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Hubble-Gesetz und Hubble-Zeit
 
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Corbi



Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 284

Beitrag Corbi Verfasst am: 27. Feb 2020 19:04    Titel: Hubble-Gesetz und Hubble-Zeit Antworten mit Zitat

Wie leitet man aus dem Hubble-Gesetz


das Alter des Universums ab ?

Es handelt sich dabei ja eigentlich um eine lineare DGL erster Ordnung:

die gelöst wird durch:


Daraus lässt sich aber kein Alter bestimmen da D niemals 0 wird
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 01. März 2020 09:13    Titel: Re: Hubble-Gesetz und Hubble-Zeit Antworten mit Zitat

Corbi hat Folgendes geschrieben:
Wie leitet man aus dem Hubble-Gesetz


das Alter des Universums ab ?

Es handelt sich dabei ja eigentlich um eine lineare DGL erster Ordnung:

die gelöst wird durch:


Daraus lässt sich aber kein Alter bestimmen da D niemals 0 wird


Der Hubble-Parameter ist keine Konstante, sondern hängt von der Zeit ab. Folglich handelt es sich beim Hubble-Gesetz auch nicht um eine lineare Differentialgleichung.

Die Hubble-Zeit ergibt sich strenggenommen nur unter der Annahme, daß D linear mit der Zeit wächst, . Da das tatsächliche Wachstum aber nicht linear ist, ergibt 1/H allerdings auch nicht das Alter des Universums. Früher war die Expansion schneller, das Universum expandierte also weniger lange bis zur heutigen Größe. Die Hubble-Zeit ist also nur eine Obergrenze.

Die tatsächliche Zeitabhängigkeit von , oder äquivalent des Skalenfaktors , ergibt sich aus der Friedman-Gleichung, die im flachen Universum die Form



hat, zusammen mit der Bilanzgleichung für Energie und Impuls (zusammen mit der ersten auch oft als Friedman-Gleichung bezeichnet)



und zuletzt der jeweiligen Zustandsgleichung für die dominierende Materieform.

Für kalte Materie ist also (in Friedman-Gleichung einsetzen und integrieren) , also . In diesem Fall ergäbe sich also



d.h. ein ähnlich einfacher Zusammenhang, aber mit einem geringeren Alter des Universums.

Für heiße Materie oder Strahlung gilt und folglich . Damit folgt und



Das bedeutet, daß das tatsächliche Alter des Universums geringer ist, als die Hubble-Zeit, sofern nur diese beiden Materieformen einen wesentlichen Beitrag zur gesamten Eneriedichte leisten.

Schließlich gibt es noch Vakuumenergie mit der Zustandsgleichung oder . Nur in diesem Fall gilt und somit ist die Expansion exponentiell, mit konstantem Hubble-Parameter

.
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