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max_doering
Anmeldungsdatum: 13.03.2011
Beiträge: 50
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 max_doering Verfasst am: 13. Jul 2014 13:38 Titel: Wie konstruiert man Leiteroperatoren? |
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Hallo Miteinander,
Ich bereite mich gerade auf meine mündliche Prüfung (theoretische Mechanik/Quantenmechanik) vor und versuche mich genauer mit dem Konzept der Leiteroperatoren vertraut zu machen.
Was mich bisher immer gestört hat war, dass die Leiteroperatoren in allen Lehrbüchern/Artikeln/etc. immer auf die selbe Art eingeführt wird (z.B. beim Harmonischen Oszillator:
Ich definiere mir einen Aufsteige-Operator
)
und einen Absteige-Operator
)
und tada: wende ich diese auf die Energieeigenzustände des harmonischen Oszillators an, erhalte ich:
Doch wieso man diese Operatoren so wählt bzw. warum genau diese die gewünschte Eigenschaft besitzen, wird nirgens angesprochen.
Schaut man bei Wikipedia, so wird zumindest beschrieben, dass man Versucht, den ursprünglichen Hamiltonoperator durch ein Produkt zweier adjungierter Operatoren darzustellen, was mir allerdings auch nicht viel mehr verrät.
Es scheint sich jedoch immer um eine Linearkombination von Operatoren zu handeln, die nicht miteinander kommutieren...
Meine Frage ist also: Wie kommt man von der konkreten Idee, einen Operator zu konstruieren, der einem aus dem n-ten Eigenzustand den (n+1)-ten bzw. (n-1)-ten Eigenzustand liefert, zum Operator?
Weiß jemand vielleicht etwas mehr darüber oder kennt gute Artikel dazu?
Ich bin für jede Antwort dankbar!
MfG.
Max |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 13. Jul 2014 13:44 Titel: |
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Da steckt nicht mehr dahinter, als dass diese Konstruktion nützlich ist. Sie erlaubt eine rein algebraische Lösung für Eigenwerte und Eigenzustände (ohne Lösung einer DGL).
Eine kompliziertere Konstruktion erlaubt die algebraische Lösung für das Spektrum des Wasserstoffatoms (Wolfgang Pauli, vor der Lösung mittels Schrödingergleichung).
| max_doering hat Folgendes geschrieben: | | ... und tada: wende ich diese auf die Energieeigenzustände des harmonischen Oszillators an, erhalte ich ... |
So ist das nicht.
Man hat nicht zuerst die Eigenzustände und denkt sich anschließend die Operatoren aus oder wendet sie an, sondern man konstruiert die Eigenzustände mittels der algebraischen Eigenschaften der Operatoren.
| max_doering hat Folgendes geschrieben: | | ... wie kommt man von der konkreten Idee, einen Operator zu konstruieren, der einem aus dem n-ten Eigenzustand den (n+1)-ten bzw. (n-1)-ten Eigenzustand liefert, zum Operator? |
Ich denke nicht, dass das historisch so zugegangen ist. Ich denke, die Eigenschaft des Operators wurde entdeckt und seine Nützlichkeit erkannt. Ich glaube nicht, dass man zuerst die Idee hatte, Operatoren genau mit dieser Eigenschaft zu konstruieren.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 13. Jul 2014 17:05 Titel: Re: Wie konstruiert man Leiteroperatoren? |
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| max_doering hat Folgendes geschrieben: | | Schaut man bei Wikipedia, so wird zumindest beschrieben, dass man Versucht, den ursprünglichen Hamiltonoperator durch ein Produkt zweier adjungierter Operatoren darzustellen, was mir allerdings auch nicht viel mehr verrät. |
Ich habe Quantenmechanik bei einem mathematischen Physiker gehört und da wurde es eben so gezeigt, dass man den Hamiltonoperator faktorisieren will (motiviert durch die dritte binomische Formel, bloß, dass hier die Kettenregel dazu führt, dass die Operatoren nicht kommutieren). Erst, nachdem die Lösungen da standen, wurde gezeigt, was dieser Operator tut und weshalb man ihn Erzeugungsoperator nennt.
Dieses Faktorisieren ist übrigens eine allgemeine Technik zur Lösung von Differentialgleichungen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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max_doering
Anmeldungsdatum: 13.03.2011
Beiträge: 50
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| max_doering Verfasst am: 16. Jul 2014 19:27 Titel: |
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Oh, sehr gutes Buch! Danke!! |
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