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Ich
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 Ich Verfasst am: 12. Apr 2018 14:16 Titel: Ich’s Rätsel des zwischen Spiegeln pendeln Photons |
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Zwischen zwei parallelen perfekten Spiegeln sei ein "Lichtteilchen" eingesperrt, das hin- und herreflektiert wird. Was passiert, wenn man die Spiegel mit konstanter Geschwindigkeit aufeinander zu bewegt? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 12. Apr 2018 14:50 Titel: |
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Um die Spiegel mit konstanter Geschwindigkeit zu bewegen, muss man gegen den Lichtdruck arbeiten. Dadurch wird bei jeder Reflexion zusätzlich Energie ins System gepumpt, da sich andernfalls die Geschwindigkeit des Spiegels verringern würde. (*)
Oder alternativ, wenn man keine zusätzliche Energie ins System pumpen möchte, kann die Geschwindigkeit nicht konstant sein.
(*) wobei die Problemstellung m.E. nicht eindeutig ist; man könnte der Einfachheit halber zunächst einen elastischen Stoß mit Impulserhaltung zwischen Photon und Spiegel annehmen; damit vergrößert sich der Impulsbetrag des Photons, und der des Spiegels verringert sich; anschließend wird dann dem Spiegels alleine - ohne Betrachtung des bereits reflektierten Photons - soviel Energie zugeführt, dass er wieder auf die Geschwindigkeit vor dem Stoß beschleunigt wird; das ist am einfachsten zu rechnen.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Ich
Anmeldungsdatum: 11.05.2006
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| Ich Verfasst am: 12. Apr 2018 22:43 Titel: |
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Die Details ändern nichts am Ergebnis, solange der Spiegel sehr viell Impuls hat als das Licht. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 12. Apr 2018 22:51 Titel: |
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Wenn du den initialen Abstand beliebig groß machst, wächst auch der Impuls des Photons unbegrenzt.
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Ich
Anmeldungsdatum: 11.05.2006
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| Ich Verfasst am: 13. Apr 2018 08:59 Titel: |
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Und wenn der Anfangsabstand klein ist? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18028
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| TomS Verfasst am: 13. Apr 2018 18:31 Titel: |
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Lass mich das mal in Ruhe ausrechnen
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18028
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| TomS Verfasst am: 13. Apr 2018 22:36 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wenn du den initialen Abstand beliebig groß machst, wächst auch der Impuls des Photons unbegrenzt. |
Das ist falsch.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18028
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| TomS Verfasst am: 14. Apr 2018 12:03 Titel: |
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So, hab’ mal zwei Alternativen zur Berechnung ausprobiert.
Nach der Reflexion, die den Impuls des Spiegels ändert, wird dieser wieder auf den ursprünglichen Impuls beschleunigt. Im folgenden bezeichen große Buchstaben immer strikt positive Größen.
1) Wir betrachten zwei Spiegel mit Impuls -q und q, zwischen denen das Photon pendelt. Man löst die Gleichung für Impuls- und Energieerhaltung:
Man setzt
eliminiert den Impuls des Spiegels nach dem Stoß mittels der Impulserhaltung und setzt in die Gleichung zur Energieerhaltung ein. Nach etwas Algebra findet man (und das bitte ich zu prüfen)
 \cdot E)
 = 1 + \frac{2(Q-E)}{\sqrt{Q^2+m^2}-Q+2E})
Offensichtlich findet in z ein Vorzeichenwechsel bei Q = E statt. D.h. für genügend große E wird die Energie des Photons beim Stoß nicht zu- sondern abnehmen, da das Photon Energie auf den Spiegel überträgt.
Nun führen wir eine etwas andere Notation ein: wir nummerieren die Energie nach dem n-ten Stoß mit einem Index n. Dies führt auf
)
Diese Beziehung kann nun interiert werden, um ausgehend von der initalen Energie sowie abhängig von m und Q das Verhalten des Photons im Zuge der abwechselnden Stöße mit den beiden Spiegeln zu betrachten.
Diese Vorgehensweise ist aber evtl. etwas intransparent. Deswegen
2) Wir betrachten den Stoß immer immer im Ruhesystem des jeweiligen Spiegels und führen anschließend eine Lorentz-Transformation in das Ruhesystem des jeweils anderen Spiegels durch. Dadurch ist die Kinematik des Stoßes einfacher.
Im folgenden verwende ich wiederum p,q,E, ..., diese Größen sind jedoch in anderen Bezugsystemen als die Größen in (1) zu verstehen!
Für den Zusammenhang zwischen den Energien vor bzw. nach dem Stoß im Ruhesystem des jeweiligen Spiegels gilt
Die Energie des Photons nimmt bei jedem Stoß ab.
Für den Zusammenhang zwischen den Energien im Ruhesystem des gerade Spiegels an dem die letzte Reflexion stattfand sowie dem Ruhesystem des Spiegels an dem der nächste Stoß stattfinden wird gilt
 = \frac{1+v}{\sqrt{1-v^2}} > 1)
Die Energie relativ zum nächsten Spiegel ist also immer größer als die relativ zum vorherigen Spiegel.
Damit haben wir ein m.E. transparentes Verfahren zur Iteration
und
(da wir uns dann ja wieder im Ausgangssystem befinden)
Offensichtlich kann das Verhalten der Energie des pendelnden Photons abhängig von zwei Parametern untersucht werden: die initiale Energie des Photons sowie der Parameter s, in dem letztlich die Geschwindigkeit der beiden Spiegel steckt. Wir haben es dabei mit zwei separaten Effekten zu tun: Abnahme der betrachteten Energie durch Reflexion sowie Zunahme der betrachteten Energie durch Lorentztransformation.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 15. Apr 2018 18:27, insgesamt einmal bearbeitet |
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 196
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| Telefonmann Verfasst am: 14. Apr 2018 22:19 Titel: Re: Ich’s Rätsel des zwischen Spiegeln pendeln Photons |
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| Ich hat Folgendes geschrieben: | | Was passiert, wenn man die Spiegel mit konstanter Geschwindigkeit aufeinander zu bewegt? |
Die Distanz zwischen den Spiegeln wird irgendwann Null. Das Photon kann dann nicht mehr reflektiert werden. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18028
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| TomS Verfasst am: 15. Apr 2018 08:25 Titel: Re: Ich’s Rätsel des zwischen Spiegeln pendeln Photons |
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| Telefonmann hat Folgendes geschrieben: | | Die Distanz zwischen den Spiegeln wird irgendwann Null. Das Photon kann dann nicht mehr reflektiert werden. |
Man kann den Abstand der Spiegel zu Beginn beliebig groß machen.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18028
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| TomS Verfasst am: 15. Apr 2018 10:12 Titel: |
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Zunächst noch die Anmerkung, dass es sich gerade um die Herleitung des Comptoneffektes für Rückstreuung um 180° handelt.
Es ist einfacher, diese Überlegungen anhand der Wellenlänge durchzuführen. In natürlichen Einheiten gilt
Für die o.g. Rekursion folgt
mit
Dies ist gerade die Comptonwellenlänge des Spiegels.
Die Verschiebung der Wellenlänge ist unabhängig von der Wellenlänge des Photons; sie hängt ausschließlich von der Masse bzw. Comptonwellenlänge des Spiegels ab.
Nun kann man die o.g. Iteration durchführen wobei man jeweils das Ergebnis der vorherigen Iteration einsetzt. Dabei ergibt sich folgendes Muster
Der rechte Term entspricht gerade einer Teilsumme der geometrischen Reihe. Mit der Definition
erhältlich man letztlich die kompakte Form
aus der man den Grenzwert für unendlich häufige Reflexion
direkt ablesen kann. Der Grenzwert ist unabhängig von der initialen Wellenlänge und wird ausschließlich durch die Relativgeschwindigkeit der Spiegel bestimmt.
Diese Wellenlänge - definiert im Ruhesystem des jeweils reflektierenden Spiegels - und ausgedrückt mittels s(v) - d.h. durch die Geschwindigkeit v eines Spiegels im Ruhesystem des jeweils anderen Spiegels - müsste nun noch in das in der Mitte zwischen den mit u bzw. -u aufeinander zu bewegten Spiegeln ruhende Bezugsystem transformiert werden. Man erhält zunächst s(u), wobei v(u) und u mittels relativistischer Geschwindigkeitsaddition zusammenhängen. Außerdem führt die Lorentztransformation noch auf einen konstanten Faktor. An der wesentlichen Erkenntnis änder sich nichts.
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 196
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| Telefonmann Verfasst am: 15. Apr 2018 11:35 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Zunächst noch die Anmerkung, dass es sich gerade um die Herleitung des Comptoneffektes für Rückstreuung um 180° handelt. |
Die Frequenz des Photons nimmt also bei jeder Reflexion etwas zu, weil es einen Energieübertrag vom Spiegel auf das Photon gibt. Über die Compton-Wellenlänge des Spiegels wird auch dessen Masse berücksichtigt, genau wie man es von der Mechanik her erwarten würde.
Dass das Thema im Bereich "Optik" eingestellt wurde, finde ich noch etwas irritierend. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18028
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| TomS Verfasst am: 15. Apr 2018 13:27 Titel: |
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| Telefonmann hat Folgendes geschrieben: | | Die Frequenz des Photons nimmt also bei jeder Reflexion etwas zu, weil es einen Energieübertrag vom Spiegel auf das Photon gibt. |
Umgekehrt: die Wellenlänge nimmt zu, die Frequenz nimmt ab, weil es einen Impulsübertrag vom Photon auf den Spiegel gibt (im Ruhesystem des Spiegel)
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 196
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| Telefonmann Verfasst am: 15. Apr 2018 14:09 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | (im Ruhesystem des Spiegel) |
Laut Beschreibung bewegen sich beide Spiegel  . Damit gibt es auch bei beiden Spiegeln einen inversen Compton-Effekt. Auch wenn man in das Ruhesystem des einen Spiegels geht, bewegt sich immer noch der andere Spiegel.
Bevor man weiterrechnet, sollte 'Ich' eventuell angeben, in welchem Inertialsystem der Experimentator sitzt, damit es keine Missverständnisse bei der Formulierung des Ergebnisses gibt  . |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18028
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| TomS Verfasst am: 15. Apr 2018 14:24 Titel: |
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| Telefonmann hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | (im Ruhesystem des Spiegel) |
Laut Beschreibung bewegen sich beide Spiegel ?( . Damit gibt es auch bei beiden Spiegeln einen inversen Compton-Effekt. Auch wenn man in das Ruhesystem des einen Spiegels geht, bewegt sich immer noch der andere Spiegel. |
Das habe ich oben zunächst berechnet, nämlich im in dem System, in dem sich beide Spiegel bewegen. Das Ergebnis war jedoch zu kompliziert, um die Iteration durchzuführen, deshalb habe ich die weitere Betrachtung im Ruhesystem des jeweils reflektierten Spiegels durchgeführt. Die Rücktransformation habe ich kurz angedeutet.
Du hast recht, natürlich gibt es einen “inversen Comptoneffekt”, bei dem nicht der Spiegel sondern das Photon Energie aufnimmt. Wie man jedoch sieht ist das eine bezugsystem-abhängige Interpretation. Im Ruhesystem eines Spuegels gibt es sicher keinen “inversen Comptoneffekt”.
Schau dir die Formeln
an. Da steckt alles drin, was du benötigst. Mittels der ersten Formel wird die Reduzierung der Energie aufgrund des elastischen Stoßes am ruhenden Spiegel beschrieben. In der zweiten Formel steckt die Lorentztransformation der Energie in ein anderes Bezugsystem.
EDIT
Man kann das auch wie folgt betrachten:
1) zunächst transformiert man für einen bewegten Spiegel in dessen Ruhesystem
2) nun wendet man den oben betrachteten Comptoneffekt (Rückstreuung) im Ruhesystem an
3) zuletzt transformiert man wieder in das ursprüngliche System
Das liefert
 \cdot s\epsilon \stackrel{3}{\to} s^{-1} \cdot f(s\epsilon) \cdot s \epsilon = f(s\epsilon) \cdot \epsilon)
(es handelt sich um andere Transfomationen, deshalb hat auch das s eine andere Bedeutung)
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 196
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| Telefonmann Verfasst am: 15. Apr 2018 16:25 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Im Ruhesystem eines Spuegels gibt es sicher keinen “inversen Comptoneffekt”. |
Am ruhenden Spiegel zwar nicht, aber in diesem System ist der andere Spiegel, dann ja fast zweimal so schnell (relativistische Geschwindigkeitsaddition) wie in dem System, wo sich beide Spiegel bewegen. Am zweiten Spiegel würde ich also wieder den inversen Compton-Effekt erwarten. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18028
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| TomS Verfasst am: 15. Apr 2018 16:41 Titel: |
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Das bestreite ich ja gar nicht. Ich betrachte jedoch ausschließlich ruhende Spiegel, zwischen denen ich hin- und hertransformiere. Für jede Reflexion an jedem ruhenden Spiegel folgt immer eine Wellenlängenzunahme bzw. Energieabnahme.
Du müsstest in einem anderen Bezugsystem rechnen.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18028
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| TomS Verfasst am: 15. Apr 2018 16:54 Titel: |
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Betrachten wir nochmal die o.g. Rekursionsformeln für die Wellenlänge:
Wir betrachten ein von links einlaufendes Photon, sodann
1) Reflexion
2) Lorentz-Trf. in das Bezugsystem des anderen Spiegels
3) Reflexion
4) Lorentz-Trf. in das Bezugsystem des ersten Spiegels
Damit haben wir nach zwei Reflexionen wieder ein von links einlaufendes Photon im ursprünglichen Bezugsystem
 \stackrel{3}{\to} \sigma (\lambda + 2\lambda_C) + 2\lambda_C \stackrel{4}{\to} \sigma [\sigma (\lambda + 2\lambda_C) + 2\lambda_C])
Zusammen fassen liefert:
\lambda_C )
Wir prüfen, wann dieser Ausdruck kleiner als die ursprüngliche Frequenz ist, setzen also
\lambda_C - \lambda < 0)
Ich erhalte
\lambda)
\lambda)
Unter dieser Bedingung nimmt also - bei zwei aufeinanderfolgenden Reflexionen und wieder im ursprünglichen Bezugsystem - die Wellenlänge ab, und damit die Energie des Photons zu.
Wenn jedoch die Wellenlänge abnimmt, dann kann unter Umständen der rechte Term kleiner werden als der linke; damit ist jedoch die Bedingung nicht mehr erfüllt, und in der Folge nimmt die Wellenlänge wieder zu (man kann diese Betrachtung für jeden Stoß einzeln durchführen statt für zwei aufeinanderfolgende Stöße, und man erhält die selbe Bedingung; dann muss man sich jedoch dessen bewusst sein, dass man eigtl. zwei Größen in zwei verschiedenen Bezugsystemen vergleicht; das wollte ich vermeiden.
Vereinfacht kann man sagen, dass die Reflexion am ruhenden Spiegel die Wellenlänge immer vergrößert, die anschließende Lorentztransformation die Wellenlänge (jetzt in einem anderen Bezugsystem!) wieder verkleinert.
Letztlich muss man das Verhalten der Funktion
 = \sigma^{n}\lambda_0 + 2\lambda_C \frac{1-\sigma^{n+1}}{1-\sigma} )
als Funktion von n in Abhängigkeit der ursprünglichen Wellenlänge, der Comptonwellenlänge sowie des Boost-Parameters sigma betrachten.
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 196
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| Telefonmann Verfasst am: 15. Apr 2018 18:19 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Du müsstest in einem anderen Bezugsystem rechnen. |
Ich habe mal selber in dem System gerechnet, in dem beide Spiegel die Geschwindigkeit v haben, einmal mit negativem Vorzeichen (rechter Spiegel) und einmal mit positivem Vorzeichen (linker Spiegel).
Ich gehe davon aus, dass das Photon nach rechts fliegt und von dem rechten Spiegel reflektiert wird.
Ich verwende ferner für das Photon  und für den makroskopischen Spiegel  . Zusammen mit der Energie- und Impulserhaltung bekommt man vier Gleichungen für die vier Unbekannten (E_Photon_nachher, E_Spiegel-nachher, p_Photon_nachher, p_Spiegel_nachher). Beim Lösen dieser vier Gleichungen kann man das Quadrat des Impulses des Photons nach dem Stoß vernachlässigen und erhält nach nochmaliger Vernachlässigung der Photonenenergie im Vergleich zur Bewegungsenergie des Spiegels die übersichtliche Formel:
Dabei ist v die Geschwindigkeit des Spiegels. Da v negativ ist sieht man, dass die Energie des Photons bei jeder Reflexion etwas zunimmt.
Da das Problem in diesem Bezugssystem symmetrisch ist, ist es egal, ob die Reflexion mit dem linken oder rechten Spiegel stattfindet. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18028
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| TomS Verfasst am: 15. Apr 2018 18:26 Titel: |
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Wie gesagt, das habe ich bereits allgemein berechnet und nie bestritten:
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Offensichtlich findet in f(E) ein Vorzeichenwechsel bei Q = E statt. D.h. für genügend große E wird die Energie des Photons beim Stoß nicht zu- sondern abnehmen, da das Photon Energie auf den Spiegel überträgt. |
Man erkennt auch, dass dies eben nicht allgemeingültig ist sondern nur dann zutrifft, wenn die Photonenenergie nicht zu groß ist, nämlich E < Q.
Der Ansatz war jedoch ungeeignet, um für die Iteration über mehrere Reflexionen eine geschlossene Lösung zu erhalten; daher habe ich andere Bezugssysteme gewählt.
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 196
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| Telefonmann Verfasst am: 15. Apr 2018 21:08 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wie gesagt, das habe ich bereits allgemein berechnet und nie bestritten: |
Dann ist das Rätsel meiner Meinung nach gelöst. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18028
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| TomS Verfasst am: 15. Apr 2018 22:18 Titel: |
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Solange keiner kommt und sagt, dass alles falsch ist :-)
Ich finde das Ergebnis jedenfalls einigermaßen erstaunlich.
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 16. Apr 2018 15:09 Titel: |
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Ändert sich etwas, wenn der Spiegelabstand ähnlich groß der Wellenlänge des Photons wird? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18028
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| TomS Verfasst am: 16. Apr 2018 18:03 Titel: |
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Was wir bisher betrachtet haben sind sicher Idealisierungen. Punkte wie der von dir genannte ändern in der Praxis natürlich vieles: für große Abstände und Wellenlängen sollte man eher von el.-mag. Wellen ausgehen; für kleine Abstände und Wellenlängen muss man ggf. Korrekturen der QED berücksichtigen.
Ich denke aber nicht, dass Ich darauf hinaus wollte.
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