Spinor und LT

Tensor 1.Stufe · Gast

Frage:

Was ist der Unterschied zwischen 4-Vektor u . 4-Spinor?

Meine Antwort :
Es muss etwas mit der LT zu tun haben.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Ein Vektor ist ein Tensor erster Stufe. Vektoren gehören zur (1,0)- bzw. (0,1)-, Tensoren gehören allgemein zu (m,n)-Darstellungen der Lorentzgruppe.

Spinoren gehören dagegen zu halbzahligen Darstellungen. Ein 2-komponentiger Spinor gehört zur (1/2,0)- bzw. (0,1/2)-Darstellung, ein Dirac-Spinor gehört zur (1/2,0) + (0,1/2) Darstellung.

gast78 · Gast

Das ist in dieser Form extrem irreführend.

Im Tensorfall bedeutet (m,n) Transformation unter LT wie ein Produkt aus n kontravarianten und m kovarianten 4er Vektoren.

Ein 4-Spinor ist auch eine vierkomponentige Größe, die sich aber anders transformiert als ein 4er Vektor.
Aber auf keinen Fall wie das Produkt aus zwei 2er Spinoren.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

gast78 · Gast

Das ist doch genau das was ich meine und deshalb explizit Tensorfall (m,n) schreibe.
Dem Fragesteller ist wahrscheinlich nicht automatisch klar dass die Schreibweise (x, y) für Tensoren und Spinordarstellungen komplett verschiedene Sachverhalte ausdrückt.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

gast78 · Gast

(x,y) = Tensorprodukt aus Vektorraum x und y (Du schreibst ja oben Vektoren = (1,0)) und (x,y) = direkte Summe aus Vektorraum x und y sind mathematisch verschiedene Sachverhalte. Auch wenn hier die Dimensionen wegen 2*2 =2+2 gleich sind, was vermutlich zu Deiner Verwirrung geführt hat.
Das wird klar wenn Du eine 360° Drehung betrachtest, die beim SpinorProdukt den Faktor +1 statt -1 ergibt.

Bei den masselosen Fermionen die Du oben erwähnst, verhält es sich nun folgendermaßen: Es gibt in der Wechselwirkung keinen Term, der die beiden Spinoren vermischt, das ist richtig. Das hat aber nichts zu tun mit der Frage nach Darstellungen der ganzen Lorenzgruppe die unter anderem die Zeitspiegelung enthält, unter der beide Bestandteile gemischt werden. Du verwechselst hier wieder zwei verschiedene Sachverhalte (Wechselwirkung vs Lorenzgruppe).

Für den Fragesteller wichtig ist alldieweil ohnehin nur dass die Matrizen einer Lorentztransformation für 4Vektoren und Diracspinoren verschieden sind.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Ich verwechsel hier gar nichts, und ich bin sicher nicht verwirrt.

Du versuchst hier klarzumachen, dass Tensoren und Spinoren zwei verschiedene Paar Schuhe sind. Das ist bzgl. der Objekte, auf die die LT wirkt, auch richtig (Tensoren sind etwas anderes als Spinoren). Es ist jedoch nicht richtig, wenn du dir die Klassifizierung der Darstellungen anschaust. Es gibt nämlich nur eine einzige Klassizifizierung der LT, nämlich

Diese enthält Spinoren und Tensoren gleichberechtigt. Insbs. sind die (1/2,0) sowie die (0,1/2) Darstellungen die beiden inäquivalenten Fundamentaldarstellungen aus denen du neben den Spinor- auch alle Vektor- und Tensordarstellungen konstruieren kannst.

(Der Dirac-Spinor der (1/2,0) + (0,1/2) Darstellung ist ein etwas seltsames Gebilde, da er keiner irreduzible Darstellung angehört. Die beiden irreduziblen Weyl-Spinoren kannst du aber physikalisch nur für masselose Teilchen verwenden)

Die Konstruktion höherdimensionaler Darstellungen erfolgen mittels der universellen Überlagerungsgruppe SL(2,C) ~ SU(2) * SU(2). Für die Tensoprodukte der irreduziblen Darstellungen gilt

gast78 · Gast

Also, mir gings eigentlich um folgendes:
Tensoren: z.B. (1,1) = Produkt aus kontr. und kov. Vektor
Diracspinor (1/2,1/2) = direkte Summer zweier Spinoren nicht Produkt (360°Drehung als Bsp)
Das ohne Kommentar direkt untereinander zu schreiben fand ich irreführend (tschuldige wenn es etwas provokant klang).

Die eine einzige Klassifizierung von der Du sprichst und die auch in jh8979‘s Tabelle gemeint ist, ist wieder was anderes. Die sind definitionsgemäß alle irreduzibel, während Tensor (n,m) und Diracspinor beide reduzibel sind; jetzt haben wir (x,y) schon in 3 Bedeutungen Augenzwinkern

Bei den masselosen Teilchen muss man auch aufpassen weil Weyl (1/2,0) unter Zeitspiegelung zu (0,1/2) wird. Nur (1/2,0) ist also sozusagen gar keine Darstellung der Lorentzgruppe.

Vorsicht auch vor dem Fallstrick in SL(2,C) ~ SU(2) * SU(2).
* bedeutet hier nicht Tensor- oder Gruppenprodukt sondern disjunkte Vereinigung der zwei Zusammenhangskomponentenm, also lieber nochmal extra erwähnen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Ich denke, wir sind uns weitgehend einig. Wir haben aber einige Unsauberkeiten in der Notation, z.B. (1/2,1/2) sowie (1/2,0) + (0,1/2); sollten wir vermeiden.

Aber wir haben uns sehr weit von der ursprünglichen Fragestellung entfernt und sollten erst mal abwarten, ob sich "Tensor 1. Stufe" wieder meldet.

Tensor 1.Stufe · Gast

Danke für die Erläuterungen und Entschuldigung für die Verspätung ( war krank).Ich finde auch die Erläuterung vom Tom.S ziemlich verworren.Allerdings das hat weniger mit Tom zu tun, sondern ist eine Folge der Unkenntnis über den tatsächlichen Sachverhalt.

Deshalb möchte ich tiefer ansetzen und zunächst erklären ,was diese Transformationen in Wirklichkeit bewirken , damit dann jeder einfacher und leichter verstehen kann, wo die Probleme liegen und beseitigt werden können, während Transformationsverhalten von Spinoren ( z.B. Chirale und Standard-Darstellung) und Vektoren untersucht wird.Dafür nehmen wir ein Casimir-Element der Lorentz-Gruppe und untersuchen dann verschiedene Darstellungen.

@ Moderatoren.

Wie gesagt, meine Erklärungen weichen von dem ab, was man heute darüber zu lesen bekommt (Lehrbücher, Abhandlungen, usw.).
Deshalb möchte ich die Moderatoren fragen, ob meine Beiträge stehen bleiben oder gelöscht werden, wofür ich keinen Grund sehe, denn hier wollen zunächst nur den algebraischen Hintergrund der QM beleuchten.

Also kann ich meine Ausführungen fortsetzen ohne befürchten zu müssen, diese im Nirwana wiederzusehen?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

Tensor 1.Stufe · Gast

Wieso gelöscht?

Glaubt ihr, dass ich jemanden vom rechten Weg abbringen kann, wenn ich mathematisch etwas falsches über LT schreibe?

Das ist doch keine philosophische, gesellschaftliche oder religiöse Diskussion, sondern geht es umdie mathematische Operationen und man kann sehr leicht zeigen, dass dieses oder jenes falsch ist.
Wo liegt das Problem?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Tensor 1.Stufe · Gast

Wo liegt das Problem bezog sich auf das "Löschen".

Wenn ihr da kein Problem sieht, dann ist ja alles in Ordnung und ich kann über LT schreiben, und sicher sein, dass diese nicht gelöscht werden und zwar auch dann nicht wenn ihr glaubt, diese (meine Erläuterungen)wären falsch.

Also kann ich frei sprechen (schreiben) oder muss ich damit rechnen, dass ihr den Beitrag löscht wenn der Inhalt euch nicht gefällt?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

Tensor 1.Stufe · Gast

Bei allem Respekt vor deiner Phantasie, kann ich mir sehr schwer vorstellen, dass man über den algebraischen Hintergrund der LT diskutieren kann und dabei über etwas anderes spricht als ausschließlich über Mathematik und Physik.
Deshalb möchte ich Zusicherung haben, dass meine Beiträge nicht gelöscht werden.Höchsten kannst du erklären, womit (bitte Zitat) ich den Rahmen der Physik und Mathe in meiner Ausführungen verlassen habe und den Thread schließen.

Einverstanden?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

Wenn ich Dich mit jemandem verwechselt habe, dann tut es mir leid. Würdest Du Dir einen Account erstellen hier, würde das nicht passieren.

Soweit wurde hier ja auch nichts gelöscht, also schreib doch einfach mal, anstatt immer wieder nachzufragen. Schon allein die Tatsache, dass Du glaubst nachfragen zu müssen, macht mich wieder sehr misstrauisch.

Tensor 1.Stufe · Gast

Verstehe ich dich richtig?Dir ist nicht der Inhalt sondern der Schreiber wichtig und du würdest meinen Beitrag, ungeachtet dessen Inhalt löschen sofern du glaubst ich wäre dieser Jemand.Geh davon aus, dass ich diese Person bin und mach das, was du für richtig hältst, denn ich will nicht „Löschen“ oder „Stehen lassen“ meiner Beiträge deiner Willkür und Vermutungen überlassen.
Irgendwas stimmt hier irgendwie nicht, habe ich den Eindruck.
Kann ich endlich anfangen?

PS:Dein Misstrauen ist verständlich und berechtigt.Was hat es aber mit der Diskussion über Lorentz-Gruppe zu tun?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

Tensor 1.Stufe · Gast

Um dieses Problem (Diskussionsstil, vernünftige Diskussion) zu umgehen (vermeiden), stelle ich mir vor, ich wäre ein Student, der in einem Hörsaal einen Vortrag über LT hält und Sie sind der Dozent, den ich dementsprechend ansprechen werde.
Jeder anderer Teilnehmer kann, von mir aus, auch als ein Professor auftreten wenn er will und sachlich in der Lage ist oder aber auch als ein Student, der was fragen oder anmerken möchte.
Einverstanden?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Ich schlage vor, dass jetzt endlich die physikalisch relevante Frage gestellt wird. Anschließend lösche ich sämtliche Beiträge zur "Metadiskussion", um den Thread zu bereinigen.

Ansonsten könen wir das hier auch beenden.

Tensor 1.Stufe · Gast

Tom.S

Wie es aussieht, stehen alle hier unter Hochspannung, was ich im Hinblick auf die gelöschten Beiträge von heute Morgen gut nachvollziehen kann.Deshalb ist mir schwer meine diesbezügliche (Vierer Spinoren und Vierervektoren) Erklärungen so in Form einer Frage zu formulieren, dass Du die Konseqenzen deiner Antwort nicht gleich merkst, um auszuweichen oder den Thread zu schließen.

Obwohl ich da, angesichts deines Verhaltens in Falle der Ursache der Ruheenergie, wenig Chancen sehe , versuche ich Trotzdem .

1-Wieso hat Dirac ein weiterer Matrix (Gamm 5) eingeführt? oder anderes gefragt, wie wirkt Gamma 5 im Dirac-Spinorraum -bzw. in Weyl-Spinorraum. (Chirale Darstellung)

2-Welche physikalische Konsequenzen folgt aus dem Umstand, dass in Standard-Darstellung (Dirac-Pauli-Darstellung) Gamma Null diagonal ist und in Weyl-Darstellung (chirale Darstellung).Gamma 5.
Ich habe jetzt weiter 8 Fragen , worauf ich erst ein mal verzichte. Wir kommen dann darauf zurück wenn du diese Fragen beantwortest hast.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576