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billiontaker
Anmeldungsdatum: 27.06.2016
Beiträge: 11
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 billiontaker Verfasst am: 27. Jun 2016 09:29 Titel: Energie-Zeit-Unschärfe |
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Meine Frage:
Ist es möglich das bei der Energie-Zeit-Unschärfe das Größer-Gleich-Zeichen durch ein Ist-Gleich-Zeichen ersetzt wird, wenn auf der Seite des Planck'schen Wikrungsquantums ein Faktor n ergänzt wird.
 \equiv (2 \Delta E * \Delta t = n \hbar)
<br />
)
Meine Ideen:
Wenn der Faktor n ergänzt wird, dann ändert sich nichts am Gesamtergebnis. Der Faktor n sollte eine natürliche Zahl sein |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 27. Jun 2016 11:34 Titel: |
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Mit einer natürlichen Zahl ist das sicher falsch. Wie kommst du darauf?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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billiontaker
Anmeldungsdatum: 27.06.2016
Beiträge: 11
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| billiontaker Verfasst am: 27. Jun 2016 12:28 Titel: |
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Die Herleitung kann ich leider nicht präsentieren.
Ich versuche die Energie- bzw. Impuls-Unschärfe eines Elektrons auf der n-ten Quantenbahn zu berechnen.
Meine logische Argumentation wäre das das Produkt  gleich dem Vielfachen des reduzierten Planck'schen Wirkungsquantums entspricht, wobei das Vielfache der n-ten Quantenbahn entspricht. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 27. Jun 2016 12:36 Titel: |
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Versuchst du irgendwie semiklassisch / im Borschen Modell zu argumentieren? Oder quantenmechanisch?
Vorweg: die Energie-Zeit-Unschärfe ist keine fundamentale Eigenschaft der QM (so wie die Orts-Impuls-Unschärfe), sondern gilt nur für bestimmte Prozesse. Hintergrund ist, dass in der QM kein Zeitoperator existiert.
Außerdem darf man nicht einfach zwischen Energie und Impuls hin- und herspringen.
In einem Eigenzustand des Wasserstoffatoms kann man Orts- und Impulsunschärfe u.ä. exakt berechnen; das Ergebnis passt natürlich zur Heisenbergschen Unschärfenrelation. Die Energieunschärfe ist dagegen exakt Null. Und eine Zeitunschärfe kann nicht sinnvoll definiert warden.
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billiontaker
Anmeldungsdatum: 27.06.2016
Beiträge: 11
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| billiontaker Verfasst am: 27. Jun 2016 12:59 Titel: |
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Ich bereite mich auf mein Physik-Studium im 1. Semester vor. Es besteht das Problem, dass ich dir evtl. nicht folgen kann, wenn du jetzt anfängst mir das ganze zu erklären.
Wie könnte man beweisen bzw. widerlegen, dass n eine natürliche Zahl darstellt?
Warum kann eine Zeitunschärfe nicht sinnvoll definiert werden. Man könnte argumentieren, dass die Lebenszeit des Elektrons auf der n-ten Quantenbahn durch dessen Zerfallsbreite definiert wird. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 27. Jun 2016 13:22 Titel: |
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| billiontaker hat Folgendes geschrieben: | | Wie könnte man beweisen bzw. widerlegen, dass n eine natürliche Zahl darstellt? |
Im Rahmen der QM hat der Eigenzustand zunächst eine exakt scharf definierte Energie (deswegen Eigenszustand) und er ist absolut stabil (d.h. keine Übergänge).
Verwendet man die sogenannte zeitabhängige Störungstheorie zur Berechnung von Übergangswahrscheinlichkeiten und Strahlungsemissionen, so folgt daraus, dass angeregte Zustände einem exponentiellen Zerfallsgesetz folgen;
 \sim e^{-\frac{t}{2\tau}})
Die Lebensdauer tau taucht in der Intensität der Spektrallinie als Breite auf:
 \sim \frac{1}{(\omega-\omega_0)^2 + \frac{1}{(2\tau)^2}})
https://de.wikipedia.org/wiki/Breit-Wigner-Formel
D.h. Lebensdauer tau und Breite 1/tau sind über die Fouriertransformation verknüpft. Es existiert jedoch kein Grund, warum ein diskretes n auftreten sollte.
| billiontaker hat Folgendes geschrieben: | | Warum kann eine Zeitunschärfe nicht sinnvoll definiert werden. |
Sie kann definiert werden, jedoch nur in Spezialfällen (im Gegensatz zu Orts- und Impulsunschärfe)
| billiontaker hat Folgendes geschrieben: | | Man könnte argumentieren, dass die Lebenszeit des Elektrons auf der n-ten Quantenbahn durch dessen Zerfallsbreite definiert wird. |
Ja, das ist in etwa die o.g. Vorgehensweise. Aber daraus folgt keine diskrete Struktur für Lebensdauer oder Breite.
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billiontaker
Anmeldungsdatum: 27.06.2016
Beiträge: 11
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| billiontaker Verfasst am: 27. Jun 2016 17:26 Titel: |
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Die Orts-Impuls-Unschärfe wird durch die Gleichung  dargestellt. Die Orts-Impuls-Unschärfe ist gleich dem Drehimpuls der n-ten Quantenbahn  . Der Drehimpuls würde somit durch die Formel  zum Ausdruck gebracht. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 27. Jun 2016 22:11 Titel: |
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| billiontaker hat Folgendes geschrieben: | | Die Orts-Impuls-Unschärfe wird durch die Gleichung dargestellt. |
Woher hast du das? Hast du das für das H-Atom so berechnet?
Du musst zunächst die kanonisch konjugierten Variablen bestimmen. Dies sind nicht r und p, sondern die kartischen Koordinaten
In einem Zustand mit den Quantenzahlen n,l,m folgen die Unschärfen aus der jeweiligen Wellenfunktion
)
sowie den Erwartungswerten der Operatoren
Natürlich kannst du auch die Radialkoordinate r betrachten. Dann musst du jedoch den Operator p spezifizieren; soll das die Radialkomponente des Impulses sein?
Es gelten dann nicht die kanonischen Vertauschungsrelationen. Die Unschärfe folgt aus
| billiontaker hat Folgendes geschrieben: | | Die Orts-Impuls-Unschärfe ist gleich dem Drehimpuls der n-ten Quantenbahn. |
Ist das so? Hast du dazu die Berechnung? |
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billiontaker
Anmeldungsdatum: 27.06.2016
Beiträge: 11
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| billiontaker Verfasst am: 28. Jun 2016 10:22 Titel: |
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Zur Orts-Impuls-Unschärfe:
Aus dem dritten Postulat von Niels Bohr folgt, dass die stabilen Elektronenbahnen sich dadurch auszeichnen, dass der Bahndrehimpuls L des Elektrons ein ganzzahliges Vielfaches des reduzierten Planckschen Wirkungsquantums  ist: (Quelle: Wikipedia)
Aus der Ergänzung des Faktors  in der Heißenberg'schen Unschärfelrelation und die logische Angleichung des Ist-Gleich-Operators folgt die Form:
Der Schluss liegt somit nahe, dass der Bahndrehimpuls von der Orts-Impuls-Unschärfe abhängt, wobei durch das Gleichsetzen; zu einer natürlichen Zahl wird.
Wie gesagt ich kann es rechnerisch nicht beweisen, nur argumentieren!
Zur Energie-Zeit-Unschärfe:
Die Energie-Zeit-Unschärfe wäre nach meiner Überlegung, dadurch definiert, dass aus der Umlaufzeit der Materiewelle auf der n-ten Quantenbahn aufgrund der Heißenberg'schen Unschärferelation die Energieunschärfe des Elektrons folgert. Eine Umlaufzeit von Materiewellen tritt somit nur auf der n-ten Quantenbahn durch eine Energieunschärfe (Massenenergie des Elektrons) auf. Es bilden sich dadurch Materiewellen von Elektronen auf n Quantenbahnen.
Fazit: Je genauer die Energie des Elektrons auf der n-ten Quantenbahn gemessen wird, desto unschärfer wird die Umlaufzeit bzw. je genauer die Umlaufzeit des Elektrons gemessen wird, desto unschärfer wird die Energie.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 28. Jun 2016 11:09 Titel: |
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| billiontaker hat Folgendes geschrieben: | Zur Orts-Impuls-Unschärfe:
Aus dem dritten Postulat von Niels Bohr folgt, dass die stabilen Elektronenbahnen sich dadurch auszeichnen, dass der Bahndrehimpuls L des Elektrons ein ganzzahliges Vielfaches des reduzierten Planckschen Wirkungsquantums ist: (Quelle: Wikipedia)
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Das ist bereits für die einfachsten Lösungen nicht korrekt; die Zustände |nlm> = |n00>, mit l= m = 0, also 1s, 2s, 3s, ... haben sicher nicht-verschwindende Orts- und Impulsunschärfe, jedoch sämtlich l = 0.
| billiontaker hat Folgendes geschrieben: | Aus der Ergänzung des Faktors in der Heißenberg'schen Unschärfelrelation und die logische Angleichung des Ist-Gleich-Operators folgt die Form:
Der Schluss liegt somit nahe, dass der Bahndrehimpuls von der Orts-Impuls-Unschärfe abhängt, wobei durch das Gleichsetzen; zu einer natürlichen Zahl wird. |
Man kann und darf das nicht gemäß Bohr folgern. Vieles, was aus dem Bohrschen Modell folgt, ist entweder nur zufällig richtig oder explizit falsch. Insbs. kann das Bohrsche Modell nichts über Unschärfen sagen; es enthält keine Unschärfen.
Ich werde das bei Gelegenheit im quantenmechanischen Model mal exakt berechnen.
| billiontaker hat Folgendes geschrieben: | Zur Energie-Zeit-Unschärfe:
Die Energie-Zeit-Unschärfe wäre nach meiner Überlegung, dadurch definiert, dass aus der Umlaufzeit der Materiewelle auf der n-ten Quantenbahn aufgrund der Heißenberg'schen Unschärferelation die Energieunschärfe des Elektrons folgert. |
Nochmal: die Energie eines stationären Zustandes ist absolut scharf, die Unschärfe ist Null.
Generell: du musst dich festlegen, in welchem Modell (Bohr, deBroglie, Quantenmechanik) du argumentieren möchtest; wenn du Unschärfen diskutieren willst, dann musst du die Quantenmechanik anwenden.
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billiontaker
Anmeldungsdatum: 27.06.2016
Beiträge: 11
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| billiontaker Verfasst am: 28. Jun 2016 12:10 Titel: |
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Ich habe in dieser Argumentation anscheinend deBroglie, Bohr und Quantenmechanik kombiniert. Wenn du Zeit findest, kannst es in der Quantenmechanik einmal durchrechnen. Kannst du mir danach Bescheid geben, auf welches Ergebnis du kommst. Mich würde eig. nur interessieren ob der Faktor n und das Ist-Gleich-Zeichen richtig sind, dann komme ich mit meinen Berechnungen auch schon weiter. Was hälst du von der Idee die Quantenmechanik auf die klassische Physik anzuwenden und die Unschärfen auch als Element der klassischen Physik zu definieren. Unschärfe ist meiner Meinung nach nur die Energie zu einem bestimmten Zeitpunkt bzw. der Impuls zu einem bestimmten Ort, welche mit einer Messgenauigkeit unscharf werden. Dieser muss in der quantenmechanischen Betrachtung  sein bzw. nach meiner klassischen Argumentation  . Bei einer Definition von wäre der Sprung von quantenmechanisch auf klassisch bei diesem Problem schon geschafft.
Ohne komme ich an meinem Problem nicht weiter.
Ich verstehe nicht warum die Energie scharf ist auf der n-ten Quantenbahn. Wie wird das bewiesen? Nach der Erklärung ist die Unschärfe immer , egal in welchem Modell ich argumentiere, dass ist ein Naturgesetz. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 28. Jun 2016 12:14 Titel: |
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| billiontaker hat Folgendes geschrieben: | | Mich würde eig. nur interessieren ob der Faktor n und das Ist-Gleich-Zeichen richtig sind, |
Nein sind sie nicht. Das hat Tom Dir doch auch schon ganz am Anfang gesagt. |
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billiontaker
Anmeldungsdatum: 27.06.2016
Beiträge: 11
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| billiontaker Verfasst am: 28. Jun 2016 12:24 Titel: |
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Gesagt ja aber verstehen tu ichs noch nicht warum. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 28. Jun 2016 12:33 Titel: |
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| billiontaker hat Folgendes geschrieben: | | Ich verstehe nicht warum die Energie scharf ist auf der n-ten Quantenbahn. Wie wird das bewiesen? Nach der Erklärung ist die Unschärfe immer , egal in welchem Modell ich argumentiere, dass ist ein Naturgesetz. |
Nach Bohr wird eine feste Enegie berechnet: Kräftegleichgewicht "Coulombkraft = Zentrifugalkraft" plus Quantisierungsbedingung der Materiewellenlänge => diskretes Energiespektrum ohne Unschärfe.
Nach der Quantenmechanik wird ein Eigenwertproblem gelöst:
\,|\psi_E\rangle = 0)
=> diskretes Energiespektrum ohne Unschärfe.
Das Bohrsche Modell kennt zunächst mal überhaupt keine Unschärfe.
Im quantenmechanischen Modell kannst du dir die Unschärfe je Observable (Ort, Impuls, Drehimpuls, Energie,...) nicht aussuchen oder irgendwie verargumentieren. Du musst sie berechnen. Das kannst du exakt tun, aber bevor du's nicht gemacht hast, kennst du die Unschärfe nicht.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 28. Jun 2016 15:23 Titel: |
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Ich habe mal in alten Aufzeichnungen nachgesehen. Man betrachtet zunächst die Wellenfunktionen
 = \frac{\chi_{nl}(r)}{r}\,Y_{lm}(\Omega))
für
Im folgenden interessieren uns für die o.g. Zustände die Unschärfen
mit
Dabei hat der radiale Impulsoperator die Darstellung
 )
Aus den Lösungen der Schrödingergleichung folgt
]^2)
]^2)
}{n\left(l+\frac{1}{2}\right)} \right] )
Daraus folgt
-l^2(l+1)^2])
}{n\left(l+\frac{1}{2}\right)} \right])
-\frac{l^2(l+1)^2}{n^2}\right] \left[1-\frac{l(l+1)}{n\left(l+\frac{1}{2}\right)} \right])
Betrachten wir die einfachsten Fälle
l = 0:
und l = n-1
Für große n folgt
für l = 0:
und l = n-1
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billiontaker
Anmeldungsdatum: 27.06.2016
Beiträge: 11
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| billiontaker Verfasst am: 28. Jun 2016 19:10 Titel: |
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Kannst du mir die herleitung erklären? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 28. Jun 2016 20:02 Titel: |
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Welche Formel genau? Oder eher eine Gesamtübersicht?
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billiontaker
Anmeldungsdatum: 27.06.2016
Beiträge: 11
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| billiontaker Verfasst am: 28. Jun 2016 20:05 Titel: |
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Eine Gesamtübersicht und die Bedeutung der Variablen und Parameter |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 28. Jun 2016 20:43 Titel: |
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Die Quantenmechanik startet mit dem Energie- bzw. Hamiltonfunktion
)
Die Quantisierung überführt den Impuls p in einen Operator
Stationäre Zustände eines Systems sind Eigenfunktionen dieses Hamiltonoperators
 = e^{-iEt}\,\psi_E(r))
\,\psi_E(r) = 0)
mit dem Energieeigenwert E.
Die Eigenwertgleichung, eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung
wird als stationäre Schrödingergleichung bezeichnet.
Aus den Wellenfunktionen folgen alle physikalischen Eigenschaften eines Systems.
Im Falle des Wasserstoffatoms entspricht V(r) dem Coulombpotential. Die Lösungen der Schrödingergleichung können wir oben angesetzt werden als
n,l,m bezeichnet Haupt-, Neben- und magnetische Quantenzahl. chi hängt nur von r ab, Y (sog. Kugelflächenfunktion) von Omega, dies entspricht der Kombination zweier Winkel theta und phi, die die Kugeloberfläche bei konstantem r parametrisieren.
Zur Berechnung der Unschärfen im Zustand psi benutzt man zunächst die Erwartungswerte der Operatoren. Z.B. ist
Dabei entspricht das Betragsquadrat der Wellenfunktion einer Wahrscheinlichkeitsdichte für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons. Aufgrund der Symmetrie des Problems und der Eigenschaften der Lösungen bietet sich die Darstellung in Kugelkoordinaten an; d.h.
wobei das innere Winkelintegral über die Kugeloberfläche zu nehmen ist.
Für die Impulse ist das komplizierter, da man statt r den Operator mit Ableitung einsetzen muss:
\,\psi)
Diese Integrale sind für die vier im vorigen Beitrag genannten Operatoren zu berechnen. Die Unschärfen folgen dann als
^2 \rangle} = \sqrt{\langle r^2\rangle - \langle r \rangle^2})
Der Ausdruck unter der Wurzel entspricht dabei der Varianz einer Zufallsvariablen r mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte, die durch das Betragsquadrat der Wellenfunktion gegeben ist. Dies entspricht der üblichen Definition einer Unschärfe in der Stochastik.
Die so definierten Unschärfen erfüllen verallgemeinerte Versionen der Heisenbergschen Unschärfenrelation.
So, das waren jetzt einige Monate QM in 10 Minuten ... |
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billiontaker
Anmeldungsdatum: 27.06.2016
Beiträge: 11
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| billiontaker Verfasst am: 28. Jun 2016 21:03 Titel: |
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Bin dir dankbar für deine Mühe. So im Großen und Ganzen hab ichs sogar kapiert.
Würdest du sagen, dass die Orts-Impuls-Unschärfe, ganz allgemein, in die Energie-Zeit-Unschärfe umwandelbar ist.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 28. Jun 2016 23:13 Titel: |
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| billiontaker hat Folgendes geschrieben: | | Würdest du sagen, dass die Orts-Impuls-Unschärfe, ganz allgemein, in die Energie-Zeit-Unschärfe umwandelbar ist. |
Nein.
Erstens verstehe ich deine Rechnung nicht. Was ist z.B. F?
Zweitens funktioniert die Berechnung von Unschärfen immer nach dem selben Muster - außer für die Zeit! Gegeben sind Observable, also prinzipiell messbare Größen, wie z.B. Ort x, Impuls p, Funktionen davon, z.B. Drehimpuls L(x,p), Energie E(x,p), ... Für derartige Observable werden in der QM Operatoren eingeführt. Die Berechnung einer allgemeinen Unschärfenrelation bzgl. zweier Observablen A, B erfordert die Berechnung des Kommutators [A,B]. Die Berechnung der Unschärfen in einem spezifischen Zustand erfolgen nach dem selben Muster wie oben für r, p_r usw. Das funktioniert nicht für die Zeit T, denn diese ist keine Observable.
Drittens haben Observable eine bestimmte Bedeutung; es handelt sich um die Zuschreibung von "klassischen Eigenschaften" zu einem quantenmechanischen System. Dem System kommen also ein (ggf. unscharfer) Ort, ein (ggf. unscharfer) Impuls usw. zu. Aber bereits klassisch kommt doch einem System keine Zeit zu. Nimm' an, du beobachtest einen Stein und du misst den Ort, den Impuls, ... des Steins. Was ist die Zeit des Steins? Es gibt sie nicht - höchstens die Zeit auf der Uhr des Beobachters, aber eben nicht die des Steins. |
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billiontaker
Anmeldungsdatum: 27.06.2016
Beiträge: 11
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| billiontaker Verfasst am: 29. Jun 2016 08:42 Titel: |
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F ist die Kraft nach dem Energie-Kraft-Gesetz, also  . Ich habe auf Wikipedia gestöbert und diese Herleitung gefunden, nachdem ich es gepostet habe.
https://de.wikipedia.org/wiki/Energie-Zeit-Unsch%C3%A4rferelation
Es treten mathematische Äquivalenzen zwischen der Energie-Zeit-Unschärfe und der Orts-Impuls-Unschärfe auf. Zwar nicht in der Herleitung aber im Ergebnis. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 29. Jun 2016 10:06 Titel: |
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