Energieschale im Phasenraum

Daniel444 · Anmeldungsdatum: 29.09.2022 Beiträge: 5

Meine Frage:
Warum liegen Mikrozustände eines Systems mit konstanter Energie auf einer abgeschlossenen Hyperfläche im Phasenraum? Das heißt, warum sind diese Hyperflächen abgeschlossen wenn die Energie konstant ist?

Meine Ideen:
Ich glaube das muss irgendwie mit der Ergodentheorie verknüpft sein, aber kann den Zusammenhang nicht erkennen

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Daniel444 · Anmeldungsdatum: 29.09.2022 Beiträge: 5

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Also geht es nicht um “die Mikrozustände” sondern um eine spezielle Lösung für ein spezielles Systems, und du fragst nach dem Grund für die Periodizität. Richtig?

Diese ist im Allgemeinen nicht gegeben.

Bsp. freies Teilchen:

Das ist eine Gerade, und die ist nicht geschlossen.

In speziellen Fällen folgt die von dir genannte Eigenschaft für spezielle Lösungen der Bewegungsgleichung.

Daniel444 · Anmeldungsdatum: 29.09.2022 Beiträge: 5

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Also es geht um Gibbsche Ensembles im Phasenraum.

Dabei betrachtet man eine Wahrscheinlichkeitsdichte rho mit

sowie Phasenraumintegrale für Erwartungswerte, d.h.

Im vorliegenden Fall geht es wohl speziell um das mikrokanonische Ensemble. Für dieses gilt per Definition

Man betrachtet ausschließlich Ensembles, die diesen Bedingungen genügen, d.h. isolierte Systeme ohne Energieaustausch mit der Umgebung so dass deren Hamiltonfunktion H(q,p) einen konstanten Wert E hat (sowie bei festem Volumen V und fester Teilchenzahl N).

Ziel ist die Berechnung der Dichte rho.

Die Einschränkung des Phasenraums Omega auf die Energieschale

entspricht eigtl. einer Aufweichung der Bedingung

Letztlich führt das auf die Dichte des mikrokanonischen Ensembles bei fester Energie

d.h. es geht um

(bis auf Normierungsfaktoren)

Die Einführung der Massenschale endlicher Dicke ist lediglich eine Methode, die delta-Funktion in der Herleitung zu vermeiden; man rechnet eben mit einer Darstellung der Deltafunktion, die innerhalb der Massenschale konstant und außerhalb Null ist (wird üblicherweise bewiesen), jedoch ist letztlich immer der Grenzfall

gemeint.

Welche Geometrie die Hyperfläche H = E hat, bleibt dabei zunächst offen; ich bezweifle, dass es dazu eine allgemeingültige Aussage geben kann, da die Geometrie ja von H(q,p) abhängt. Schau dir ein System gravitativ wechselwirkender Teilchen an. Dabei können bei fester Energie E die Impulse und damit die kinetische Energie beliebig groß werden, da umgekehrt die potentielle Energie V(q) beliebig klein (negativ) werden kann.