Kugelfallviskosimeter Differentialgleichung

naddi · Gast

Meine Frage:
Bräuchte beim Aufstellen und Lösen einer Differentialgleichung eines Kugelfallviskosimeter's hilfe.

f)Wir betrachten den Anfang des Experiments, an dem die ruhende Kugel
losgelassen wird. Stellen Sie die Bewegungsgleichung für die sinkende Kugel auf.

(g) Lösen Sie die Differentialgleichung mit folgendem Ansatz: v(t) = A*(1-e^(-t/) und der Anfangsbedingung v(t = 0) = 0. Finden Sie Ausdrücke für den Vorfaktor A und die Zeitkonstante .

Meine Ideen:
für die Differentialgleichung komme ich auf

m*v'(t)=Fg-Fa-Fw
m*v'(t)=mk*g-mfl*g-6*pi*r*n*v(t)

und für v'(t)=(-A*e^(-t/))/

wenn ich die Bedingung v(t=0)=0 verwenden und in v(t) einsetze komme ich für A auf: A=1

aber wenn ich dann alles in meine Differentialgleichung einsetze und nach meiner Zeitkonstanten: auflösen möchte, funktioniert es mit den Einheiten bei mir nicht mehr...

Wo ist denn mein Fehler, bzw. stimmt die DGL überhaupt?

Vielen Dank.

moody_ds · Anmeldungsdatum: 29.01.2016 Beiträge: 515

naddi · Gast

so hab jetzt mal den Formeleditor für mich entdeckt!! Big Laugh

Also

und für

wobei mk: Masse der Kugel
und mfl: Masser des Fluids

moody_ds · Anmeldungsdatum: 29.01.2016 Beiträge: 515

DGL stimmt. Ich hatte bei der Ableitung allerdings kein negatives Vorzeichen.

Wie kommst du auf A=1? Sicher dass da nicht einfach 0=0 rauskommt? Setze mal v und v' in die DGL ein und setze dann die Anfangsbedingung ein. Dann sollte für A was anderes rauskommen Augenzwinkern

naddi · Gast

Soweit auch verständlich, bei der Ableitung von v(t) hatte ich mich verschrieben und mit A=1 war dann wohl nicht genau geschaut, aber da komme ich jetzt auch auf 0=0 Big Laugh

Jetzt kann ich ja einfach v und v' in meine Differentialgleichung einsetzen, aber wenn ich das dann nach A auflöse bekomme ich A in Abhängigkeit von λ raus:

und aufgelöst nach λ bekomme ich λ in Abhängigkeit von A raus:

was eigentlich für mich überhaupt keinen Sinn macht...

Inwiefern hilft mir jetzt meine Anfangsbedingung 0=0?
Hammer

moody_ds · Anmeldungsdatum: 29.01.2016 Beiträge: 515

Ich habe schon ewig keine DGL mehr per Hand gelöst, deswegen kann ich mich hier auch gut und gerne vertun.
Ich kam aber auf einen ähnlichen Ausdruck für A, hatte allerdings noch die Erdbeschleunigung drin.

Dann habe ich, soweit das in meinen Augen richtig war, die homogene Lösung bestimmt, und dafür den konstanten Teil der DGL vernachlässigt. Alles was vor v steht ist hier als D zusammengefasst (bin am Handy):

mv' - Dv = 0

Lösung für v' und v einsetzen ergibt

1/Lambda - D/m = 0

So lässt sich Lambda bestimmen und damit ist A Dann auch bestimmt, Lambda ist ja nun bekannt.

Lg