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scm
Anmeldungsdatum: 06.02.2019
Beiträge: 1
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 scm Verfasst am: 06. Feb 2019 13:00 Titel: Winkelgeschwindigkeit und Ortsfunktion |
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Meine Frage:
Hallo Physiker!
Im Zusammenhang mit der "Dynamik starrer Körper" stehe ich vor einem
Problem mit dem ich partout nicht weiterkomme:
eine Drehbewegung im R³ sei charakterisiert durch eine Funktion omega,
die jedem Zeitpunkt t eine Winkelgeschwindigkeit omega(t) zuordnet.
Gesucht ist jetzt eine dazugehörige Funktion S, die t auf eine Matrix
S(t) aus SO(3) abbildet so daß sich die Ortsfunktion eines Punktes x
unter dieser Bewegung darstellen läßt als x(t) = S(t)x
Meine Ideen:
Das Ganze ist nicht übermäßig schwierig solange zumindest die Richtung
von omega konstant bleibt, man kann dann den Drehwinkel durch Integration
des Betrags von omega über die Zeit bestimmen und in die entsprechende
Drehmatrix einsetzen.
Ändert sich aber auch die Richtung von omega, kommt man so nicht weiter,
weil sich die "Gestalt von S" ändert (der Eigenraum zum EW=1, also der
von omega erzeugte Unterraum bleibt ja nicht gleich).
Meine Idee war jetzt die Bewegung in infinitesimal kleine Drehungen mit
Drehwinkel omega*dt zu zerlegen. Aber anders als bei einer Translation,
bei der man dann die Ortskurve x(t) als Integral der Geschwindigkeit er-
hält hab ich jetzt das Problem daß sich das gesuchte S(t) als PRODUKT
der vorhergehenden Drehmatrizen ergeben würde ... und jetzt?
An dieser Stelle würde ich mich sehr freuen über einen Hinweis wie ich
das Ganze rechnerisch in den Griff kriegen kann!
Viele Grüße
Sven |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18198
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| TomS Verfasst am: 06. Feb 2019 13:34 Titel: |
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Zunächst mal die Frage, ob ich dich richtig verstehe: gegeben sei ein beliebig rotierender Körper, auf dessen Oberfläche sich ein Punkt gemäß
 = S(t) \, x_0; \quad S \in \text{SO}(3))
bewegt.
Wenn die Drehachse fest ist, dann kannst du für S eine Darstellung mittels Eulerwinkeln finden. Generischer - da für alle Liegruppen möglich - ist die Darstellung mittels Generatoren = so(3) Matrizen sowie Drehwinkel theta.
 = e^{i\theta^a(t) \, T^a})
Einfacher wird das ganze mittels Quaternionen. Dazu bildet man den Ort x sowie die Drehachse n ebenfalls auf Quaternionen an. Darstellung von S, Rotation von x sowie Verknüpfung von Rotationen lauten dann:
 \, x \, (S_2 S_1)^{-1} = S_2 S_1 \, x \, S_1^{-1} S_2^{-1} )
theta ist dabei direkt der Drehwinkel um die Achse n.
In der Wikipedia findest du auch eine explizite Darstellung für die Verknüpfung. Du wirst i.A. jedoch keine geschlossene Darstellung für variable Drehachse finden.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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scn
Gast
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| scn Verfasst am: 06. Feb 2019 14:13 Titel: |
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Hallo Tom!
Danke für deine Antwort!
Ja, du hast mich völlig richtig verstanden, es geht mir darum den Drehimpuls
des Körpers zur Zeit t zu bestimmen und dafür brauche ich S(t) um damit den Trägheitstensor zum Zeitpunkt t zu bestimmen ...
Wie gesagt möchte ich nicht voraussetzen daß die Drehachse konstant bleibt
(wie man diesen Fall behandelt ist mir klar), sondern einen beliebigen, diff.baren
Verlauf der Winkelgeschwindigkeit zulassen.
Leider sind mir deine Formeln nicht ganz klar, die Darstellung
S(t) = exp(...) gilt doch nur für den Fall einer festen Achse, oder?
Die Sache mit den Quaternionen muß ich mir nochmal zu Gemüte führen ...
Viele Grüße
Sven |
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