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Nachricht |
tom_
Anmeldungsdatum: 23.05.2016
Beiträge: 23
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 tom_ Verfasst am: 30. Jul 2018 14:29 Titel: Vorzeichenproblem beim Runge-Lenz-Vektor |
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Hi,
der Runge-Lenz-Vektor (https://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Runge-Lenz-Vektor) ist für ein Sonne-Planet-System definiert durch
Das scheint auch so zu stimmen. Ich habe es n-mal formal überprüft und es steht auch so überall in der Literatur.
Die Bahnkurve des Planeten als Funktion des Winkels lautet ( -große Halbachse,  -numerische Exzentrizität):
}{1 + \epsilon_k\,\cos(\varphi)}\,\vec{e}_r)
Die Geschwindigkeit ist:
}}\,\left(\vec{e}_{\varphi} + \epsilon_k\,\vec{e}_{y}\right))
Plottet man das (siehe unten), so sieht alles gut aus. Die Bahnkurve ist eine Ellipse, die sich entgegen dem Uhrzeigersinn dreht. Die Geschwindigkeit passt ebenfalls dazu.
Setzt man das in den Runge-Lenz-Vektor ein, so ist dieser nur dann konstant, wenn die Formel
lauten würde. Hat jemand eine Idee?
Hier noch der Mathematica-Code:
| Code: |
n[v_] := Sqrt[v.v]
er = {Cos[phi], Sin[phi], 0};
ep = {-Sin[phi], Cos[phi], 0};
ey = {0, 1, 0};
r = a (1 - ek^2)/(1 + ek Cos[phi]) er;
v = Sqrt[(G M)/(a (1 - ek^2))] (ep + ek ey);
Cross[m v, Cross[r, m v]] - G m^2 M r/n[r] // FullSimplify // PowerExpand // FullSimplify
Cross[m v, Cross[r, m v]] + G m^2 M r/n[r] // FullSimplify // PowerExpand // FullSimplify
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Der Output ist:
| Code: |
{G m^2 M (ek + 2 Cos[phi]), 2 G m^2 M Sin[phi], 0}
{ek G m^2 M, 0, 0}
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Zum Plotten:
| Code: |
paras = {ek -> 0.9, a -> 1, G -> 1, m -> 1, M -> 1};
plotrng = {{-2.5, 2.5}, {-1, 1}};
pl1 = ParametricPlot[(r /. paras)[[1 ;; 2]], {phi, 0, 2 Pi * 3/4}, PlotRange -> plotrng];
pl2 = Graphics[Arrow[Table[{r[[1 ;; 2]], r[[1 ;; 2]] + 0.2 v[[1 ;; 2]]}, {phi, 0, 2 Pi, Pi/2}] /. paras], Axes -> True, PlotRange -> plotrng];
Show[pl1, pl2]
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5864
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| Myon Verfasst am: 30. Jul 2018 18:03 Titel: Re: Vorzeichenproblem beim Runge-Lenz-Vektor |
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| tom_ hat Folgendes geschrieben: | Setzt man das in den Runge-Lenz-Vektor ein, so ist dieser nur dann konstant, wenn die Formel
lauten würde. |
Ich weiss nicht genau, wie Du darauf kommst, dass ein Pluszeichen stehen müsste. Man kann ohne Rechnen sehen, dass der obige Vektor mit „+“ nicht konstant sein kann: Bei einer Drehung im Gegenuhrzeigersinn zeigt  in z-Richtung. Betrachet man nun den Vektor  am Perihel und Aphel, so zeigen beide Summanden jeweils in Richtung von  . Mit einem Pluszeichen würde somit an den beiden Punkten in entgegengesetzte Richtung (jeweils radial nach aussen) zeigen und wäre nicht konstant.
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tom_
Anmeldungsdatum: 23.05.2016
Beiträge: 23
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tom_
Anmeldungsdatum: 23.05.2016
Beiträge: 23
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| tom_ Verfasst am: 30. Jul 2018 19:42 Titel: Re: Vorzeichenproblem beim Runge-Lenz-Vektor |
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Das ist ein Artefakt welches durch die Verwendung von PowerExpand in Mathematica entsteht!
| Code: |
n[v_] := Sqrt[v.v]
er = {Cos[phi], Sin[phi], 0};
v1 = (1 - a) er
v2 = b er
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Erster Versuch:
| Code: |
v1/n[v1] // FullSimplify // PowerExpand
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ergibt
| Code: |
{-Cos[phi], -Sin[phi], 0}
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Zweiter Versuch:
| Code: |
v2/n[v2] // FullSimplify // PowerExpand
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ergibt
| Code: |
{Cos[phi], Sin[phi], 0}
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Wieder was gelernt.
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