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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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 frage1 Verfasst am: 24. Okt 2021 06:56 Titel: Geschwindigkeitsverteilung 1D |
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Guten Morgen!
Ich komm‘ bei einer Aufgabe überhaupt nicht klar. Es handelt sich wieder um eine Geschwindigkeitsverteilung. Ich weiß nicht, ob der Ansatz stimmt, aber so würde ich anfangen zu rechnen. Könnt ihr mir weiterhelfen? Danke schon mal im Voraus!
Zuletzt bearbeitet von frage1 am 11. Dez 2021 22:28, insgesamt 5-mal bearbeitet |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
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| Myon Verfasst am: 24. Okt 2021 09:09 Titel: |
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Schau vielleicht zuerst mal nach, was die Halbwertsbreite bedeutet.
Die Funktion f(v_x) ist symmetrisch um 0 und fällt auf beiden Seiten exponentiell ab, das Maximum von f muss also bei v_x=0 liegen. Gesucht sind dann als erstes die beiden Geschwindigkeiten v_1/2, bei denen gilt
=\frac{1}{2}f_\mathrm{max}=\frac{1}{2}f(0))
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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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| frage1 Verfasst am: 24. Okt 2021 21:16 Titel: |
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Die Halbwertsbreite ist überall im Netz mathematisch beschrieben.
Für das Verständnis helfen mir die Erklärungen im Netz nicht. Aber ich glaube mit Halbwertsbreite meint man die Geschwindigkeitsverteilung, also wie eng die Geschwindigkeit um das Maximum liegt. Man kann nie exakt die Geschwindigkeit eines Teilchens bestimmen.
Aber durchblickt hab ich das ganze noch nicht ehrlich gesagt.
Und bei der Berechnung muss ich einfach die 1.Ableitung davon bilden, also 1/2 f‘(v) ?
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
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| frage1 Verfasst am: 25. Okt 2021 12:38 Titel: |
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Erstmal vielen vielen Dank für deine Erklärung Myon!
Ich versteh‘ immer noch nicht wie ich nach vx1 auflösen soll.
Muss ich das ganze nicht so berechnen?
Ich komm da nicht ganz klar.
| Beschreibung: |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 25. Okt 2021 16:56 Titel: |
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| frage1 hat Folgendes geschrieben: | Ich versteh‘ immer noch nicht wie ich nach vx1 auflösen soll.
Muss ich das ganze nicht so berechnen? |
Woher hast Du die linke Seite der Gleichung?
Gesucht sind die v_x, für die gilt
=\frac{1}{2}f_\mathrm{max}) .
Die folgende Gleichung ist also nach v_x aufzulösen:
=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\Leftrightarrow \exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right)=\frac{1}{2})
Zuletzt bearbeitet von Myon am 25. Okt 2021 21:14, insgesamt einmal bearbeitet |
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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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| frage1 Verfasst am: 25. Okt 2021 18:55 Titel: I |
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Die linke Seite der Gleichung ist die häufigste (wahrscheinlichste) Geschwindigkeit, also das Maximum. Wir haben diese Formel auch im Skript stehen, deswegen kann ich nicht nachvollziehen warum wir die Wurzel aus m/2pi kT einsetzen.
Und warum kann ich hier nicht ableiten? Wäre das ableiten in dem Fall falsch?
Nichtsdestotrotz hab ich da mal was probiert. Ich hoffe, dass es diesmal passt.
Und nochmals danke für deine Hilfe!
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 25. Okt 2021 19:54 Titel: Re: I |
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| frage1 hat Folgendes geschrieben: | | Die linke Seite der Gleichung ist die häufigste (wahrscheinlichste) Geschwindigkeit, also das Maximum. Wir haben diese Formel auch im Skript stehen, deswegen kann ich nicht nachvollziehen warum wir die Wurzel aus m/2pi kT einsetzen. |
Da bringst Du verschiedene Dinge durcheinander. Auf der linken Seite Deiner Gleichung steht der "wahrscheinlichste" Geschwindigkeitsbetrag. Also die Geschwindigkeit, bei welcher die Dichtefunktion p(v) der Maxwell-Boltzmann-Verteilung maximal wird.
In dieser Aufgabe geht es aber um die Verteilung der Geschwindigkeitskomponente v_x. Im Gegensatz zu v kann diese auch negative Werte annehmen. v_x ist normalverteilt um 0, dasselbe gilt für v_y und v_z.
| Zitat: | | Und warum kann ich hier nicht ableiten? Wäre das ableiten in dem Fall falsch? |
Du kannst f(v_x) ableiten, wenn Du das Maximum der Funktion f bestimmen willst. Dieses liegt bei v_x=0. Darum gilt
=\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}})
| Zitat: | | Nichtsdestotrotz hab ich da mal was probiert. Ich hoffe, dass es diesmal passt. |
Vielleicht wolltest Du noch einen Anhang senden?
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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
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| frage1 Verfasst am: 25. Okt 2021 20:38 Titel: |
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Ach, ich dachte die Datei sei angekommen.
Jetzt sollte es gehen. Passt das so ?
Stimmt, hier ist nicht die maximale Geschwindigkeit gefragt, sondern die Geschwindigkeitsverteilung. Ich war so sehr fixiert auf die Ableitung.
| Beschreibung: |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 25. Okt 2021 21:19 Titel: |
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Du hast vollkommen richtig gerechnet. Leider aber hatte ich oben im Argument der Exponentialfunktion einen Faktor 1/2 vergessen. Die Aufgabenstellung hast Du gelöscht, aber die Dichtefunktion müsste ja lauten
=\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv^2}{2kT}\right))
Daraus folgt (es gilt -ln(1/2)=ln(2)):
}{m}})
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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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| frage1 Verfasst am: 25. Okt 2021 23:52 Titel: |
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Vielen lieben Dank Myon! Ich hab die 1. Aufgabe soweit verstanden.
Ja, ich musste die Bilder wieder löschen wegen dem Speicherplatz, ich hab’s aber oben noch einmal gepostet.
Ich hab aber noch ne Frage: muss ich das jetzt so lassen ? Wir kennen die Masse und die Temperatur nicht, deswegen kann ich ja keine Werte in die Gleichung einsetzen.
Und kann ich schnell die b) und c) auch noch hier posten, die gehören nämlich zu der obigen Aufgabe. Ich würde gerne wissen, ob ich die auch richtig gelöst habe.
Und nochmals Dankeschön für die ganzen ausführlichen Erklärungen!
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 26. Okt 2021 09:16 Titel: |
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| frage1 hat Folgendes geschrieben: | | muss ich das jetzt so lassen ? Wir kennen die Masse und die Temperatur nicht, deswegen kann ich ja keine Werte in die Gleichung einsetzen. |
Die Halbwertsbreite kann nicht zahlenmässig angegeben werden, verlangt ist ja auch eine Angabe als Funktion von Masse und Temperatur. Also
}{m}})
| Zitat: | | Und kann ich schnell die b) und c) auch noch hier posten, die gehören nämlich zu der obigen Aufgabe. |
Ja, natürlich.
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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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| frage1 Verfasst am: 26. Okt 2021 10:44 Titel: |
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Super, danke!
Und muss ich bei b und c) nur 2 T in die Gleichung einsetzen?
Ich hab einfach unter der Wurzel 2 T stehen.
Also ich hab‘ bei b) 1. Ableitung gleich 0 gesetzt und die Temperatur unter der Wurzel verdoppelt. Ich werde auch noch mein Ergebnis hochladen, will nur sicher gehen, ob der Ansatz richtig ist.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 26. Okt 2021 13:11 Titel: |
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| frage1 hat Folgendes geschrieben: | | Und muss ich bei b und c) nur 2 T in die Gleichung einsetzen? |
Ja. Wobei, eigentlich gibt es ja nicht viel zu rechnen. fmax ist proportional zu 1/sqrt(T), FWHM ist proportional zu sqrt(T).
Wenn Du 2T in die Ausdrücke einsetzt, am besten die Verhältnisse fmax(2T)/fmax(T) und FWHM(2T)/FWHM(T) bilden, um zu zeigen, wie sich fmax bzw. die FWHM ändern.
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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
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| frage1 Verfasst am: 26. Okt 2021 15:49 Titel: |
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So oder ? Mir kommt das irgendwie nicht so richtig vor.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 26. Okt 2021 21:08 Titel: |
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Bei b) hättest Du die Übung mit der Ableitung nicht mehr machen müssen. Und dann einfach noch kürzen, also z.B. in b)
}{f_\mathrm{max}(T)}=\frac{1}{\sqrt{2}}) .
D.h., bei Verdoppelung der Temperatur reduziert sich fmax um den Faktor sqrt(2).
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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
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| frage1 Verfasst am: 30. Okt 2021 17:42 Titel: |
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Myon, vielen vielen Dank für deine Hilfe! Ich rechne alle Aufgaben erneut und melde mich bei Fragen erneut.
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