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Von-Neumann-Postulat
 
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Archont



Anmeldungsdatum: 16.06.2020
Beiträge: 10

Beitrag Archont Verfasst am: 16. Jun 2020 15:19    Titel: Von-Neumann-Postulat Antworten mit Zitat

Hi Leute,

A) Quantensysteme wechselwirken nach den in der Schrödinger-Gleichung ψ kodierten Regeln, d.h. entsprechend den im Hamiltonoperator enthaltenen Wechselwirkungstermen; das führt zu den Eigenschaften der Quantensysteme Linearität (Superposition), Kontinuität, Reversibilität, Unitarität. Der konkrete Zustand a eines Quantensystems evolviert aus dem berechenbaren allgemeinen Spektrum σ (ψ)) aller unter diesen Bedingungen möglichen Zustände (Superposition).

B) Die Messung, das konkrete Ergebnis a selbst erscheint als einzelner spontaner Akt und kann aus ψ nicht abgeleitet werden; stattdessen bietet erst die Quadrierung von ψ Übereinstimmung mit den Messresultaten ψ ---> ψ^2. => A) und B) stehen somit miteinander im Widerspruch: ψ kann a nicht erklären u.u.

C) Theoretisch folgt aus ψ(t) nicht nur die Überlagerung der Quanten (-eigenschaften), sondern auch der Messapparatur. Da eine Superposition von Quantensystem & Messapparatur nach A) aber nicht verifiziert ist, wohl aber das spontane Erscheinen des Messresultates, wird der Vorgang in einen epistemischen unitären ψ(t)) und einen ontologischen stochastischen Teil p(a) aufgetrennt; Letzterer versucht den Widerspruch mittels der Born‘schen Regel sowie des von Neumann’schen Projektionspostulates aufzulösen:

1) Der Messwert a(ψ) wird vom Messgerät aus σ(ψ) mit der Wahrscheinlichkeit p extrahiert (vom Hilbert- in den Realraum gezogen).
p(a) = ψ (t) ψa^2. (Born)

2) Der Projektionsoperator P projiziert auf den Eigenvektor A zum Eigenwert a.
P a = |ψi ψi| (von Neumann)
A ψa = ψ ψ Eigenvektor-Eigenwert-Glg

b) Es heißt: „Ist der Zustand des quantenphysikalischen Systems mit einem Eigenvektor eines bestimmten Operators korreliert, ergibt eine Messung mit Sicherheit den Wert, der dem dazugehörigen Eigenwert entspricht.“


Dazu habe ich 3 Fragen:

1. Ist die Umkehrung von b) der Inhalt des vN-Postulates? Und gilt Obiges auch für die Umkehrung? Also, wenn eine Messung den Wert eines bestimmten Eigenwerts ergibt, ist dann das gesamte System in dem Zustand, der mit dem entsprechenden Eigenvektor korreliert ist?
Besteht die angebliche Bedeutung des vN-Postulates darin, dass dann nach der Messung alle anderen Resultate ausgeschlossen sind und damit der Kollaps erklärt werden soll?

2. Warum sollten A) und B) widersprüchlich sein? Ist die vermeintliche Diskontinuität bei der Messung nicht nur ein extrem schneller Konti-Vorgang, den die Schr.-Glg. eigentlich bringen müsste? Dann wäre sie unzureichend und die Kopenhagener und Bohm*sche Interpretation hätten Recht - und die VWI Unrecht.

3. Der Zufall wird dadurch erzeugt, dass nicht angegeben werden kann, nach welchen Kriterien der Eigenwert a aus dem Spektrum heruntergezogen und realisiert wird. Ich meine: dass epistemisch die Kriterien nicht immer angegeben werden können, heißt nicht, dass es ontisch keine gäbe. Auf der anderen Seite ist aus der Sicht eines Teilchens bis zur Wechselwirkung tatsächlich nicht klar, welche der Randbedingung/Kriterien zum Resultat führt. Haben wir hier nicht zwei verschiedene Ausführungen von "Zufall" (epistemisch und ontologisch) und ist die epistemische nicht eher eine Frage der Definition, während die ontologische unabhängig davon festliegt?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12408

Beitrag TomS Verfasst am: 16. Jun 2020 15:57    Titel: Antworten mit Zitat

Ich bin mir nicht sicher, ob ich alles richtig verstehe.


Zu 2) Die Anwendung eines Projektors



ist nicht-invertierbar und damit auch nicht-unitär. D.h. es existiert kein zu diesem Projektor gehörender inverser Operator.

Im folgenden würde man sogar einen eindeutigen d.h. a-unabhängigen Operator benötigen, denn die Zeitentwicklung gemäß der Schrödingergleichung ist unitär, eindeutig und damit auch invertierbar.

Damit ist dein (2) ausgeschlossen.


Zu 1) Das Projektionspostulat wird im Falle wiederholter Messungen benötigt. Wenn ich messe und projiziere, warte und erneut messe, dann liefert dies i.A. andere Zustände und Wahrscheinlichkeiten als wenn ich nicht projiziere. Die Frage ist, welcher Zustand zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für die zweiten Messung zu verwenden ist:



oder



Ersteres entspricht von Neumann.

Letzteres entspräche der VWI, d.h. die Messung ist identisch mit einer Wechselwirkung, allerdings benötigt man dazu eine weitere Argumentation mittels der Dekohärenz

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.


Zuletzt bearbeitet von TomS am 17. Jun 2020 21:12, insgesamt einmal bearbeitet
Archont



Anmeldungsdatum: 16.06.2020
Beiträge: 10

Beitrag Archont Verfasst am: 16. Jun 2020 19:03    Titel: Antworten mit Zitat

Na, so ganz hab ich es noch nicht.
Zum einen ist mir der physikalische Sinn des vNP. noch nicht klar.

Wenn sich alle statistischen Vorhersagen aus der Bornschen Regel ergeben, warum dann noch das vNP? Oder wird vNP nur eingesetzt bei Wiederholungsmessungen, wie du andeutest? Wobei sich dann die Frage stellt, warum nicht bei Born bleiben? Was kann vNP, was Born nicht kann?

Zitat:
Zu 2) Die Anwendung eines Projektors ist nicht-invertierbar und damit auch nicht-unitär. D.h. es existiert kein zu diesem Projektor gehörender inverser Operator.

Im folgenden würde man sogar einen eindeutigen d.h. a-unabhängigen Operator benötigen, denn die Zeitentwicklung gemäß der Schrödingergleichung ist unitär, eindeutig und damit auch invertierbar.

Damit ist dein (2) ausgeschlossen.


Das ist eine sehr rigorose Aussage! Mal sehen, ob ich sie richtig verstanden habe:

Es gibt feste mathematische Regeln für die Anwendung von Projektoren, zu denen Nicht-Invertierbarkeit und -Unitarität gehören. Die Schrödinger-G. dagegen ist invertierbar und unitär. Folge: Unvereinbarkeit in der Beschreibung des Gesamtprozesses, Trennung des Prozesses.

Frage: Wie sicher ist ein Schluss von mathematischen Regeln auf reale Systeme? Folgt aus dem mathematischen Merkmal zwingend oder annähernd das ontologische? Z.B.: folgt aus der Unvereinbarkeit von Schr-G. und vNP auch eine tatsächliche „Unvereinbarkeit“ sprich: Trennung der Teilsysteme, unterschiedliche Qualitäten?

Ich denke nicht, dass natürliche Prozesse „zerlegt“ sind, wohl theoretisch „zerlegbar“, so wie wir es für die Berechnung benötigen.

Auch die Bezeichnung „spontan“ für Prozesse mit t = 0 kommt mir irreführend und anthropomorph vor, wenn ich z.B. eine andere Zeitskala nehme oder dehne i.S.v. Zeitlupen. Insofern kann es m.E. keine Prozesse geben, die „nicht prozessieren“, keine Vorgänge, die sich nicht ausbreiten und in diesem Sinne auch keinen realen Kollaps, weil auch er Zeit benötigen würde. Geht VWI nicht in diese Richtung?

Auch „Anfang (-sbedingungen) und Ende“ sind wie „t=0“ Artefakte, die real in der Natur nicht anzutreffen, sondern m.E. Hilfsmittel für die Berechnung sind. In die Natur selbst gibt es wahrscheinlich weder Anfang noch Ende - nur Wandlung.

Von daher bin ich etwas skeptisch gegen rein mathematische Argumentation, wenn es nicht nur um Laborrechnung geht, sondern um Aussagen über die Natur.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12408

Beitrag TomS Verfasst am: 16. Jun 2020 21:04    Titel: Antworten mit Zitat

Archont hat Folgendes geschrieben:
Wenn sich alle statistischen Vorhersagen aus der Bornschen Regel ergeben, warum dann noch das vNP? Oder wird vNP nur eingesetzt bei Wiederholungsmessungen, wie du andeutest? Wobei sich dann die Frage stellt, warum nicht bei Born bleiben? Was kann vNP, was Born nicht kann?

Born sagt dir, wie du eine Vorhersage für diese Messung berechnest.

vNP sagt dir, welchen Zustand du nach erfolgter Messung für die weitere Zeitentwicklung bis zu einer weiteren Messung verwenden musst.

Archont hat Folgendes geschrieben:
Zitat:
Zu 2) Die Anwendung eines Projektors ist nicht-invertierbar und damit auch nicht-unitär. D.h. es existiert kein zu diesem Projektor gehörender inverser Operator.

Im folgenden würde man sogar einen eindeutigen d.h. a-unabhängigen Operator benötigen, denn die Zeitentwicklung gemäß der Schrödingergleichung ist unitär, eindeutig und damit auch invertierbar.

Damit ist dein (2) ausgeschlossen.

Das ist eine sehr rigorose Aussage! Mal sehen, ob ich sie richtig verstanden habe:

Es gibt feste mathematische Regeln für die Anwendung von Projektoren, zu denen Nicht-Invertierbarkeit und -Unitarität gehören. Die Schrödinger-G. dagegen ist invertierbar und unitär. Folge: Unvereinbarkeit in der Beschreibung des Gesamtprozesses, Trennung des Prozesses.

Ja.

Mathematisch und/oder logisch unvereinbare Regeln kannst du sie nicht zur Beschreibung des selben Sachverhaltes oder der Berechnung der selben Messgröße verwenden.

Archont hat Folgendes geschrieben:
Frage: Wie sicher ist ein Schluss von mathematischen Regeln auf reale Systeme? Folgt aus dem mathematischen Merkmal zwingend oder annähernd das ontologische?

Nein, natürlich nicht. Das ist eine rein metaphysische Hypothese.

Wenn sagst, „die Natur folgt allumfassend logisch konsistenten Axiomen“, dann hast du ein Problem mit der wechselweisen Widersprüchlichkeit zweier Axiome - Schrödingergleichung sowie Projektionspostulat.

Wenn du die Postulate rein instrumentalistisch (pragmatisch) auffasst, dann hast du kein derartiges Problem: es funktioniert, warum wird nicht gefragt.

Archont hat Folgendes geschrieben:
Ich denke nicht, dass natürliche Prozesse „zerlegt“ sind, wohl theoretisch „zerlegbar“, so wie wir es für die Berechnung benötigen ... Geht VWI nicht in diese Richtung?

Ja.

Die MWI stellt die zentrale Frage, ob eine Messung nicht letztlich nur eine spezielle Form der Wechselwirkung ist, d.h. insbs. dass Born und vNP nur Spezialfälle sind, die dennoch mit der Unitarität vereinbar sein können.

Und zu alledem siehe meine Signatur.

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Archont



Anmeldungsdatum: 16.06.2020
Beiträge: 10

Beitrag Archont Verfasst am: 17. Jun 2020 13:52    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
Born sagt dir, wie du eine Vorhersage für diese Messung berechnest.

Ok. Gibt es einen Grund dafür, warum p ψ^2-verteilt ist?

Zitat:
vNP sagt dir, welchen Zustand du nach erfolgter Messung für die weitere Zeitentwicklung bis zu einer weiteren Messung verwenden musst.


Heißt: der Endzustand einer Messung ist zugleich der Ausgangszustand der Folgemessung?
Inwiefern ist das von Bedeutung?

Folgendes habe ich über vNP noch gefunden:

Die Dynamik eines Quantenprozesses wird beschrieben durch zwei Zeitentwicklungen.
Ist das die eigentliche Aussage des vNP?

Sei a der gemessene Wert von A des Systems S dann ist der Zustand von S beschrieben durch ψa. Ergibt eine Messung der Observable A am Zustand ψ den Wert ai, so befindet sich das System direkt nach dieser Messung im Zustand
ψ_koll=(P_(a_i ) ψ)/‖P_(a_i ) ψ‖


Dieses „Postulat“ hört sich trivial an, wird es aber wohl nicht sein?
Was hat das alles mit dem Kollaps zu tun? Wie wird der mathematisch erfasst, ist er definiert?

Zitat:
Archont hat Folgendes geschrieben:
Frage: Wie sicher ist ein Schluss von mathematischen Regeln auf reale Systeme? Folgt aus dem mathematischen Merkmal zwingend oder annähernd das ontologische

Zitat:
TomS: Nein, natürlich nicht. Das ist eine rein metaphysische Hypothese.

Das heißt, du fegst mit einer metaphysischen Hypothese die m.E. rationale Überlegung, ob es überhaupt „kollapsartige“ Vorgänge mit t=0 geben kann, rigoros vom Tisch? Ist die Unterscheidung Kollaps / Nicht-Kollaps denn so eindeutig, dass sie diese Rigorosität legitimiert?

Zitat:
Die MWI stellt die zentrale Frage, ob eine Messung nicht letztlich nur eine spezielle Form der Wechselwirkung ist, d.h. insbs. dass Born und vNP nur Spezialfälle sind, die dennoch mit der Unitarität vereinbar sein können.

Das denke ich auch. Also kein Kollaps. Wie gestaltet die VWI den Übergang?
Qubit



Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 189

Beitrag Qubit Verfasst am: 17. Jun 2020 15:44    Titel: Antworten mit Zitat

Ich denke, dein Thema ist das berühmt berüchtigte "Messproblem" der QM, oder?
Es lässt sich auch so formulieren:
warum ändert sich der QM-Zustand durch eine Messung anders als sich QM-Zustände "ungestörter" Systeme entwickeln? Warum wirkt da der Projektor auf Eigenzustände, die dann auch als ein "realer" Zustand des gemessenen Systems zu verstehen sind (unabhängig von jeglicher Interpretation).
Die stetige, reversible, unitäre (lineare) Entwicklung mündet da in einer spontanen, irreversiblen, diskontinuierlich (nichtlinear) erfolgenden Zustandsänderung.

Und man kann weiter fragen: was ist Besonderes an dem Messvorgang, verstanden als natürlichem Vorgang? Ist er nicht vielmehr auch als Teil einer allgemeingültigen QM zu betrachten?
Fakt ist: eine Erweiterung der QM-Theorie, des Operator-Formalismus , auf die "Dynamik" des Messprozesses ist (bisher) nicht erfolgreich möglich.

Eine mögliche Erklärung hierfür ist die "Kopenhagener Interpretation" (in meiner Formulierung):
jede Messung liefert letztlich Messwerte für physikalische Grössen, die in der klassischen Theorie verstanden werden müssen, daher stammen ihre "Konzepte". (zB. Orte und Trajektorien von Massenmittelpunkten). Messen wir so zB. Eigenschaften eines Teilchens, so machen wir das mit diesen Konzepten und Begriffen, die erhaltenen Messwerte entsprechen so dem Konzept des Eigenzustandes einer Observablen. Wir eignen nun diesen Eigenzustand (einen klassischen (statistischen) Messwert) diesem QM-Zustand mit der Messung zu. Das ist eine "klassische" Projektion. Dieser "präperierte" Zustand ist dann Ausgangspunkt einer neulich erfolgenden QM-Enwicklung. Der Knackepunkt ist nun, dass diese gemessene Zustände Teil einer klassischen Theorie sind, um klassisch interpretierte Messwerte zu erhalten. Sie sind gewisserweise die optimale klassische "Näherung" an einen eigentlichen QM-Zustand, der niemals "real" einem klassischen Zustand entspricht. In makroskopischen Dimensionen spielt dieser Unterschied dann auch keine Rolle mehr, da hierbei "generisch" gemittelt wird.
Archont



Anmeldungsdatum: 16.06.2020
Beiträge: 10

Beitrag Archont Verfasst am: 17. Jun 2020 18:52    Titel: Antworten mit Zitat

Qubit hat Folgendes geschrieben:
Ich denke, dein Thema ist das berühmt berüchtigte "Messproblem" der QM, oder?


Nur den Teil "Von-Neumann-Projektionspostulat".

Soweit ich das überblicke, war vN*s grundsätzliche Absicht, die vielleicht "lose Formelsammlung" der Quantenphysik seiner Zeit zu einem widerspruchslosen, konsistenten System zusammenzufassen, wobei ihn wohl das Messproblem besonders beschäftigte, das er ja mit seinem Postulat entschärfen wollte.

Die oben aufgeführten Punkte (v. Post) habe ich einfach noch nicht richtig verstanden, speziell das Phänomen Kollaps:

Schrödinger-Zustand und Mess-Zustand werden doch sozusagen als unterschiedliche Qualitäten behandelt; nach welchem Kriterium? Offensichtlich in zeitlich ausgedehnte und nicht ausgedehnte Vorgänge, die einander ausschließen.

Eine Alternative, z.B. den Kollaps als extrem schnellen Vorgang zu beschreiben, ist wohl aus den von TomS angeführten mathematischen Gründen ausgeschlossen. Sind diese mathematischen Gründe den so gewichtig, dass sie erlauben, ein Stückchen der Wirklichkeit auszublenden und den Kollaps in Kauf zu nehmen? Denn ich glaube nicht an zwei unterschiedliche Qualitäten. Mal überspitzt formuliert: Gilt „Was mathematisch ausgeschlossen ist, ist auch real ausgeschlossen.“ unumstößlich? Ist in diesem Fall die Mathematik nicht eher ein Blocker?

Da scheint sich jetzt die VWI als Ausweg anzubieten. Inwiefern? Wie geht sie mit diesem angeblichen Widerspruch um?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12408

Beitrag TomS Verfasst am: 17. Jun 2020 21:00    Titel: Antworten mit Zitat

Archont hat Folgendes geschrieben:
Zitat:
Born sagt dir, wie du eine Vorhersage für diese Messung berechnest.

Ok. Gibt es einen Grund dafür, warum p ψ^2-verteilt ist?

Das ist im Zuge des mathematischen Formalismus naheliegend, was jedoch nicht erklärt, warum es auch physikalisch zutreffende Vorhersagen liefert; statt ^2 könnte da auch ^7/3 stehen, die Mathematik käme auch damit klar (für die Spezialisten: nur für p=2 ist der L^p Banachraum ein Hilbertraum).

Archont hat Folgendes geschrieben:
Heißt: der Endzustand einer Messung ist zugleich der Ausgangszustand der Folgemessung?
Inwiefern ist das von Bedeutung?

Das habe ich doch oben schon geschrieben:

TomS hat Folgendes geschrieben:
Das Projektionspostulat wird im Falle wiederholter Messungen benötigt. Wenn ich messe und projiziere, eine gewisse Zeit t warte und erneut messe, dann liefert dies i.A. andere Zustände und Wahrscheinlichkeiten als wenn ich nicht projiziere. Die Frage ist, welcher Zustand zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für die zweiten Messung zu verwenden ist:



oder



Ersteres entspricht von Neumann.

Letzteres entspräche der VWI, d.h. die Messung ist identisch mit einer Wechselwirkung, allerdings benötigt man dazu eine weitere Argumentation mittels der Dekohärenz

Im Sinne einer knappen Notation habe ich die Normierung hier weggelassen; ich müsste sie stattdessen in die Bornsche Regel stecken.

Archont hat Folgendes geschrieben:

Die Dynamik eines Quantenprozesses wird beschrieben durch zwei Zeitentwicklungen.
Ist das die eigentliche Aussage des vNP?

Sei a der gemessene Wert von A des Systems S dann ist der Zustand von S beschrieben durch ψa. Ergibt eine Messung der Observable A am Zustand ψ den Wert ai, so befindet sich das System direkt nach dieser Messung im Zustand
ψ_koll=(P_(a_i ) ψ)/‖P_(a_i ) ψ‖


Ja, genau das ist das von-Neumannsche Projektionspostulat, gemeinhin als „Kollaps“ bezeichnet.

Archont hat Folgendes geschrieben:
Dieses „Postulat“ hört sich trivial an, wird es aber wohl nicht sein?
Was hat das alles mit dem Kollaps zu tun? Wie wird der mathematisch erfasst, ist er definiert?

Genau das ist der Kollaps.

Archont hat Folgendes geschrieben:
Das heißt, du fegst mit einer metaphysischen Hypothese die m.E. rationale Überlegung, ob es überhaupt „kollapsartige“ Vorgänge mit t=0 geben kann, rigoros vom Tisch? Ist die Unterscheidung Kollaps / Nicht-Kollaps denn so eindeutig, dass sie diese Rigorosität legitimiert?

Wir wissen nichts über realen kollapsartige Vorgänge. Wir beobachten lediglich Messergebnisse und erschließen uns diese mittels eines mathematischen Formalismus, der das Projektionspostulat beinhaltet. Daraus auf einen realen Vorgang zu schließen ist alleine schon Metaphysik.

Und ja, die Unterscheidung Kollaps — Nicht-Kollaps bzw. Projektionspostulat — Schrödingergleichung ist mathematisch absolut eindeutig. Ersteres ist (zusammen mit der Bornschen Regel) stochastisch, unstetig, nicht-unitär und nicht-invertierbar. Letztere ist deterministisch, stetig, unitär und invertierbar.

Archont hat Folgendes geschrieben:
Zitat:
Die MWI stellt die zentrale Frage, ob eine Messung nicht letztlich nur eine spezielle Form der Wechselwirkung ist, d.h. insbs. dass Born und vNP nur Spezialfälle sind, die dennoch mit der Unitarität vereinbar sein können.

Das denke ich auch. Also kein Kollaps. Wie gestaltet die VWI den Übergang?

Später.

Erst mal musst du von Neumann verstanden haben.

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TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12408

Beitrag TomS Verfasst am: 17. Jun 2020 21:51    Titel: Antworten mit Zitat

Archont hat Folgendes geschrieben:
Eine Alternative, z.B. den Kollaps als extrem schnellen Vorgang zu beschreiben, ist wohl aus den von TomS angeführten mathematischen Gründen ausgeschlossen.

Die VWI tut dies in gewisser Weise, aber das sollten wir aufschieben.

Archont hat Folgendes geschrieben:
Sind diese mathematischen Gründe den so gewichtig, dass sie erlauben, ein Stückchen der Wirklichkeit auszublenden und den Kollaps in Kauf zu nehmen?

Das ist eher eine Frage deiner philosophischen Position.

Als Pragmatiker und Instrumentalist, der an korrekten Vorhersagen von Messergebnissen interessiert ist, funktioniert der Kollaps in diesem Sinne. Eine Frage nach der dahinter liegenden Realität wird aus unterschiedlichen Gründen nicht gestellt (die Kollegen sind keine Solipsisten, die behaupten, es gäbe diese Realität schlichtweg nicht, sie behaupten lediglich, es sei nicht unbedingt Aufgabe der Quantenmechanik, ein Abbild dieser Realität zu liefern; korrekte Vorhersagen der Messergebnisse seien ausreichend).

Als Realist, der daran glaubt, dass die Mathematik tatsächlich eine Art Abbild der Realität und insbs. der real ablaufenden Vorgänge liefert, funktioniert der Kollaps in diesem Sinne nicht, da ein real ablaufender Vorgang nicht durch zwei widersprüchliche Formalismen - Projektion und unitäre Zeitentwicklung beschrieben werden kann.

Archont hat Folgendes geschrieben:
Denn ich glaube nicht an zwei unterschiedliche Qualitäten. Mal überspitzt formuliert: Gilt „Was mathematisch ausgeschlossen ist, ist auch real ausgeschlossen.“ unumstößlich?

Nein, natürlich nur unter bestimmten Annahmen.

Wenn du an eine Realität glaubst, die durch ein umfassendes und widerspruchsfreies mathematisches Modell beschrieben wird, dann ist unter dieser Voraussetzung ein nicht-widerspruchsfreies Modell zunächst physikalisch irrelevant. Und natürlich wäre damit eine Realität ausgeschlossen, die einem nicht-widerspruchsfreies Modell entspricht.

Die Instrumentalisten glauben jedoch nicht an ein derartiges umfassendes und widerspruchsfreies mathematisches Modell, das alle Aspekte der Realität umfasst. Das beginnt bereits damit, dass der Begriff der Messung nicht wirklich definiert ist. Wenn es sich nur um eine Wechselwirkung mit einem makroskopischen System handeln würde, dann müsste ja wiederum die Schrödingergleichung gelten, nicht der Kollaps.

Archont hat Folgendes geschrieben:
Da scheint sich jetzt die VWI als Ausweg anzubieten. Inwiefern? Wie geht sie mit diesem angeblichen Widerspruch um?

Nochmal - bitte etwas Geduld.

Zunächst mal hier etwas Futter:

https://www.physikerboard.de/topic,54261,-faq---fundamentale-regeln-der-quantenmechanik.html

https://www.physikerboard.de/topic,56592,-faq---fundamentale-regeln-der-quantenmechanik-nach-everett.html

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Archont



Anmeldungsdatum: 16.06.2020
Beiträge: 10

Beitrag Archont Verfasst am: 17. Jun 2020 22:01    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:

Erst mal musst du von Neumann verstanden haben.


(-: Ja. Ok....Dann zieh ich mir den jetzt *rein! Alsdann...
Archont



Anmeldungsdatum: 16.06.2020
Beiträge: 10

Beitrag Archont Verfasst am: 20. Jun 2020 12:09    Titel: Antworten mit Zitat

Also, ich habe mal folgendes zusammengetragen:

Nach von Neumann sind beim quantenphysikalischen Messprozess drei Schritte zu unterscheiden:

1. Präparation: Herstellung einer Grundgesamtheit von Teilchen, welche durch einen Zustand eines der Teilchen repräsentiert wird; dieser Zustand korreliert nicht mit einem der Eigenvektoren des gewählten Operators, sondern mit dessen Superposition:


2. Wechselwirkung: zwischen Quantensystem und Messgerät entsteht eine Dynamik, durch die das Gesamtsystem evolviert (Treiber Hamilton):

: unitär; reversibel, kontinuierlich, deterministisch


erwartet:
Superposition von Q-System & Messgerät:

stattdessen:

3. Registrierung: Anzeige nur eines definiten Messwertes, das repräsentativ für das Gesamtsystem steht:

(Born) (nicht-unitär, nicht-reversibel, nicht-kontinuierlich, nicht- deterministisch)

"Sei a der gemessene Wert von A dann ist der Zustand von S beschrieben durch ψ (a) und die Wahrschkt. p am Ort r zur Zeit t den Wert a zu detektieren. "

=> Widerspruch zu 2. (unitär, reversibel, kontinuierlich, deterministisch): Übergänge unitär / nicht-unitär sind nicht geklärt!


Rettung der Phänomene - Das von-Neumann-Postulat

Aufspaltung des Messprozesses in einen unitären und nicht-unitären Teil. Projektionspostulat:

"Ergibt eine Messung der Observable A am Zustand ψ den Wert ai, so befindet sich das System direkt nach dieser Messung im Zustand ψ(ai): nach Messung eines Eigenwerts a eines Operators A geht das System in den entsprechenden Eigenzustand über (wird projiziert)"! Alle anderen möglichen Lösungen kollabieren.

.......... Pai = Projektions-Operator

Nach der Messung ist die Information über den Ausgangszustand verloren. Die Zeitentwicklung wird dadurch nicht-unitär und daher nicht-reversibel.

Veränderung des Quantenobjektes durch die Wechselwirkung mit dem Messgerät:

- bei Eintritt der Wechselwirkung ist ψ mit Pproj. (Projektions-Operator) korreliert

- nach der Wechselwirkung ist ψ mit Pstat. (Statistik-Operator, Dichtematrix) korreliert (P_(stat)= ∑ Projektions-Operatoren).


Demnach scheint es im qm Messprozess drei Phasen zu geben:

1. die kontinuierliche Schrödinger-Phase vor aller Wechselwirkung (Treiber: Hamilton)

2. der Übergang zum Projektions-Operator bei Eintritt der Wechselwirkung (Auslöser: Messgerät; Eigenschaften: nicht-invertierbar, nicht-unitär, irreversibel)

3. der Übergang zum Statistik-Operator im Endzustand der Wechselwirkung (hermitesch, unitär und idempotent Pstat^2 = Pstat) ---> Präparation der Folgemessung ---> 1.

Fazit:

zu 1. Klar.

zu 2. Steht für diese Situation ein mathematisches Kontingent von Pproj. bereit mit den Merkmalen, wie sie hierfür benötigt werden, oder ist der Pproj. dafür extra geschaffen worden?

zu 3. Wodurch motiviert? Damit er für eine Neu-Präparation verwendbar wird? Die Formel ψ_kollaps = ... verstehe ich noch nicht. Was bedeutet es, wenn man einen Operator auf seine Norm bezieht?

Für mich sieht es so aus, als sei das vNP-Postulat vor allem für den Laborphysiker von Relevanz. Theoretisch oder philosophisch sehe ich keine Lösung des Messproblems: das Kind hat lediglich einen Namen bekommen, dazu dubiose Eigenschaften.

*Formeln nachgearbeitet.


Zuletzt bearbeitet von Archont am 20. Jun 2020 17:48, insgesamt 2-mal bearbeitet
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12408

Beitrag TomS Verfasst am: 20. Jun 2020 17:38    Titel: Antworten mit Zitat

Du machst es mit dem dritten Schritt komplizierter als nötig. Der statistische Operator liefert lediglich eine andere, hier jedoch äquivalente Formulierung.

Ich formuliere das etwas straffer - ausführlich im o.g. Link:

1) Die Beschreibung eines Quantensystems erfolgt im Rahmen eines separablen Hilbertraumes

2) Der Zustand eines einzelnen Quantensystems wird durch einen normierten Vektor als Element dieses Hilbertraumes beschrieben.

3) Die Zeitentwicklung eines einzelnen isolierten Quantensystems wird durch einen unitären Zeitentwicklungsoperator



mittels



beschrieben.

4) Eine beobachtbare Größe wird durch eine selbstadjungierten Operator repräsentiert, der auf die Zustandsvektoren in wirkt.

5) Die möglichen Messwerte einer Observable entsprechen dem Spektrum des korrespondierenden selbstadjungierten Operators .

6) Sei die Menge Eigenvektoren des selbstadjungierten Operators mit Spektralwerten . Sei das Quantensystem in einem Zustand präpariert, der mittels des Zustandsvektors repräsentiert wird. Wird eine Messung einer Observablen – repräsentiert durch den Operator – durchgeführt, so ist die Wahrscheinlichkeit, den Messwert zu erhalten gegeben durch



Dies ist die sogenannte Bornsche Regel.


Der Messprozesses zerfällt dann in zwei Phasen.

Die erste entspricht gerade der unitären Zeitentwicklung gemäß (3)

Die zweite besagt:

7) Wird eine Messung einer Observablen – repräsentiert durch den Operator – durchgeführt und liefert diese den Messwert , so befindet sich das Quantensystem unmittelbar nach der Messung im Zustand



Die Anwendung des nicht-unitären Projektors entspricht dem sogenannten Projektionspostulat nach von Neumann.

Dieser zweite Schritt ist - im Gegensatz zu (3) - aufgrund von (6) außerdem nicht-deterministisch d.h. stochastisch.

*****

Der Rest ist nur etwas Mathematik: der Zustandsvektor nach der Messung ist geeignet zu normieren, so dass er wieder den Betrag Eins hat, d.h.



mit





*****

Die Wechselwirkung führe ich später noch präziser aus, jetzt ist erst mal Pause.

Deine Schlussfolgerung „theoretisch oder philosophisch sehe ich keine Lösung des Messproblems: das Kind hat lediglich einen Namen bekommen, dazu dubiose Eigenschaften“ ist völlig richtig.

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TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12408

Beitrag TomS Verfasst am: 20. Jun 2020 19:02    Titel: Antworten mit Zitat

Archont hat Folgendes geschrieben:
1. Präparation: Herstellung einer Grundgesamtheit von Teilchen, welche durch einen Zustand eines der Teilchen repräsentiert wird; dieser Zustand korreliert nicht mit einem der Eigenvektoren des gewählten Operators, sondern mit dessen Superposition:



2. Wechselwirkung: zwischen Quantensystem und Messgerät entsteht eine Dynamik, durch die das Gesamtsystem evolviert (Treiber Hamilton):

: unitär; reversibel, kontinuierlich, deterministisch


erwartet:
Superposition von Q-System & Messgerät:


Gut, dass du diese präzisere Darstellung verwenden möchtest. Dazu wollte ich noch etwas erklären, denn evtl. hast du das missverstanden.

Zunächst nehmen wir an, wir könnten dem makroskopischen Messgerät sogenannte Zeigerzustände zuweisen, die eins-zu-eins mit den Eigenzuständen der zu messenden Observablen korrespondieren. Wie gesagt, das ist eine nicht-triviale Annahme, die heute durch die sogenannte Dekohärenz gestützt wird.

Wir haben zunächst die Präparation von



In Folge der unitären Zeitentwicklung, die die Wechselwirkung des Quantensystems mit dem Messgerät beschreibt, resultiert im Allgemeinen ein Superpositionszustand der Form



der alle Eigenzustände enthält.

Die Beobachtung liefert uns jedoch keine derartige Superposition, sondern genau einen Zeigerzustand zum jeweiligen Messwert; demzufolge erweitern wir die Notation für den Kollaps



zu



mit der Wahrscheinlichkeit



Man beachte, dass man den Kollaps nicht los wird, da die unitäre Zeitentwicklung nicht genau einen Zustand „auswählen“ kann.

Wir sind mit der Dekohärenz jedoch schon auf dem richtigen Weg, sie liefert uns zumindest die halbe Lösung des Messproblems, nämlich eine Begründung auf Basis der unitären Zeitentwicklung für die frühere Annahme der Existenz von Zeigerzuständen.

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Archont



Anmeldungsdatum: 16.06.2020
Beiträge: 10

Beitrag Archont Verfasst am: 21. Jun 2020 15:23    Titel: Antworten mit Zitat

Den Link hatte ich mir angeschaut und das Messproblem als solches auch verstanden (was du ja auch bestätigtst), nur die Rolle, die vN darin spielt, nicht - mir geht es gewissermaßen um eine Übersetzung des vN-Formalismus:

1)
Woran erkennt man, dass es sich hier um einen „Kollaps“ handelt? Nach welchem Kriterium wird hier zw. irreversiblem Kollaps und reversiblem Vorgang unterschieden? t=0 / t>0 oder anhand der Eigenschaften des Operators (nicht invertierbar,…)?

2) Nach welchen Kriterien wird der Projektionsoperator aus dem Hut gezaubert? Ist er zufällig derjenige, der für diese Situation am geeignetsten erscheint oder wird er eigens dafür konstruiert?

3.) Zu nochmal die Frage: was bedeutet es physikalisch, wenn ein Produkt

auf seine Norm (nehme ich mal an) bezogen wird? Was folgt daraus?

4.) Eine Konsequenz dieses Messvorgangs ist, dass die Information über den Anfangszustand verloren geht und die Zeitentwicklung dadurch nicht-unitär und irreversibel wird.
Wenn ein Messprozess grundsätzlich nichts anderes ist als ein natürlicher nichtlinearer Vorgang, warum bedient man sich nicht des Formalismus (oder dessen Elemente) der Nichtlinearen Physik? Warum hält man an der linearen Schrödinger-Gleichung fest, wenn sie - natürlicherweise, möchte man sagen - die Ergebnisse von irreversiblen Prozessen nicht bringen kann? Wahrscheinlich wg. der Superponierbarkeit; da stellt sich aber doch die Frage, was da überhaupt superponiert und kollabiert, was Schrödingers epistemische potentielle Möglichkeit mit der aktualen ontischen Wirklichkeit eines physischen Prozesses zu tun hat! Es wird mathematisch etwas erzeugt (Spektrum von Eigenwerten) nur um nachher (bis auf einen) vernichtet zu werden.
Ein Formalismus, der im Laufe seines eigenen Prozesses vernichtet und ersetzt werden muss, ist doch ein Kuriosum, oder?
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 21. Jun 2020 18:32    Titel: Antworten mit Zitat

Zu 1)

Das Kriterium einfachste Kriterium ist der stochastische Charakter. Stell‘ dir vor, du hättest eine reale Zeit und einen mathematisch dazu passenden Minutenzeiger auf der Uhr. Bei einer Messung erhältst du jedoch immer entweder 0 oder 3; um 0:00 immer 0, um 00:01 sehr oft, um 2:59 selten und um 3:00 nie, stattdessen immer 3.

Das nächste Kriterium ist die Nichtinvertierbarkeit. Stell‘ dir vor, du wüsstest, dass die Zeit kontinuierlich vorgeht, also 0:00, 0:01, 0:02, ... 2:59, 3:00. Wenn du eine Messung durchführst, erhältst du jedoch z.B. 3; wenn du 3 abliest, weißt du jedoch nicht, wo du „hergekommen“ bist - könnte alles von 0:01 bis 3:00 gewesen sein. Bei der „echten“ Zeit weißt du dies jedoch immer: wenn es jetzt 2:36 ist, ist es 2:36, davor war es 2:35.


Zu 2)

Der Projektionsoperator lautet



Born hat die Deutung mittels Wahrscheinlichkeiten eingeführt, Dirac und von Neumann haben das formalisiert. Es hat eben funktioniert.

Heute kann man mathematisch beweisen, dass es bei Verwendung eines Hilbertraumes in der Quantenmechanik nur dieser eine einzige mathematisch konsistente Wahrscheinlichkeitsbegriff existiert. Das ist schon erstaunlich, denn für das klassische Pendant, den Phasenraum, existieren unendlich viele.


Zu 3)

Das ist Konvention, da steckt nichts weiter dahinter, man kann die Normierung an unterschiedlichen Stellen in den Formalismus einführen. An dieser Stelle ist es recht praktisch, weil dann viele andere Formeln kompakter werden, da man dort immer von normierten Zuständen ausgeht.


Zu 4) Die lineare Schrödingergleichung ist universell und liefert zig experimentell bestätigte Vorhersagen - Spektren, Streuquerschnitte, Massen, ... Man untersucht tatsächlich nicht-lineare Alternativen, aber da kommt bisher nicht mal ansatzweise was vernünftiges raus.

Wenn du das als Kuriosum ansiehst, darfst du im Kopenhagener Club nicht mitspielen, bei anderen bist du dagegen willkommen, und bei wieder anderen ist nicht mal die Diskussion an sich gerne gesehen - „shut up and calculate“. Es gab Zeiten, da wurden Arbeiten zu den „Fundamenten der Quantenmechanik“ in keiner einzigen renommierten Fachzeitschrift veröffentlicht. Everett hätte wohl ohne seinen hochangesehen Doktorvater Wheeler nie publizieren können.

Heute ist das zum Glück anders. Praktisch jeder, der sich ernsthaft mit diesen Themen befasst, kommt zu der Ansicht, das Interpretation und Methode nach Bohr et al. sowie Dirac und von Neumann zwar praktisch funktionieren, jedoch letztlich „weird“ sind und nicht das letzte Wort sein können. Allerdings existiert keine weithin akzeptierte Alternative; die „Vielen Welten“ nach Everett sind sicher einer der Favoriten, insbs. wegen der schlüssigen Axiome und dem Verzicht auf ad hoc Annahmen. Aber auch deren Konsequenzen sind „weird“, die mathematischen und logischen Argumente noch nicht ganz klar.

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Beitrag index_razor Verfasst am: 21. Jun 2020 21:10    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Es gab Zeiten, da wurden Arbeiten zu den „Fundamenten der Quantenmechanik“ in keiner einzigen renommierten Fachzeitschrift veröffentlicht. Everett hätte wohl ohne seinen hochangesehen Doktorvater Wheeler nie publizieren können.


Ist deine Quelle dafür zufällig "Something Deeply Hidden"? Vor einiger Zeit gab es einen Blogpost von Peter Woit über eine ganz ähnlich klingende Behauptung von Carroll aus einem Essay, der auf Passagen aus seinem Buch basiert.

"For years, the leading journal in physics had an explicit policy that papers on the foundations of quantum mechanics were to be rejected out of hand."

Die führende Fachzeitschrift ist vermutlich Physical Review. Ich habe zwar mangels einschlägiger historischer Kenntnisse kein eigenes Urteil darüber. Viele im Blogpost diskutierte Aspekte dieser Anekdote klingen für mich aber verdächtig als sei das ganze eher Legende als Wahrheit.

(Es gibt sogar eine Variante dieser Geschichte von DeWitt, in der wieder Wheeler der Held ist, die Handlung aber in die 50er verlegt wird, und statt um "Fundamente der Quantenmechanik" geht es um “papers on gravitation or other fundamental theory.”)
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 22. Jun 2020 06:57    Titel: Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Ist deine Quelle dafür zufällig "Something Deeply Hidden"? Vor einiger Zeit gab es einen Blogpost von Peter Woit über eine ganz ähnlich klingende Behauptung von Carroll aus einem Essay, der auf Passagen aus seinem Buch basiert.

Über die Blogs von Woit und Carroll ist mir das tatsächlich wieder in Erinnerung gerufen worden. Ich hatte aber schon früher ähnliche Aussagen über Everett selbst gelesen; die von de Witt so jedoch nicht.

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Archont



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Beitrag Archont Verfasst am: 23. Jun 2020 10:48    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:

Heute kann man mathematisch beweisen, dass es bei Verwendung eines Hilbertraumes in der Quantenmechanik nur dieser eine einzige mathematisch konsistente Wahrscheinlichkeitsbegriff existiert. Das ist schon erstaunlich, denn für das klassische Pendant, den Phasenraum, existieren unendlich viele.


Offensichtlich hat sich seit Hamilton (?) das Verfahren umgekehrt: nicht mehr induktiv von den Daten ausgehend erfolgt die Formalisierung, sondern man untersucht Eigenschaften von mathematischen Objekten (z.B. Hilbertraum, Zustandsvektoren) unter unterschiedlichen möglichen mathematischen Randbedingungen und kreist dann ein auf zulässige physikalische Randbedingungen, deduziert daraus eine Aussage, die dann exp. überprüfbar sein muss. Kann man das so sagen?

Zitat:

„Die folgende Regel unterscheidet die 'Everettsche Formulierung' fundamental (!) von der sogenannten 'orthodoxen Interpretation':
5. Unter der Messung einer Observable eines Quantensystems versteht man zunächst eine spezielle Wechselwirkung dieses Quantensystems mit einem zweiten (makroskopischen) Quantensystem – dem sogenannten Messgerät – gemäß der o.g. unitären Zeitentwicklung.

Formal liegt eine Messung einer durch den Operator repräsentierten Observablen dann vor, wenn ein beliebiger Gesamtzustand von Quantensystem und Messgerät im Zuge der Wechselwirkung zu einer makroskopisch näherungsweise eindeutigen Korrelation zwischen den Eigenzuständen des selbstadjungierten Operators und den sogenannten Zeiger-Zuständen des Messgerätes führt, so dass die Zeiger-Zustände die Messwerte der Observablen anzeigen.


Wie sieht es nun bei Everett aus? Wie umgeht er den Kollaps und wie bekommt er ein definites Ergebnis ?
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 23. Jun 2020 13:58    Titel: Antworten mit Zitat

Archont hat Folgendes geschrieben:
Offensichtlich hat sich seit Hamilton (?) das Verfahren umgekehrt: nicht mehr induktiv von den Daten ausgehend erfolgt die Formalisierung, sondern man untersucht Eigenschaften von mathematischen Objekten (z.B. Hilbertraum, Zustandsvektoren) unter unterschiedlichen möglichen mathematischen Randbedingungen und kreist dann ein auf zulässige physikalische Randbedingungen, deduziert daraus eine Aussage, die dann exp. überprüfbar sein muss. Kann man das so sagen?

Physik als empirische Wissenschaft ist immer ein Wechselspiel zwischen Induktion und Deduktion sowie zwischen Theorie und Experiment.

Archont hat Folgendes geschrieben:
Zitat:
„Die folgende Regel unterscheidet die 'Everettsche Formulierung' fundamental (!) von der sogenannten 'orthodoxen Interpretation':
5. Unter der Messung einer Observable eines Quantensystems versteht man zunächst eine spezielle Wechselwirkung dieses Quantensystems mit einem zweiten (makroskopischen) Quantensystem – dem sogenannten Messgerät – gemäß der o.g. unitären Zeitentwicklung.

Formal liegt eine Messung einer durch den Operator repräsentierten Observablen dann vor, wenn ein beliebiger Gesamtzustand von Quantensystem und Messgerät im Zuge der Wechselwirkung zu einer makroskopisch näherungsweise eindeutigen Korrelation zwischen den Eigenzuständen des selbstadjungierten Operators und den sogenannten Zeiger-Zuständen des Messgerätes führt, so dass die Zeiger-Zustände die Messwerte der Observablen anzeigen.

Wie sieht es nun bei Everett aus? Wie umgeht er den Kollaps und wie bekommt er ein definites Ergebnis ?

Nach Everett bzw. der modernen Sichtweise inkl. der Ergebnisse der Dekohärenz bleibt der Superpositionszustand erhalten. Eine Messung führt letztlich dazu, dass die Komponenten des Superpositionszustandes gerade je möglichem Messergebnis entstehen - eine Komponente je Messergebnis - und dass diese Komponenten aufgrund der Dekohärenz untereinander wechselweise nicht mehr interferierenzfähig sind. Insgs. gibt es damit kein definites Ergebnis; lokal je Komponente genau das zum jeweiligen Messwert gehörige.

DeWitt prägte für die Komponenten dem Begriff „Welten“. Wichtig ist, dass diese nicht neu postuliert werden sondern automatisch aus der unitären Zeitentwicklung gemäß Schrödingergleichung folgen.

Zur Mathematik später mehr.

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Beitrag Archont Verfasst am: 23. Jun 2020 23:31    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:

Physik als empirische Wissenschaft ist immer ein Wechselspiel zwischen Induktion und Deduktion sowie zwischen Theorie und Experiment.

Das hört sich ein wenig nach Standardantwort an (-: ? Ich meinte Folgendes:

Es gab Zeiten, da wurde aus vorhandenen experimentellen Datenbeständen induktiv (vllt. nicht rein - ) der Formalismus gewonnen; woher der kam, war relativ egal, meistens Aristoteles und Euklid, nehme ich an.

Dann irgendwann (Hamilton, Lagrange?) wurde soweit formalisiert, dass keine einzelnen Lösungen, sondern mathematisch abgesicherte Lösungs-Räume dem Physiker bzw. "der Messapparatur zur zufälligen Auswahl eines Eigenwertes angeboten" werden.

Es sind irgendwie zwei Welten geworden: die Modell-Welt der mathematischen Physik (mit ihren vorsichtigen Korrelationen) und die physikalische Wirklichkeit (aber auch nur als metaphysische Hypothese!);

Die einen interessiert nicht die Welt, sondern nur handfeste verlässlich Vorhersagen!
Den anderen kann die Welt interessieren, er kommt aber wg. Metaphysizität nicht an sie heran, so bleibt ihm die Welt Hilberts & Co. als sicherer Grund.
Und dann gibt es noch die Realisten?

Wobei die mathematische wohl schon die dominierende ist, was man an deiner Bemerkung hins. Wahrscheinlichkeit und Hilbertraum schon ablesen kann: rein mathematische Argumente - warum auch nicht, ist schließlich sicherer Boden; aber es spricht vieles dafür, dass Forschung heute wesentlich Erforschung des Formalismus ist. Das war eigentlich die Frage.

Ist es eigentlich eine glückliche Fügung, dass die supervenierphile Schröd.-G. und der die Werkzeuge dafür enthaltende Hilbertraum zusammenkamen oder gab es schon anfängliche Kontakte?


Zitat:
Nach Everett bzw. der modernen Sichtweise inkl. der Ergebnisse der Dekohärenz bleibt der Superpositionszustand erhalten. Eine Messung führt letztlich dazu, dass die Komponenten des Superpositionszustandes gerade je möglichem Messergebnis entstehen - eine Komponente je Messergebnis - und dass diese Komponenten aufgrund der Dekohärenz untereinander wechselweise nicht mehr interferierenzfähig sind. Insgs. gibt es damit kein definites Ergebnis; lokal je Komponente genau das zum jeweiligen Messwert gehörige.


Also: Wir haben zunächst die Präparation von



Wegen der unitären Zeitentwicklung, die die Wechselwirkung des Quantensystems mit dem Messgerät beschreibt, resultiert der Superpositionszustand der Form



der alle Eigenzustände enthält.
Es gilt also nicht:



sondern direkt:



Zitat:
Nach Everett bzw. der modernen Sichtweise inkl. der Ergebnisse der Dekohärenz bleibt der Superpositionszustand erhalten. Eine Messung führt letztlich dazu, dass die Komponenten des Superpositionszustandes gerade je möglichem Messergebnis entstehen - eine Komponente je Messergebnis - und dass diese Komponenten aufgrund der Dekohärenz untereinander wechselweise nicht mehr interferierenzfähig sind. Insgs. gibt es damit kein definites Ergebnis; lokal je Komponente genau das zum jeweiligen Messwert gehörige.


Eine Messung resp. Wechselwirkung führt also zu einer Korrelation aller möglichen Eigenwerte zu den entsprechenden Zeigerstellungen.

Und für diejenigen, die mit diesen Zeigerstellungen "korrelieren", erscheint der reale Wert der einen Komponente, der mit dem Eigenwert korreliert, wobei die restlichen Komponenten durch die Dekohärenz ihre Interferenzfähigkeit verlieren - und was machen? Jeweils eigene voneinander isolierte Welten bilden? Und das bei jeder klitzekleinen WW??

Zitat:
Zur Mathematik später mehr.


Gerne! (Vllt. zur Info: Kenntnisse in den Grundoperationen der Diff.- und Int.-Rechnung, erahne aber wohl die Bedeutung der höheren Operationen)


Zuletzt bearbeitet von Archont am 24. Jun 2020 00:00, insgesamt einmal bearbeitet
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 23. Jun 2020 23:50    Titel: Antworten mit Zitat

Nochmal zur Erinnerung:

Wir haben zunächst die Präparation von



In Folge der unitären Zeitentwicklung, die die Wechselwirkung des Quantensystems mit dem Messgerät beschreibt, resultiert im Allgemeinen ein Superpositionszustand der Form



der alle Eigenzustände enthält.

Die Beobachtung liefert uns jedoch keine derartige Superposition, sondern genau einen Zeigerzustand zum jeweiligen Messwert.

Nach der orthodoxen Interpretation folgt hier das Projektionspostulat



Nach Everett bleibt die Superposition dagegen bestehen.

Auf Basis der zu Zeiten Everetts noch nicht bekannten Konsequenzen der Dekohärenz können einige Annahmen bzw. Postulate von Neumanns und Everetts aus dem Formalismus abgeleitet werden. Dazu bedarf es jedoch der Erweiterung des Systems um die Umgebung E, die sämtliche nicht-beobachtbarere Freiheitsgrade (Luft, Licht, ...) umfasst. Man erhält



Die rechte Seite steht für eine Superposition aller zulässigen Messergebnisse b, wobei M_b für einen Zustand des Messgerätes „zeigt b“ und E_b für den Zustand der Umgebung „ist verschränkt mit Messgerätes M_b“ steht. M_b und E_b sind symbolische Notationen und sollten ihrerseits als makroskopisch-vergröberte Zustände verstanden werden; es gibt sicher nicht einen eindeutigen Zustand eines Zeigers zum Messergebnis b, sondern eine unendliche Menge von Mikrozuständen, die alle dem selben Makrozustand „zeigt b“ entsprechen.

Die Dekohärenz beantwortet folgende Fragen:
1) Was zeichnet im Zuge einer Messung der Observablen A deren Eigenzustände |a> zu den Messergebnissen a aus?
2) Warum beobachten wir keine derartige Superposition, in der alle möglichen Messergebnisse enthalten sind, sondern immer nur ein konkretes Messergebnis?

Die Dekohärenz beantwortet folgende Frage nicht:
3) Welches eindeutige Messergebnis wird beobachtet?

Zu 1) Die Eigenvektoren zu einem beliebigen selbstadjungierten Operator bilden immer eine vollständige Basis, d.h. man könnte die Superposition bzgl. jeder beliebigen Basis formulieren. Warum sollen wir genau die Basis der zu messenden Observablen benutzen? Die Antwort ist letztlich, dass sich ein Messgerät für eine Observable A gerade dadurch auszeichnet, dass es die zu A zugehörige Eigenbasis selektiert, andernfalls wäre es kein derartiges Messgerät. Und aufgrund der Dekohärenz wird nun tatsächlich eine definierte Basis ausgewählt und die Superposition bleibt bzgl. genau dieser Basis stabil. D.h. es entstehen keine (bzw. nur winzige) Interferenzterme der Form



Damit ist garantiert, dass jeder einzelne Zweig



einer klassisch erscheinenden „Welt“ entspricht.

Zu 2) Damit wird noch nicht erklärt, warum wir immer nur genau einen Zweig beobachten, obwohl doch alle Zweige realisiert sind. Die Begründung dafür, dass die Zweige wechselweise unsichtbar sind und bleiben, liegt insbs. in den Umgebungsfreiheitsgraden. Zwei Zweige zu b, b’ sind in sehr guter Näherung orthogonal und bleiben dies auch unter weiterer Zeitentwicklung U(t)

Nimmt man noch einen Beobachter mit hinzu,



so verschwinden die Interferenzterme zweier Beobachter, die unterschiedliche Beobachtungen b,b‘ machen, d.h.



für spätere Zeiten t.

Zu 3) Mit Everett gelangt man also zu dem bizarren Bild, dass Messgerät, Umgebung und Beobachter in wechselweise unsichtbare Zweige „b“ auffächern, wobei je Zweig ein eindeutiges Messergebnis vorliegt. Im gesamten Hilbertraum sind alle Messergebnisse realisiert; je einzelnem Zweig wird aufgrund von (2) dagegen genau ein Messergebnis beobachtet.

Die Stärke der Interpretation besteht darin, dass Projektionspostulat und Bornsche Regel verzichtbar werden, und dass man die Auffächerung selbst ebenfalls nicht postulieren sondern lediglich als Konsequenz der Mathematik akzeptieren muss.

(Anhänger der Kollapsinterpretation müssen zunächst diese mathematischen Ergebnisse akzeptieren und anschließend einen - nach Everett logisch überflüssigen - Kollaps postulieren).

Später mehr zu offenen Punkten.

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Beitrag Archont Verfasst am: 25. Jun 2020 10:46    Titel: Antworten mit Zitat

Ich würde meinen: entweder genial oder völlig abgefahren, wie hier jemand schrieb.

Nun, der Kollaps scheint bei Everett kein Thema mehr zu sein. Das finde ich äußerst begrüßenswert!


Zitat:
„… dass sich ein Messgerät für eine Observable A gerade dadurch auszeichnet, dass es die zu A zugehörige Eigenbasis selektiert, …“


Den Satz finde ich enorm wichtig: was der vNP zufällig, ohne "Sinn und Verstand", an Eigenwerten aus dem Spektrum herausholt, wird bei Everett wieder sauber nach sachlichen Kriterien gefiltert; ich denke, auch das Messgerät ist ja affin auf seinen Untersuchungsgegenstand hin gefertigt und präpariert worden. Damit wäre wohl auch der Zufall erledigt! If correct.


Die Krönung wäre vllt. die logische Herleitung der - Verteilung.


Auf der anderen Seite scheinen mir die Vielen Welten und die Eine Welt des jeweiligen Beobachters eine logische Konsequenz des Hilbertraumes zu sein. Dass es gelungen ist, dieser verwickelten Situation mit der Dekohärenz einen realistischen Anstrich zu geben, finde ich ganz erstaunlich - und einen glücklichen Zufall für Everett, oder ahnte der das schon in 50-Jahren?


Könnte es sein, das Everett sich epistemisch grundlegend insofern von Kopenhagen unterscheidet, als er der Überzeugung is, dass tatsächlich ein ontologisches Korrelat hat und nicht nur eine epistemische Krücke für Berechnungen ist?


Zitat:
„Im gesamten Hilbertraum sind alle Messergebnisse realisiert“


Der Hilbertraum bleibt aber doch ein mathematischer Raum, der u.a. die Messergebnisse repräsentiert, oder nicht? Ich dachte, Realisation heißt Transformation o.ä. aus dem Hilbert- in den Orts-Raum?


Einen Welle-Teilchen-Dualismus scheint es in der VWI nicht zu geben?
Wie interpretiert sie das DS-Experiment?

Wenn die Welt-Grundformel ist, ist dann der Hilbertraum ein Kandidat für eine Raum-Zeit-Theorie? Sagt VWI irgendetwas zur Raum-Zeit-Problematik? Eine Ontologie ohne Bezug zur Raum-Zeit-Thematik wäre problematisch, oder nicht?


Insgesamt halte ich die Everett-Version der Quantenmechanik so, wie ich sie verstanden habe, für methodisch wesentlich stringenter und umfassender und philosophisch für "äußerst spannend"; die Kopenhagener Widersprüche scheinen zu einem Gutteil gelöst.
Die Flutung des Kosmos mit den Verzweigungen/Welten bei jeder kleinsten Wechselwirkung ist schon eine Herausforderung!

Aber wir reden hier ja auch von einem Modell, von dem wir mit guten Gründen zwar Korrelationen zur Realität annehmen können, aber nicht unbedingt von der Realität selbst.

Offensichtlich setzt du großes Vertrauen in die Mathematik, aber ob sie wirklich das letzte Wort hat … ?
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 26. Jun 2020 00:04    Titel: Antworten mit Zitat

Archont hat Folgendes geschrieben:
Zitat:
„… dass sich ein Messgerät für eine Observable A gerade dadurch auszeichnet, dass es die zu A zugehörige Eigenbasis selektiert, …“

Den Satz finde ich enorm wichtig: was der vNP zufällig, ohne "Sinn und Verstand", an Eigenwerten aus dem Spektrum herausholt, wird bei Everett wieder sauber nach sachlichen Kriterien gefiltert; ich denke, auch das Messgerät ist ja affin auf seinen Untersuchungsgegenstand hin gefertigt und präpariert worden. Damit wäre wohl auch der Zufall erledigt!

So einfach ist das nicht.

Die Berechnungen nach Born und von Neumann funktionieren und die Messergebnis folgen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Wenn man auf die entsprechenden Postulate verzichtet, muss man analoge Aussagen demnach aus dem Formalismus herleiten. Diese Herleitungen sind bis heute nicht unumstritten; dabei handelt es sich nicht um die Mathematik, sondern um die Logik der Argumentation, insbs. um mögliche Zirkelschlüsse.

Archont hat Folgendes geschrieben:
Die Krönung wäre vllt. die logische Herleitung der - Verteilung.

Wie schon erwähnt: wenn überhaupt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung eingeführt werden soll, dann entspricht diese zwingend der Bornschen Regel.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Gleason%27s_theorem

Der Kackpunkt ist jedoch ein anderer: warum führt man in eine streng deterministische Theorie überhaupt Wahrscheinlichkeiten ein? Bei Born ist das ad hoc, ohne innere Logik, aber natürlich der Beobachtung geschuldet.

Wenn die Everettsche Quantenmechanik hier besser sein will, muss sie die Wahrscheinlichkeiten aus einer inneren Logik heraus herleiten, nicht einfach nur postulieren.

Archont hat Folgendes geschrieben:
Könnte es sein, das Everett sich epistemisch grundlegend insofern von Kopenhagen unterscheidet, als er der Überzeugung is, dass tatsächlich ein ontologisches Korrelat hat?

Zumindest einige der heutigen Vertreter sehen das ganz explizit so. Siehe u.a.

http://www.preposterousuniverse.com/blog/2014/06/30/why-the-many-worlds-formulation-of-quantum-mechanics-is-probably-correct/

Archont hat Folgendes geschrieben:
Zitat:
„Im gesamten Hilbertraum sind alle Messergebnisse realisiert“

Der Hilbertraum bleibt aber doch ein mathematischer Raum, der u.a. die Messergebnisse repräsentiert, oder nicht? Ich dachte, Realisation heißt Transformation o.ä. aus dem Hilbert- in den Orts-Raum?

Nee. „Realisiert“ heißt, dass diese Messung in irgendeiner Form tatsächlich vorliegen. Der Bezug zwischen Hilbertraum und Ortsraum bleibt dabei völlig offen.

Archont hat Folgendes geschrieben:
Wenn die Welt-Grundformel ist, ist dann der Hilbertraum ein Kandidat für eine Raum-Zeit-Theorie? Sagt VWI irgendetwas zur Raum-Zeit-Problematik?

Jein.

Die Beschäftigung mit der Quantengravitation war ein wesentlicher Grund für die Akzeptanz und ist weiterhin ein Treiber für die Viele-Welten-Theorie, z.B. bei Wheeler und deWitt:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Wheeler%E2%80%93DeWitt_equation

Die Beschreibung des gesamten Universums als Quantensystem lässt es einfach nicht zu, dass eine Beobachtung außerhalb dieses Quantensystems stattfindet, d.h. sie erfordert die Beschreibung der Messung als normale quantenmechanischen Prozess.

Interessanterweise ist dieser „normale quantenmechanischen Prozess“ aus vielen Formulierungen der Quantengravitation jedoch nicht so einfach ableitbar:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Problem_of_time

Die Quantisierung der Gravitation führt nicht auf die bekannte Schrödingergleichung



sondern auf



Damit ist der Zeitentwicklungsoperator



und der Quantenzustand des Universums statisch!

Die Zeit t ist dabei eine (fast) frei wählbare Zeitkoordinate.

Es kann sich dabei sicher nicht um die physikalische Zeit handeln, bzgl. derer wir Prozesse beobachten und die wir messen.

Archont hat Folgendes geschrieben:
Offensichtlich setzt du großes Vertrauen in die Mathematik, aber ob sie wirklich das letzte Wort hat … ?

Üblicherweise hat in der Physik das Experiment das letzte Wort. Nur - das Experiment kann nicht zwischen verschiedenen Interpretation phänomenologisch äquivalenter Formalismen unterscheiden. Dann bleibt uns leider nur noch die Mathematik.

Dieser Verzicht auf Empirie in einigen Bereichen der Physik wird von manchen Physikern scharf kritisiert. Nur - wir haben eben keine Möglichkeit, Theorien zur Quantengravitation und zu den „Vielen Welten“ experimentell zu überprüfen.

Die Kritik sollte sich m.E. aber auf Behauptungen fokussieren, die eine „Wahrheit“ suggerieren, die wir so nie erreichen können, gerade weil ein empirischer Wahrheitsbegriff nach Popper hier nicht anwendbar ist. In dieser Hinsicht sehe ich in einigen Bereichen der Physik durchaus massive Probleme, wie bestimmte Ansätze verkauft werden. Die Everettsche Quantenmechanik zähle ich aber gerade nicht dazu: die Anhänger sind sich der Probleme und offenen Fragen - auch und insbs. im Bereich der Logik und der Philosophie - durchaus bewusst und verweigern sich diesen Diskussionen keineswegs. Sie halten die Everettsche Quantenmechanik nicht für „wahr“ oder „richtig“ sondern lediglich für „sehr vernünftig“, und die befassen sich sowohl mit der logischen Untermauerung ihres Standpunktes als auch mit fundierter Kritik.

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