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Karoline
Anmeldungsdatum: 05.06.2014
Beiträge: 67
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 Karoline Verfasst am: 30. Jun 2014 15:41 Titel: Separation |
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Meine Frage:
Das Volumen :0\leq x \leq a, 0 \leq y < \infty , -\infty < z < \infty \} ) sei durch Metallplatten begrenzt. DIe beiden Seitenplatten ( x=0 und x=a) seien geerdet, die Bodenplatte (y=0) habe das vorgegebene Potential V0=cons.
a)Lösen sie die Laplace Gleichung im Inneren Kasten mit einem Separationsansatz
b) Zeigen Sie, dass das Potential (aus a) ) ais in der Form geschrieben werden kann
= \frac{2 \Phi_{0}}{\pi } arctan \frac{\sin(\frac{\pi x}{a} ) }{\sin(\frac{\pi y}{a})} ) (***)
Meine Ideen:
Teil a) habe ich ausgerechnet und mein Ergebnis lautet:
)= \frac{4 \Phi_{0}}{\pi } \sum\limits_{k=1,3,5,...} \frac{1}{n} e^{-\pi n y/a} \sin(\pi n x / a) )
b). ich weiß hier, dass ich nur nachrechnen soll, dass die Gleichung (***) eine Lösung der Gleichung aus Teilaufgabe a) ist. Ich weiß nur nicht, wie ist anfangen soll. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 30. Jun 2014 16:00 Titel: |
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Du könntest natürlich versuchen Deine Summe umzuschreiben bis der Ausdruck (***) dasteht...
Sehr viel einfacher dürfte es aber sein zu Zeigen, dass (***) die Laplace-Gleichung mit den gegebenen Randbedingungen erfüllt.
PS: Du hast einen Tippfehler drin: Der sin mit dem y muss ein sinh sein. |
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Karoline
Anmeldungsdatum: 05.06.2014
Beiträge: 67
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| Karoline Verfasst am: 30. Jun 2014 18:40 Titel: |
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Ja, stimmt, sinh. Danke. Und ist meine Lösung aus der Aufgabe a) richtig? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 30. Jun 2014 19:16 Titel: |
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Ich seh nicht dass Deine Lösung die Randbedingung bei y=0 erfüllt... ich glaub Du hast die DGL in y falsch gelöst und einen Term vergessen... Da sollte sowas wie "sinh y * sin x" (modulo Faktoren, pi's, ..) rauskommen. |
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Karoline
Anmeldungsdatum: 05.06.2014
Beiträge: 67
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| Karoline Verfasst am: 30. Jun 2014 19:44 Titel: |
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Also meine Randbedingungen sind:
1).  für x=0
2) V=0 für x=a,
3). V=Vo für y=0
4). V-> 0 für y->0
Und nun kommt was, wo ich wahrscheinlich ein Fehler gemacht habe.... weil ich nicht weiß wie es richtig ist und warum:
1. Möglichkeit
 =C sin (kx )+ D cos ( k x) \\
<br />
Y (y)= A e^{ky} + Be^{-ky} )
2. Möglichkeit
 =C sin (kx )+ D cos ( k x) \\
<br />
Y (y)= A cosh (kx) + B sin(kx) ) |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 30. Jun 2014 19:51 Titel: |
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Ob Du e^x/e^(-x) nimmst oder sinh/cosh ist egal. Kommt dasselbe raus. |
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Karoline
Anmeldungsdatum: 05.06.2014
Beiträge: 67
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| Karoline Verfasst am: 01. Jul 2014 07:22 Titel: |
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ok, dann berechne ich mit der ersten Variante weiter...
= X ( x ) Y (y) = (C sin (kx )+ D cos ( k x) ) (A e^{ky} + Be^{-ky} ))
Und kann ich nun schreiben, dass wegen der 4.Bedingung A=0? Das ist meine Behauptung, bin mir aber nicht sicher.
 =e^{-ky} [C sin (kx )+ D cos ( k x) ])
Und dann wegen der 1.Bedingung D=0:
 =e^{-ky} C sin (kx ))
Ist das soweit ok?
Gruß |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 01. Jul 2014 08:54 Titel: |
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Ah.. jetzt seh ich erst Bedingung 4... wo kommt die denn her? |
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Karoline
Anmeldungsdatum: 05.06.2014
Beiträge: 67
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| Karoline Verfasst am: 01. Jul 2014 09:14 Titel: |
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Ja, je weiter man sich von dem Streifen bei y=0 entfernt, desto mehr sollte sich das Potential an null annähern. (Das wurde uns so gesagt, dass es so aus physikalischen Gründen ist) |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 01. Jul 2014 09:24 Titel: |
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Das phi->0 geht im Unendlichen ist zwar oft der Fall, aber nicht immer. Darum kann man das nicht einfach so zur Lösung der Laplace-Gleichung mit Randbedingungen annehmen. Der unendlich lange geladene Draht ist zB so ein Fall.
Darum würde ich einfach die anderen Randbedingungen benutzen und gucken was rauskommt.
PS: Du kommst auch mit Deinem Ansatz auf das richtige Ergebnis, wenn Du beachtest, dass k nicht positiv sein muss. Aber wie gesagt: Es gibt Fälle in denen (4) nicht gilt. |
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Karoline
Anmeldungsdatum: 05.06.2014
Beiträge: 67
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| Karoline Verfasst am: 01. Jul 2014 09:33 Titel: |
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Ja, das ist wahr, wir sollen das aber so berücksichtigen....  |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 01. Jul 2014 09:49 Titel: |
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In diesem Fall kommt es ja auch richtig raus, wenn man es richtig macht.
Im übrigen kommt phi->0 für y->unendlich auch automatisch raus, wenn man einfach nur die anderen Bedingungen alle benutzt. |
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