizierst  . So gesehen könntest du auch schreiben ) . Das tut aber keiner.
Statt ) sollte man besser  oder auch ) schreiben. An alle diese Ungenauigkeiten mußt du dich einfach gewöhnen. Man muß einmal einigermaßen durchdacht haben, welche Strukturen zugrundeliegen und dies dann einfach im Hinterkopf behalten.
| Zitat: |
Weiterhin steht in meinem Script (siehe Bild was ich oben im Anhang habe) dass die delta Funktion der Eigenzustand des Ortsoperators ist.
[...]
WIe ist dann der Eigenzustand von dem Ortsoperator zu schreiben? |
Du kannst  schreiben. Diese Gleichung bedeutet dasselbe wie =\xi\langle\xi|\psi\rangle) für alle aus dem Definitionsbereich von  . Der Operator X' ist der dual-adjungierte (nicht zu verwechseln mit dem Hilbertraumadjungierten  ) von X. Er ist definiert durch die Gleichung  für alle Funktionale auf dem weiter oben erwähnten Teilraum quadratintegrabler Funktionen. Der Unterschied zum Hilbertraumadjungierten ist, daß die Funktionale , wie  , i.a. keine Hilbertraumvektoren und  kein Hilbertraumprodukt ist.
In diesem Sinne schreibt man auch  oder  (mit "X", statt X'). Alle diese Gleichungen bedeuten dasselbe: , )
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 11. Okt 2022 13:53 Titel: |
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| Markus2309 hat Folgendes geschrieben: | Okay TomS jetzt bin ich aber wieder komplett verwirrt. Bei mir im Script lautet das erste Postulat:
The state of the system is described by a wave function
Wie ist das dann zu verstehen? |
So wie ich's oben aufgeschrieben habe.
Der Zustand ist ein Vektor in einem zunächst endlich-dimensionalen Vektorraum; die Komponenten entstehen erst durch Projektion auf eine Basis. Der Vektor ist unabhängig von der Basis, umgekehrt führen unterschiedliche Basen zu unterschiedlichen Komponenten für den selben Vektor.
Beim Übergang zu unendlich vielen Dimensionen und der Ortsdarstellung mit dem "kontinuierlichen Index" x kommt erschwerend hinzu, dass die Objekte <x| bestimmte Eigenschaften von Basisvektoren verlieren (nicht mehr abzählbar, nicht mehr quadratinegrabel, Integral statt Produkt ...).
Das Postulat sollte dann lauten
The state of the system is described by state vector  from which a wave function can be derived via )
Andere Darstellungen sind ebenfalls möglich, z.B. eine Wellenfunktion im Impulsraum mittels )
Beide repräsentieren den selben Zustand psi, sie sind insbs. unitär äquivalent.
| Markus2309 hat Folgendes geschrieben: | | Ich finde es einfach nur extremst verwirrend, dass jeder Prof und jede Quelle andere Konventionen hat und dann diese noch nicht einmal konsequent eingehalten werden. |
Kann ich verstehen.
Noch dazu, wenn sie letztlich irreführend bis falsch sind.
| Markus2309 hat Folgendes geschrieben: | | Wie ist dann der Eigenzustand von dem Ortsoperator zu schreiben? |
Am besten gar nicht.
Fasse diesen sogenannten Eigenzustand immer als lineares Funktional auf, das nur links als bra stehen kann.
Dann ergibt sich die Wirkung auf den Ket immer mittels des x-Integrals, wobei der sogenannte "Ortseigenzustand" jetzt delta-Distribution unter dem Integral erscheint. Das ist ok.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 11. Okt 2022 17:15 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Das Postulat sollte dann lauten
The state of the system is described by state vector from which a wave function can be derived via
Andere Darstellungen sind ebenfalls möglich, z.B. eine Wellenfunktion im Impulsraum mittels
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Aber so stimmt es auch noch nicht ganz. Das wäre zweimal dieselbe Funktion (zumindest hat sie zweimal denselben Namen ![](https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?"\psi") ). Dann müßte man schon ) schreiben, wobei  die Fouriertransformierte von ist. Das grundlegende Problem ist hier, daß man zwei vollkommen verschieden Funktionale mit dem Symbol ![](https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?" \langle \xi|") bezeichnet,
)
und
.)
Ein weiterer Grund warum die Diracnotation so scheußlich ist. Namen von Dummyvariablen, wie "x" und "p", ändern vollkommen die Bedeutung der Formeln. Wenn man, so wie ich gerade, völlig ungebräuchliche Variablennamen verwendet, kann man gar nicht mehr wissen was gemeint ist.
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 11. Okt 2022 17:23 Titel: Re: Auf- und Absteigeoperator |
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| Markus2309 hat Folgendes geschrieben: | Wieso ich meine Wellenfunktion als schreiben kann, verstehe ich auch nicht. Was ist denn der Unterschied zwischen dem Psi links und dem Psi im Ket?
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Ja, die Notation kann schon an manchen Stellen etwas verwirrend sein.
Der Psi-Ket ist der (abstrakte) Zustandsvektor der Wellenfunktion, der in der "(kontinuierlichen) Ortsbasis" dargestellt wird, das Psi links ist also die Komponente in dieser Darstellung:
 \left | x \right> \, dx)
Also somit:
 \, \delta(y - x) \, dx = \psi(y))
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 11. Okt 2022 17:31 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | Das Postulat sollte dann lauten
The state of the system is described by state vector from which a wave function can be derived via
Andere Darstellungen sind ebenfalls möglich, z.B. eine Wellenfunktion im Impulsraum mittels
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Aber so stimmt es auch noch nicht ganz. Das wäre zweimal dieselbe Funktion (zumindest hat sie zweimal denselben Namen ). Dann müßte man schon schreiben, wobei die Fouriertransformierte von ist. |
Ja, du hast recht, auch das ist eine implizite Konvention: "wenn p als Argument da steht, dann ist mit psi die Fouriertransformierte von psi gemeint ..."
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | Das grundlegende Problem ist hier, daß man zwei vollkommen verschieden Funktionale mit dem Symbol bezeichnet,
und
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Ja, auch hier gilt wieder das Selbe wie oben: Wenn im bra ein x, xi ... steht, dann liefert das die Wellenfunktion im Ortsraum, wenn dagegen p, q, k dasteht, dann deren Fouriertransformierte, also die Wellenfunktion im Impulsraum.
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Ein weiterer Grund warum die Diracnotation so scheußlich ist. Namen von Dummyvariablen, wie "x" und "p", ändern vollkommen die Bedeutung der Formeln. Wenn man, so wie ich gerade, völlig ungebräuchliche Variablennamen verwendet, kann man gar nicht mehr wissen was gemeint ist. |
Da hast du recht.
Aber das fällt mir gerade wirklich zum ersten Mal auf.
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Markus2309
Anmeldungsdatum: 01.09.2022
Beiträge: 48
Wohnort: Karlsruhe
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| Markus2309 Verfasst am: 12. Okt 2022 18:43 Titel: |
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Hi zusammen,
abschließend ein Dankeschön an alle Kommentare und Erklärungen. Mittlerweile habe ich mich auch mit meinem Übungsleiter unterhalten und es sind alle Fragen geklärt worden.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 12. Okt 2022 20:19 Titel: |
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Danke für die Rückmeldung.
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