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Nachricht |
Koalalover
Anmeldungsdatum: 05.01.2022
Beiträge: 1
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 Koalalover Verfasst am: 05. Jan 2022 17:57 Titel: Funktionalableitung |
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Meine Frage:
Ich habe folgendes Funktional gegeben:
=\int_V f(c)+\kappa (\nabla c)^2dV)
Wie ist die Funktionalableitung davon?
Also
Meine Ideen:
Ich bin bis jetzt auf folgendes gekommen:
^2dV- \int_V f(c)+ \kappa (\nabla c)^2dV}
<br />
)
-f(c) + \kappa (\nabla c+ \epsilon h)^2dV- \kappa (\nabla c)^2dV}
<br />
)
^2dV- \kappa (\nabla c)^2dV}
<br />
)
Das Epsilon geht gegen 0.
Weiter komme ich leider nicht. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 05. Jan 2022 18:46 Titel: Re: Funktionalableitung |
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| Koalalover hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Ich habe folgendes Funktional gegeben:
Wie ist die Funktionalableitung davon?
Also
Meine Ideen:
Ich bin bis jetzt auf folgendes gekommen:
^2dV- \int_V f(c)+ \kappa (\nabla c)^2dV})
-f(c) + \kappa (\nabla c+ \epsilon h)^2dV- \kappa (\nabla c)^2dV})
^2dV- \kappa (\nabla c)^2dV})
Das Epsilon geht gegen 0.
Weiter komme ich leider nicht. |
Was ist denn mit f(c) gemeint? Die Verkettung von f und c,  ? Die Funktionalableitung davon ist nach der Kettenregel einfach \dd V}{\delta c(x)} = f'(c(x))) .
Den zweiten Term mußt du mittels partieller Integration auf die Form
\epsilon h\dd V + O(\epsilon^2))
bringen. Dafür benötigst du allerdings die Annahme, daß die Variation h im Unendlichen verschwindet. Die Funktionalableitung ist per Definition der Term K(c) proportional zu  . In diesem Fall müßte das
}{\delta c(x)} = -2\kappa\Delta c(x)) sein.
Also insgesamt, wenn ich mich nicht irre:
} = f'(c(x)) - 2\kappa\Delta c(x).) |
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Koalalover1
Gast
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| Koalalover1 Verfasst am: 05. Jan 2022 22:19 Titel: Funktionalableitung |
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Danke dir, ja der erste Teil stimmt ja mit dem überein, was ich mir gedacht hatte...
Aber wie bist du auf die letzte Formel gekommen?
also warum ist
^2 dV}{\delta c} =-2 \kappa \nabla ^2 c
<br />
) ?
Ja das c ist in dem Fall auch eine Funktion die vom dreidimensionalen Raum in die reellen Zahlen geht.
Vielen Dank! |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 06. Jan 2022 08:23 Titel: Re: Funktionalableitung |
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| Koalalover1 hat Folgendes geschrieben: | Danke dir, ja der erste Teil stimmt ja mit dem überein, was ich mir gedacht hatte...
Aber wie bist du auf die letzte Formel gekommen?
also warum ist
^2 dV}{\delta c} =-2 \kappa \nabla ^2 c) ?
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Das war im Text angedeutet: mittels partieller Integration und der Annahme, daß h im Unendlichen verschwindet. Den Ansatz hast du ja schon richtig gemacht. Du variierst  und schreibst F an der Stelle als Polynom in  , d.h.
 = F(c) + F_1(c) \epsilon + F_2(c)\epsilon^2 +\cdots)
Die Funktionalableitung ist (analog zur gewöhnlichen Ableitung) der Term linear in .
Für =\int \|\nabla c\|^2\ \dd V) ergibt dies
 = 2\epsilon \int \nabla c\cdot \nabla h\ \dd V.\qquad\text{(1)})
Das ist im Prinzip schon die Antwort, d.h. man kann sagen:  ist die lineare Abbildung
Oft will man das aber expliziter schreiben, d.h. man sucht nach einer verallgemeinerten Funktion, und bezeichnet sie als
})
(hier steht noch das Argument x im "Nenner"), so daß gilt
 = \int \frac{\delta G}{\delta c(x)}h(x)\ \dd V)
Ich nehme an, dieses ) ist gesucht. Das erhält man aus (1) eben aus der anfangs genannten Bedingung an h*) mittels partieller Integration oder mittels der Identität
 = \nabla h\cdot \nabla c + h\Delta c) .
____________________
*) Genauer gesagt benötigt man natürlich, daß das Oberflächenintegral von  verschwindet. Das heißt vermutlich, daß  oder etwas ähnliches gelten muß. |
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