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Potentialstufe mit Delta-Kante
 
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miile7



Anmeldungsdatum: 10.08.2016
Beiträge: 4

Beitrag miile7 Verfasst am: 01. Okt 2016 18:52    Titel: Potentialstufe mit Delta-Kante Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich sitze nun schon sehr lange an folgender Aufgabe:
Ein quantenmechanisches Teilchen der Masse m werde von links kommend (x < 0) am Potential V(x) reflektiert oder tramsittiert, mit .
Bestimmen Sie die Anschlussbedingungen für in x = 0 indem Sie die Schrödingergleichung über das Gebiet integrieren und anschließend betrachten.

Meine Ideen:
Folgendes habe ich bis jetzt berechnet:


Nun zu meiner ersten Frage: Warum verschwindet der Limes der Integrale, nicht aber der der Ableitungen? Meine bisherige Rechtfertigung war, dass die Funktion nicht stetig sein muss in x = 0, somit weis ich nicht ob der Limes verschwindet oder nicht. Für eine physikalisch sinnvolle Lösung muss jedoch stetig sein, damit verschwindet das Integral. Ich bin mir jedoch nicht sicher ob das die richtige Begründung ist.

Mit dem berechneten Ergebnis kann ich nun folgende Gleichungen aufstellen:

Mit obiger Gleichung folgt:

da

Meine nächste Frage ist, ob ich bis hier noch auf dem richtigen Weg bin. Nach dem Lösen des Gleichungssystems erhalte ich nämlich folgende Ergebnisse:

Da es sich hier aber um eine Klausuraufgabe handelt wundert es mich etwas, dass die Ergebnisse doch so kompliziert sind, vor Allem weil sie in der nächsten Teilaufgabe weiterverwendet werden. Wichtig ist mir, ob der Weg richtig ist, da ich mir nicht sicher bin ob ich nicht einen Umformungsfehler oder Ähnliches gemacht habe und die Ergebnisse deshalb so lang sind oder ob ich völlig falsche Ergebnisse berechne.

Zu letzt habe ich noch eine weitere Frage zur nächsten Teilaufgabe. Hier sollen Transmissions- und Reflexionskoeffizient berechnet werden. Ich würde diese nun aus den Amplituden berechnen, also:

Dabei gibt T den Transmissionskoeffizienten und C die Amplitude der transmittierenden Welle, R den Reflexionskoeffizienten und B die Amplitude der rücklaufenden Welle. Beide Amplituden erhalte ich aus vorheriger Aufgabe. Ist dieser Ansatz richtig?

Vielen Dank schon im Vorraus

miile7[/b]


Zuletzt bearbeitet von miile7 am 02. Okt 2016 18:58, insgesamt 2-mal bearbeitet
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 01. Okt 2016 19:28    Titel: Re: Potentialbarriere mit Delta-Kante Antworten mit Zitat

miile7 hat Folgendes geschrieben:

Nun zu meiner ersten Frage: Warum verschwindet der Limes der Integrale, nicht aber der der Ableitungen? Meine bisherige Rechtfertigung war, dass die Funktion nicht stetig sein muss in x = 0, somit weis ich nicht ob der Limes verschwindet oder nicht. Für eine physikalisch sinnvolle Lösung muss jedoch stetig sein, damit verschwindet das Integral. Ich bin mir jedoch nicht sicher ob das die richtige Begründung ist.

Ja, die Begründung ist korrekt.
Zitat:

Meine nächste Frage ist, ob ich bis hier noch auf dem richtigen Weg bin. Nach dem Lösen des Gleichungssystems erhalte ich nämlich folgende Ergebnisse:
...
Wichtig ist mir, ob der Weg richtig ist, da ich mir nicht sicher bin ob ich nicht einen Umformungsfehler oder Ähnliches gemacht habe und die Ergebnisse deshalb so lang sind oder ob ich völlig falsche Ergebnisse berechne.

Ich hab die Gleichung nicht nachgerechten, aber der Weg ist richtig. Bei linearen Gleichungssystemen mit wenigen Variablen (sprich: 2, manchmal auch 3) ist die Cramersche Regel meist am einfachsten zum Bestimmen der Lösung (dann sieht sie vermutlich auch etwas schöner aus, aber ich hab es nicht gerechnet).
Zitat:

Zu letzt habe ich noch eine weitere Frage zur nächsten Teilaufgabe. Hier sollen Transmissions- und Reflexionskoeffizient berechnet werden. Ich würde diese nun aus den Amplituden berechnen, also:

Dabei gibt T den Transmissionskoeffizienten und C die Amplitude der transmittierenden Welle, R den Reflexionskoeffizienten und B die Amplitude der rücklaufenden Welle. Beide Amplituden erhalte ich aus vorheriger Aufgabe. Ist dieser Ansatz richtig?

Nein, aber nah dran smile
https://en.wikipedia.org/wiki/Rectangular_potential_barrier#Transmission_and_reflection
miile7



Anmeldungsdatum: 10.08.2016
Beiträge: 4

Beitrag miile7 Verfasst am: 02. Okt 2016 12:52    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo jh8979,

vielen Dank für deine Hilfe

Zitat:
Ich hab die Gleichung nicht nachgerechten, aber der Weg ist richtig. Bei linearen Gleichungssystemen mit wenigen Variablen (sprich: 2, manchmal auch 3) ist die Cramersche Regel meist am einfachsten zum Bestimmen der Lösung (dann sieht sie vermutlich auch etwas schöner aus, aber ich hab es nicht gerechnet).


Ich kannte die Cramersche Regel zwar, habe sie jedoch noch nie wirklich verwendet, was sich ab jetzt ändern wird. Ich habe mich also tatsächlich verrechnet, habe das Gleichungssystem erneut gelöst und folgende (sinnvollere) Lösungen erhalten:
.

Außerdem möchte ich noch meine Frage verbessern, mir ist ein großer Fehler unterlaufen. Ich spreche natürlich nicht von einer Potentialbarriere (mit endlicher Dicke) sondern von einer Potentialstufe (kann ich den Titel noch irgendwo ändern?) - Inzwischen ausgebessert, danke an den Mod smile.

Dennoch habe ich mir deinen Link angeschaut. Die Potentialstufen-Wikipediaseite https://en.wikipedia.org/wiki/Solution_of_Schr%C3%B6dinger_equation_for_a_step_potential#Transmission_and_reflection (habe im Moment keine Bücher da, da ich erst vor kurzem aus dem Urlaub kam) sagt mir folgendes:


Diese Gleichungen, denke ich, folgen aus den Nebenbedingungen (analog zu oben, ohne Delta-Sprung):

und anschließend
.
Für erhalte ich auch genau diesen Wert, wenn ich aber dann in einsetze, erhalte ich

Was mache ich falsch? Im Falle der Delta-Kante kann ich ja die Rechnung analog durchführen, B und C habe ich ja bereits bestimmt. Im Wikipedia Artikel verstehe ich auch
Zitat:
and B→ = √(T k1/k2)
nicht, warum ist ?

Und als letzte Zusatzfrage für die Potentialbarriere, hier habe ich die Wellenfunktionen

Um nun die Formel für Transmissions- und Reflexionskoeffizienten herzuleiten, betrachte ich hier ebenfalls oder wird die Berechnung hier völlig anders vorgenommen?

Vielen Dank

miile7
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